Математика, 4 класс

Математика, 4 класс

Задача 1.

1.1. Дано выражение 782 + а.

Каким должно быть число а, чтобы значение выражения оказалось наибольшим четным четырехзначным числом?

Комментарий. Наибольшее четырехзначное четное число 9998. Таким образом, 782 + а = 9998, откуда a = 9998 – 782 = 9216.

Ответ: 9216.

1.2. Четвероклассники Аня, Таня, Ваня и Даня решали задачу: «В многозначных числах цифры, отличные от нуля, заменены звездочками. Определи, каким может быть значение произведения **000 ∙ *00».

Разгорелся спор.

Аня: **000000; Таня: ***0000; Ваня: *00000; Даня: Вы все неправы.

С кем из четвероклассников ты бы согласился? Обоснуй свое мнение.

Комментарий. В задании имеется серьезная провокация. На первый взгляд кажется, что произведение должно иметь 5 нулей, а такого ответа среди предложенных нет; значит, прав Даня. В действительности возможен Анин вариант, например, 32000 × 500 = .

Ответ: можно согласиться с Аней.

1.3. В десятичной записи числа 4765 использованы четыре последовательные цифры (4, 5, 6, 7). Запиши следующее четырехзначное число, в котором также будут использованы четыре последовательные цифры (возможно, другие).

Комментарий. В старшем разряде искомого числа не может быть цифра 4, т. к. ни один из наборов (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6), (4, 5, 6, 7) не позволяет сконструировать число большее заданного с 4 в старшем разряде. Наименьшее число, составленное из последовательных цифр с цифрой 5 в старшем разряде – это число, получаемое из второго набора: 5234.

Ответ: 5234.

Задача 2.

2.1. Стороны треугольника 6 см, 10 см, и 8 см. Первую сторону увеличили в 2 раза, вторую уменьшили на 2 см, а третью оставили без изменений. Найди периметр получившегося треугольника.

Комментарий. Новый треугольник имеет стороны 12 см, 8 см, 8, см. Его периметр 28 см.

Ответ: 28 см.

2.2. Квадрат с периметром 16 см разрезали на два одинаковых прямоугольника. Чему равен периметр одного такого прямоугольника?

Комментарий. Ожидаемое «решение»: периметр равен 16 : 2 = 8 см.

Для правильного решения целесообразно построить чертеж:

 

2

2

4

 

Периметр прямоугольника равен 4 × 2 + 2 × 2 = 12 см.

Ответ: 12 см.

2.3. Отрезок АВ пересечен ломаной линией, как показано на рисунке. При этом получилось 4 квадрата. Чему равна длина ломаной, если длина АВ равна 7 см?

Комментарий. Обычный способ определения длины ломаной через длины ее отдельных звеньев здесь не проходит. Требуется сконструировать другой способ. В ломаной вместо звеньев можно выделить фрагменты, длина каждого из которых равна утроенной стороне соответствующего квадрата. Поскольку сумма длин сторон квадратов равна длине AB, т. е. 7 см, сумма длин фрагментов равна 7 × 3 = 21 см. Это и есь длина ломаной.

Ответ: 21 см.

Задача 3.

3.1. За квадратный столик могут одновременно сесть 4 гнома, по одному с каждой стороны. Для вечеринки 6 таких столиков составили вплотную один к другому. Сколько гномов могут сесть за получившийся длинный стол?

 

Комментарий. Задание может быть выполнено впрямую – по чертежу. Более интересно, если будет установлена закономерность: число гномов равно удвоенному числу столиков + 2.

Ответ: 14.

3.2. За квадратный столик могут одновременно сесть 4 гнома, по одному с каждой стороны. Для вечеринки 240 таких столиков составили вплотную один к другому. Сколько гномов могут сесть за получившийся длинный стол?

 

……….

Комментарий. В отличие от задания 1 здесь прямое использование чертежа невозможно (количество столиков слишком велико). Однако если найдена зависимость числа гномов от числа столиков (это можно было сделать еще при выполнении задания 1), число гномов можно найти: 240 × 2 + 2 = 482.

3.3. Сколько квадратных столиков нужно поставить в ряд вплотную друг к другу, чтобы можно было усадить за них 212 гномов?

Комментарий. Задание, обратное заданию 3. От четвероклассников трудно ожидать решения уравнения. Вполне возможно следующее рассуждение. Посадим двух гномов по краям цепочки столиков. Остается 210 гномов, которых можно усадить по два за каждый стол. Т. е. число столов должно быть 210 : 2 = 105.

