Возможность использования комплексных чисел в курсе математики общеобразовательной школы

ВОЗМОЖНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

Научный руководитель:

Муниципальное образовательное учреждение

Первомайская средняя общеобразовательная школа

161401 Вологодская область

с. Кичменгский Городок

Ул. Заречная д. 38

Представленная работа посвящена изучению комплексных чисел. Актуальность: решение многих задач физики и техники приводит к квадратным уравнениям с отрицательным дискриминантом. Эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Но решение многих таких задач имеет вполне определенный физический смысл.

Практическая значимость: комплексные числа и функции от комплексных переменных находят применение во многих вопросах науки и техники, могут быть использованы в школе для решения квадратных уравнений.

Объектная область: математика. Объект исследований: алгебраические понятия и действия. Предмет исследований – комплексные числа. Проблема: комплексные числа не изучаются в курсе математики общеобразовательной школы, хотя могут быть применены для решения квадратных уравнений. Не исключается возможность введения комплексных чисел в задания ЕГЭ в будущем. Гипотеза: можно применить комплексные числа для решения квадратных уравнений в общеобразовательной школе. Цель: изучить возможность применения комплексных чисел при изучении математики в 10 классе общеобразовательной школы. Задачи: 1. Изучить теорию комплексных чисел 2. Рассмотреть возможность применения комплексных чисел в курсе математики 10 класса. 3. Разработать и опробовать задания с комплексными числами.

Для решения алгебраических уравнений недостаточно действительных чисел. Поэтому естественно стремление сделать эти уравнения разрешимыми, что в свою очередь приводит к расширению понятия числа. Например, для того чтобы любое уравнение имело корни, положительных чисел недостаточно и поэтому возникает потребность ввести отрицательные числа и нуль. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений

не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решение всегда

нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что

В 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в котором были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 г. один из крупнейших математиков VIII века Х. Эйлер предложил использовать первую букву французского числа (мнимой единицы), этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу [2].

С комплексными числами можно производить различные математические действия: сложение, вычитание, деление, умножение, возведение в степень. Мной все эти действия рассмотрены при детальном изучении комплексных чисел. После изучения комплексных чисел и действий с ними я могу использовать полученные знания при решении квадратных уравнений.

Рассмотрим решение такого квадратного уравнения как пример использования комплексных чисел при изучении математики в 10 классе. Отсюда . Число х, квадрат которого равен –1, называется мнимой единицей и обозначается i. Таким образом, , откуда . Решение квадратного уравнения, например, [1], можно записать следующим образом

Числа вида 4+3i и 4-3i называют комплексными числами. В общем виде комплексное число записывается а + bi, где a и b - действительные числа, а i – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа, bi - мнимой частью этого числа, b - коэффициентом мнимой части комплексного числа.

На основе теоретических сведений о комплексных числах составлены образцы заданий по применению комплексных чисел в решении квадратных уравнений. Задания опробованы на факультативных занятиях математики в 10 классе. Подтверждена возможность использования комплексных чисел в курсе математики 10 класса общеобразовательной школы.

1. , , . Учебник для 8 класса по алгебре.- М.: Просвещение, 1994.-С.134-139.

2. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Э-68 . - М.: Педагогика, 19с