VI ТУРНИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЕВ ПАМЯТИ Е. В.НАПАЛКОВОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ № 2

1.Для каждого натурального числа N построим две последовательности an и bn: a1 = b1 = N, an+1 = an + S(an), bn+1 = bn + П(bn), где S(m) - сумма цифр, П(m) - произведение цифр натурального числа m.Докажите, что при каждом N найдется такой номер k, что ak > bk.

2.Два игрока поочередно выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие 1000. Правилами игры запрещается писать на доске делители уже написанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Выяснить, кто из игроков имеет выигрышную стратегию.

3.На некоторых клетках доски 20052005 стоят фишки, причем расположение фишек можно преобразовывать так: если для некоторой фишки две соседние (по стороне) клетки свободны, то в эти клетки ставится по фишке, а старая фишка убирается. Вначале в центре доски расположена одна фишка. Можно ли освободить от фишек центральный квадрат 99?

4.Имеется 2005 кучек, состоящих соответственно из 1; 2; 3; ... 2005 камней. За один шаг разрешается выбросить из любого множества кучек по одинаковому числу камней. За какое наименьшее число шагов можно выбросить все камни?

5.Назовем треугольник «невысоким», если, по крайней мере, две его высоты имеют длину не больше 1. На плоскости даны четыре точки такие, что все образуемые ими треугольники - «невысокие». Докажите, что существует прямая, от которой все эти точки удалены на расстояние, не превосходящее 0,5.

6.Пусть , и - углы остроугольного треугольника, то есть 0 < ,, < и + + = . Доказать, что (sin + sin + sin)2 (sin 2 +sin 2 + sin 2).

7.Существует ли такое N и такие (N - 1) бесконечных арифметических прогрессий с разностями 2; 3; 4; ...; N, что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?

8.По кругу записано n чисел. Эти числа стерли, а вместо каждого из них написали сумму m подряд идущих (по часовой стрелке) чисел, начиная с данного.(n > m > 1).Найти, при каких n и m можно определить те числа, которые были записаны сначала.

VI ТУРНИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЕВ ПАМЯТИ Е. В.НАПАЛКОВОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ № 2

10-11 классы, первая лига

1. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 бананов, причем каждому досталось как минимум по одному банану. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных, Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов съел Пятачок?

2.Докажите, что сечение куба плоскостью не может быть тупоугольным треугольником.

3. Назовем натуральное число интересным, если произведение его цифр, сложенное с суммой его цифр, равняется самому этому числу. Укажите все интересные числа и докажите, что других нет.

4.На реке шириной 1 км находится несколько островов в форме многоугольников, суммарный периметр которых составляет 8 км (берега реки - параллельные прямые). Верно ли, что из любой точки на берегу реки можно добраться на лодке до противоположного берега, проделав путь длиной не более 3 км?

5.Докажите, что если вершины выпуклого пятиугольника, расположенного в координатной плоскости, имеют целые координаты, то внутри него найдется хотя бы одна точка с целыми координатами.

6.Решите уравнение: .

7.В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90о) проведены биссектрисы AD и BF. Точки М и N - основания перпендикуляров, опущенных из точек D и F на гипотенузу АВ. Докажите, что угол MCN составляет 45о.

8.На столе лежит колода, в которой 52 карты. Разрешается делать две операции: менять местами две верхние карты и перекладывать верхнюю карту вниз. Докажите, что при помощи указанных операций можно сложить карты в любом порядке.

VI ТУРНИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЕВ ПАМЯТИ Е. В.НАПАЛКОВОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ № 2

10-11 классы, вторая лига

1. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 бананов, причем каждому досталось как минимум по одному банану. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных, Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов съел Пятачок?

2.Докажите, что сечение куба плоскостью не может быть тупоугольным треугольником.

3.На реке шириной 1 км находится несколько островов в форме многоугольников, суммарный периметр которых составляет 8 км (берега реки - параллельные прямые). Верно ли, что из любой точки на берегу реки можно добраться на лодке до противоположного берега, проделав путь длиной не более 3 км?

4.Решите уравнение: .

5.В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90о) проведены биссектрисы AD и BF. Точки М и N - основания перпендикуляров, опущенных из точек D и F на гипотенузу АВ. Докажите, что угол MCN составляет 45о.

6.На столе лежит колода, в которой 52 карты. Разрешается делать две операции: менять местами две верхние карты и перекладывать верхнюю карту вниз. Докажите, что при помощи указанных операций можно сложить карты в любом порядке.

7. Докажите, что если вершины выпуклого пятиугольника, расположенного в координатной плоскости, имеют целые координаты, то внутри него либо на стороне найдется еще хотя бы одна точка с целыми координатами.

8.Даны уравнения x2+p1x+q1=0, x2+p2x+q2=0. Докажите, что если p1p2=2(q1+q2), то хотя бы одно из уравнений имеет один или два действительных корня.

VI ТУРНИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЕВ ПАМЯТИ Е. В.НАПАЛКОВОЙ

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ № 2

8-9 классы, высшая лига

1. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 бананов, причем каждому досталось как минимум по одному банану. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных, Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов съел Пятачок?

2. Известно, что квадратный стол можно покрыть четырьмя одинаковыми круглыми салфетками. Докажите, что диаметр салфетки не менее половины диагонали стола.

3. Назовем натуральное число интересным, если произведение его цифр, сложенное с суммой его цифр, равняется самому этому числу. Укажите все интересные числа и докажите, что других нет.

