Математический анализ

Министерство образования Республики Башкортостан

государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Благовещенский педагогический колледж»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

дисциплины МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

для специальности 050709 Преподавание в начальных классах с дополнительной подготовкой в области математики

среднего профессионального образования

г. Благовещенск

2012г.

Одобрена Составлена в соответствии

Предметной (цикловой) с Государственными

комиссией математических и требованиями к минимуму

естественнонаучных дисциплин содержания и уровню

протокол от 30.08.12г. подготовки выпускника

по специальности

050709 Преподавание

в начальных классах СПО

13.ДДП.01

Председатель ПЦК Заместитель директора

по учебной работе

_________________ ____________________

Орлова М. Ф.

Автор: ,

преподаватель математики

с методикой преподавания

высшей категории

Благовещенского

педагогического колледжа

Рецензенты: М.,

преподаватель математики

и физики

первой категории

Благовещенского

педагогического колледжа

,

кандидат физико-

математических наук, доцент,

декан факультета педагогики

детства БирГСПА.

1. Пояснительная записка

Рабочая программа учебной дисциплины «Математический анализ» предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности 050709 Преподавание в начальных классах с дополнительной подготовкой в области математики(повышенный уровень) среднего профессионального образования.

Цель изучения данного курса – освоение на определенном уровне одного из главных разделов высшей математики – математического анализа.

Предмет содержит основные разделы:

·  Множество действительных чисел;

·  Последовательности;

·  Функции;

·  Теория пределов;

·  Непрерывность функции;

·  Производная и дифференциал;

·  Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков;

·  Неопределенный интеграл;

·  Определенный интеграл и его приложения;

·  Числовые ряды;

·  Степенные ряды;

·  Разложение функции в степенные ряды.

В результате изучения дисциплины студент должен:

Иметь представление:

-  об особенностях изучения математики окружающего нас мира средствами математического анализа;

Знать:

-  содержание изучаемого курса, включая, формулировки основных определений, теорем, понятий, свойств и правил операций математического анализа;

Уметь:

-  производить дифференциальное и интегральное исчисления и вспомогательные и производные для них операции: исследование функций, нахождение пределов, устанавливать сходимость и расходимость рядов.

Итоговый контроль – 9 семестр, зачет.

2. Тематический план

№	Наименование разделов и тем	Всего	В том числе аудиторных часов	СРС
	6 семестр	49	40	9
I.	Число. Переменная. Функция.	7	6	1
1	Множество действительных чисел. Числовая прямая и числовая плоскость. *Полярная система координат. Связь полярных и декартовых координат.	2	2	1
2	Понятие функции. График функции. Некоторые классы функций. Основные элементарные функции. *Гиперболические функции: определение, свойства, график.	5	4	1
II.	Предел. Непрерывность функций.	21	18	3
3	Числовые последовательности и способы их задания. Конечные и бесконечные последовательности. Монотонные последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Число е. Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. *Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.	8	6	2
4	Числовая функция. Понятие о пределе функции.	2	2
5	Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Предел функции при х→∞	2	2
6	Основные теоремы о пределах.	2	2
7	Первый и второй замечательные пределы. *История развития пределов.	5	4	1
8	Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них.	2	2
III.	Производная и дифференциал.	21	16	5
9	Определение производной. Геометрический и физический смысл производной. Производные элементарных функций. *Правило Лопиталя.	5	4	1
10	Производная сложной функции.	5	4	1
11	Неявная функция и ее дифференцирование.	3	2	1
12	Производная функции, заданной параметрически.	3	2	1
13	Логарифмическое дифференцирование.	3	2	1
14	Производные высших порядков.	2	2
	7 семестр	44	36	8
IV.	Приложения дифференциального исчисления.	22	18	4
15	Уравнение касательной к графику функции.	3	2	1
16	Возрастание и убывание функции	2	2
17	Экстремумы функции. Максимум и минимум функций.	3	2	1
18	Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.	2	2
19	Асимптоты.	2	2
20	Общий план исследования функции и построения графиков.	5	4	1
21	Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.	5	4	1
V.	Неопределенный интеграл.	22	18	4
22	Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Свойства неопределенного интеграла.	3	2	1
23	Интегрирование методом замены переменной.	5	4	1
24	Интегрирование по частям	5	4	1
25	Рациональные дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей.	5	4	1
26	Интегралы от иррациональных функций.	2	2
27	Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций. * Интегрирование дифференциальных биномов. Тригонометрические подстановки.	2	2
	8 семестр	39	32	7
VI.	Определенный интеграл и его приложения.	24	20	4
28	Определенный интеграл. Основные свойства. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.	3	2	1
29	Замена переменной в определенном интеграле.	2	2
30	Интегрирование по частям.	4	4
31	Несобственные интегралы.	5	4	1
32	Вычисление площадей в декартовых координатах.	5	4	1
33	Объем тела вращения *Длина дуги кривой. *Поверхность тела вращения. *Физические приложения определенного интеграла.	5	4	1
VII.	Числовые ряды.	15	12	3
	Определение ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.. Знакоположительные ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Остаток ряда. Простейшие действия над рядами.	5	4	1
	Признаки сходимости рядов: сравнения, Даламбера, радикальный Коши, интегральный Коши - Маклорена..	10	8	2
	9 семестр	22	18	4
	Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Условная и абсолютная сходимость рядов. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.	7	6	1
VIII.	Степенные ряды.	5	4	1
	Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов.	5	4	1
IX.	Разложение функции в степенные ряды	6	4	2
	Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)	3	2	1
	Приближенные вычисления значений функций.	3	2	1
X.	Итоговое повторение.	4	4
	Итого:	154	126	28