Ответ: 105.

Задача 4.

4.1. В вазе лежит 50 конфет, причём карамелек в 49 раз больше, чем шоколадок. Петя хочет взять одну шоколадку себе, а остальные шоколадки раздать друзьям. Сколько друзей сможет угостить Петя?

Комментарий. Шоколадка одна (если предположить, что их хотя бы две, то общее число конфет будет больше 50). Значит, если Петя ее возьмет себе, то он не сможет угостить шоколадками ни одного друга.

Ответ: ни одного.

4.2. Учащиеся четвёртого класса решали задачу: «Из пунктов А и В, расстояние между которыми 600 км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 90 км/ч, а скорость автобуса – 60 км/ч. Через какое время расстояние между автомобилем и автобусом будет равно 150 км?»

Вот что получилось:

Петя: Через 3 часа. Женя: Через 4 часа. Маша: Через 5 часов.

С кем ты согласен. Почему?

Комментарий. Задача имеет два решения: 1) когда расстояние между автомобилем и автобусом составляет 150 км до встречи. В этом случае время равно (600 – 150) : (90 + 60) = 3 (ч) – вариант Пети; б) когда расстояние между автомобилем и автобусом составляет 150 км после встречи. В этом случае время равно (600 + 150) : (90 + 60) = 5(ч) – вариант Маши. Поэтому Можно согласиться и с Петей, и с Машей.

Ответ: с Петей и с Машей.

4.3. Квадратная салфетка не помещается на полке размером 50 см х 70 см в развернутом виде. Но если сложить ее пополам так, что получится прямоугольник, она поместится на этой полке.

Можно ли этой салфеткой полностью накрыть прямоугольный столик:

1) площадью 2160 см2, одна из сторон которого имеет длину 48 см?

2) площадью 2100 см2, одна из сторон которого имеет длину 30 см?

Комментарий. В решении задачи можно выделить два этапа: 1) выяснение, в каких пределах может находиться размер салфетки; 2) сопоставление возможного размера салфетки с размерами столика.

1)  Из условия, что салфетка не помещается на полке 50 см х 70 см в развернутом виде, заключаем, что ее сторона больше 50 см; из условия, что сложенная пополам салфетка помещается на той же полке, заключаем, что ее сторона не больше 70 см.

2)  В случае 1 имеем столик размером 45 х 48 см, который можно покрыть даже салфеткой минимально возможного размера 50 х 50 см.

В случае 2 ситуация сложнее: размер столика 30 х 70 см. Его моно покрыть только в случае, когда салфетка имеет максимально возможный размер 70 х 70 см. Т. е. в этом случае дать однозначный ответ нельзя.

Следует обратить внимание на некорректность сравнения салфетки и столика по площади. Этот признак можно использовать только для отсеивания вариантов, но не для их принятия. Площадь салфетки может быть большой, но этого недостаточно для того, чтобы обеспечить покрытие. Необходимо учитывать и соотношение сторон. Например, во втором случае площадь столика меньше, но покрыть его салфеткой 60х60 невозможно, а в первом – возможно.

Задача 5. В Математической энциклопедии описан способ построения прямой, проходящей через середину заданного отрезка под прямым углом к нему, без использования угольника или транспортира.

 

Дан отрезок АВ. Требуется провести через его середину прямую, которая образовывала бы с отрезком АВ прямой угол.

Построение. Построим две пересекающиеся окружности одинакового радиуса R c центрами в концах отрезка (в точках А и В). Через точки пересечения окружностей P и Q проведем прямую (она показана пунктиром). Прямая PQ (она показана пунктиром) образует с отрезком АВ прямой угол и проходит через его середину.

 

5.1. Проведи через точку Т прямую, образующую с отрезком МК прямой угол. Все твои действия должны быть видны из рисунка.

 

5.2. Пользуясь только циркулем и линейкой, построй квадрат, одной из сторон которого является отрезок АВ. Способ построения должен быть виден из рисунка.

Сколько всего квадратов со стороной АВ можно построить?

 

Комментарий к задаче. Задача на учебную грамотность – учащиеся должны ознакомиться с текстом, описывающим способ построения перпендикуляра к отрезку, проходящего через его середину, и модифицировать этот способ для выполнения двух заданий.

5.1. Находим на КМ точку Р такую, что ТР = КТ. Далее действуем вышеописанным способом.

 

5.2. Способ построения показан на рисунке.

 

Можно построить два квадрата, расположенные по разные стороны от прямой АВ.