4.На реке шириной 1 км находится несколько островов в форме многоугольников, суммарный периметр которых составляет 8 км (берега реки - параллельные прямые). Верно ли, что из любой точки на берегу реки можно добраться на лодке до противоположного берега, проделав путь длиной не более 3 км?

5.Докажите, что если вершины выпуклого пятиугольника, расположенного в координатной плоскости, имеют целые координаты, то внутри него найдется хотя бы одна точка с целыми координатами.

6.Решите уравнение: .

7.В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90о) проведены биссектрисы AD и BF. Точки М и N - основания перпендикуляров, опущенных из точек D и F на гипотенузу АВ. Докажите, что угол MCN составляет 45о.

8.На столе лежит колода, в которой 52 карты. Разрешается делать две операции: менять местами две верхние карты и перекладывать верхнюю карту вниз. Докажите, что при помощи указанных операций можно сложить карты в любом порядке.

VI ТУРНИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЕВ ПАМЯТИ Е. В.НАПАЛКОВОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ № 2

8-9 классы, первая лига

1. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 бананов, причем каждому досталось как минимум по одному банану. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных, Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов съел Пятачок?

2. Известно, что квадратный стол можно покрыть четырьмя одинаковыми круглыми салфетками. Докажите, что диаметр салфетки не менее половины диагонали стола.

3. Назовем натуральное число интересным, если произведение его цифр, сложенное с суммой его цифр, равняется самому этому числу. Укажите все интересные числа и докажите, что других нет.

4.На реке шириной 1 км находится несколько островов в форме многоугольников, суммарный периметр которых составляет 8 км (берега реки - параллельные прямые). Верно ли, что из любой точки на берегу реки можно добраться на лодке до противоположного берега, проделав путь длиной не более 3 км?

5. Докажите, что если вершины выпуклого пятиугольника, расположенного в координатной плоскости, имеют целые координаты, то внутри него либо на стороне найдется еще хотя бы одна точка с целыми координатами.

6.Решите уравнение: .

7.В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90о) проведены биссектрисы AD и BF. Точки М и N - основания перпендикуляров, опущенных из точек D и F на гипотенузу АВ. Докажите, что угол MCN составляет 45о.

8.На столе лежит колода, в которой 52 карты. Разрешается делать две операции: менять местами две верхние карты и перекладывать верхнюю карту вниз. Докажите, что при помощи указанных операций можно сложить карты в любом порядке.

VI ТУРНИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЕВ ПАМЯТИ Е. В.НАПАЛКОВОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ № 2

младшая группа, высшая лига

1. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 бананов, причем каждому досталось как минимум по одному банану. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных, Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов съел Пятачок?

2. Известно, что квадратный стол можно покрыть четырьмя одинаковыми круглыми салфетками. Докажите, что диаметр салфетки не менее половины диагонали стола.

3. Назовем натуральное число интересным, если произведение его цифр, сложенное с суммой его цифр, равняется самому этому числу. Укажите все интересные числа и докажите, что других нет.

4.Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Найдите делимое.

5.На реке шириной 1 км находится несколько островов в форме многоугольников, суммарный периметр которых составляет 8 км (берега реки - параллельные прямые). Верно ли, что из любой точки на берегу реки можно добраться на лодке до противоположного берега, проделав путь длиной не более 3 км?

6. Докажите, что если вершины выпуклого пятиугольника, расположенного в координатной плоскости, имеют целые координаты, то внутри него либо на стороне найдется еще хотя бы одна точка с целыми координатами.

7.На столе лежит колода, в которой 52 карты. Разрешается делать две операции: менять местами две верхние карты и перекладывать верхнюю карту вниз. Докажите, что при помощи указанных операций можно сложить карты в любом порядке.

8.Придумайте 6 способов разрезать квадрат 4х4 на две равные части.

VI ТУРНИР МАТЕМАТИЧЕСКИХ БОЕВ ПАМЯТИ Е. В.НАПАЛКОВОЙ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ № 1

младшая группа, первая лига

1. Винни-Пух, Сова, Кролик и Пятачок съели 70 бананов, причем каждому досталось как минимум по одному банану. Винни-Пух съел больше, чем каждый из остальных, Сова и Кролик вместе съели 45 бананов. Сколько бананов съел Пятачок?

2.Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Найдите делимое.

3.Существует ли четырехзначное число, сумма цифр которого при умножении числа на 5 уменьшается в два раза?

4. Известно, что квадратный стол можно покрыть четырьмя одинаковыми круглыми салфетками. Докажите, что диаметр салфетки не менее половины диагонали стола.

5. Назовем натуральное число интересным, если произведение его цифр, сложенное с суммой его цифр, равняется самому этому числу. Укажите все интересные числа и докажите, что других нет.

6.На столе лежит колода, в которой 52 карты. Разрешается делать две операции: менять местами две верхние карты и перекладывать верхнюю карту вниз. Докажите, что при помощи указанных операций можно сложить карты в любом порядке.

7.Придумайте 6 способов разрезать квадрат 4х4 на две равные части.

8.На реке шириной 1 км находится два острова в форме прямоугольников (две стороны каждого прямоугольника расположены параллельно берегу), суммарный периметр которых составляет 8 км (берега реки - параллельные прямые). Каким образом из любой точки на берегу реки можно добраться на лодке до противоположного берега, проделав путь длиной не более 4 км?