3. Содержание предмета

Раздел I. Число. Переменная. Функция.

Множество действительных чисел. Числовая прямая и числовая плоскость.

Студенты должны:

Знать: термины и понятия – множество действительных чисел, модуль числа, числовая прямая и плоскость, функция, область определения и область значений функции, основные классы элементарных функций,

Уметь: находить область определения и значений функции, строить график функции.

СРС: Полярная система координат. Связь полярных и декартовых координат.

Гиперболические функции: определение, свойства, график. Конспектирование.

Раздел II. Предел. Непрерывность функций.

Понятие функции. График функции. Некоторые классы функций. Основные элементарные функции. Числовые последовательности и способы их задания. Конечные и бесконечные последовательности. Монотонные последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Число е. Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности

Числовая функция. Понятие о пределе функции.. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Предел функции при х→∞ Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них.

Студенты должны:

Знать: термины и понятия – последовательность: конечная и бесконечная, монотонная, возрастающая и убывающая, ограниченная и неограниченная, сходящаяся и расходящаяся, число е, непрерывная функция, предел последовательности и функции, первый и второй замечательные пределы, эквивалентные функции, бесконечно большие и бесконечно малые и их свойства.

Уметь: устанавливать свойства последовательности, находить пределы последовательности и функции, раскрывать неопределенности

при нахождении пределов функций.

СРС: Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

История развития пределов. Реферат.

Раздел III. Производная и дифференциал.

Определение производной. Геометрический и физический смысл производной. Производные элементарных функций.

Производная сложной функции. Неявная функция и ее

дифференцирование.

Производная функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.

Студенты должны:

Знать: термины и понятия – определение производной, таблица производных основных функций, правила нахождения производных, дифференциал, производные высших порядков.

Уметь: находить производную функции по определению и по правилам, производную сложной функции, производную неявной функции, производную функции, заданную параметрически, производить логарифмическое дифференцирование.

СРС: Составление дидактического материала по теме: тесты, перфокарты, система устных упражнений, изготовление демонстрационной и индивидуальной наглядности (карточки с формулами).

Правило Лопиталя. Конспектирование, решение упражнений.

Раздел IV. Приложения дифференциального исчисления.

Уравнение касательной к графику функции. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Максимум и минимум функций. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Асимптоты. Общий план исследования функции и построения графиков. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Студенты должны:

Знать: термины и понятия – геометрический и физический смысл производной, возрастание и убывание функции, экстремумы функции, наибольшее и наименьшее значение, асимптота, выпуклость и вогнутость кривой, точка перегиба.

Уметь: находить уравнение касательной к графику функции в точке, исследовать поведение функции и строить ее график методами дифференцирования.

СРС: Приложения дифференциального исчисления для решения задач физики и

механики. Решение задач с использованием наибольшего и наименьшего

значений функции. Конспектирование. Решение задач.

Раздел V. Неопределенный интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом замены переменной. Интегрирование по частям Рациональные дроби. Разложение рациональной дроби на простейшие. Интегрирование рациональных дробей. Интегралы от иррациональных функций.

Студенты должны:

Знать: термины и понятия – первообразная, интеграл, свойства интеграла, таблица интегралов,

Уметь: вычислять табличные интегралы, производить интегрирование методом замены переменной, по частям, раскладывать рациональные дроби на простейшие, находить интегралы от рациональных дробей, иррациональных и некоторых классов тригонометрических функций.

СРС: Составление дидактического материала по теме.

Интегрирование дифференциальных биномов.

Тригонометрические подстановки. Конспектирование. Решение упражнений.

Раздел VI. Определенный интеграл и его приложения.

Определенный интеграл. Основные свойства. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей в декартовых координатах.

Объем тела вращения.

Студенты должны:

Знать: термины и понятия – определенный интеграл, геометрический смысл определенного интеграла, свойства определенного интеграла, формула Ньютона –Лейбница, несобственный интеграл.

Уметь: вычислять определенные интегралы по формуле Ньютона – Лейбница, методом замены переменной и интегрированием по частям, вычислять несобственные интегралы с бесконечными пределами и от разрывной функции, находить площадь фигуры и объем тела вращения.

СРС: Длина дуги кривой.

Поверхность тела вращения.

Физические приложения определенного интеграла. Подготовка выступлениий. Реферат. Решение упражнений.

Раздел VII. Числовые ряды.

Определение ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды..

Знакоположительные ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Остаток ряда. Простейшие действия над рядами. Признаки сходимости рядов: сравнения, Даламбера,

радикальный Коши, интегральный Коши - Маклорена. Знакочередующиеся ряды. Признак

Лейбница. Условная и абсолютная сходимость рядов. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.

Студенты должны:

Знать: термины и понятия – числовой ряд, общий член ряда, сумма ряда, гармонический и обобщенный гармонический ряд, сходимость ряда, знакоположительный и знакочередующийся ряд, сходимость условная и абсолютная. Уметь: устанавливать сходимость или расходимость ряда, используя признаки: 1 и 2 сравнения, Коши, Даламбера, интегральный Коши - Маклорена, Лейбница, достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов.

СРС: Составление контрольной работы по теме.

Составление логической схемы базы знаний по теме.

Раздел VIII. Степенные ряды.

Функциональные ряды. Степенные ряды. Сходимость степенных рядов.

Студенты должны:

Знать: термины и понятия – функциональный ряд, область сходимости функционального ряда, степенной ряд и его компоненты.

Уметь: находить радиус, интервал сходимости степенного ряда.

СРС: Составление глоссария по теме ( основные определения, различные случаи области сходимости).

Раздел IX. Разложение функции в степенные ряды

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена). Приближенные вычисления значений функций и интегралов.

Студенты должны:

Знать: термины и понятия – ряд Тейлора и Маклорена, разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций

Уметь: раскладывать композиции элементарных функций в степенные ряды Маклорена и Тейлора, производить приближенные вычисления с помощью степенных рядов.

СРС: Приближенные вычисления интегралов. Конспектирование. Решение упражнений

4. Примерная тематика курсовых и выпускных

квалификационных работ

1.  Гиперболические функции, их применение в математическом анализе;

2.  История развития пределов;

3.  Методика изучения множеств и операций с ними по программе «Школа-2000» (автор );

4.  Методика изучения темы «Последовательности» на уроках математики в основной школе;

5.  Методика изучения темы «Функции и их графики» на уроках математики в основной школе;

6.  Полярные координаты и их применение в дифференциальном и интегральном исчислении»;

7.  Пропедевтика понятий функции по программе «Школа-2000» (автор );

8.  Ряды Фурье;

9.  Физические приложения определенного интеграла.

10.  Формирование аналитического мышления при изучении темы «Функции» на уроках математики в среднем звене школы.

5. Литература основная.

Данко математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва. Оникс 21 век. 2003г. Лунгу задач по высшей математике. Москва. Айрис Пресс. 2002. Письменный лекций по высшей математике. 1 часть – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003.

Литература дополнительная.

Выгодский по высшей математике. Москва. ГИФМЛ. 1958 Демидович задач по математическому анализу. Москва, ГИФМЛ, 1963 , Кочеткова и элементарные функции. Части 1,2. Москва, Просвещение, 1966 Пискунов и интегральное исчисления. Москва. Наука. 1966 Письменный лекций по высшей математике. Части 1,2. Москва. Айрис Пресс. 2002

Рецензия на рабочую программу

по предмету «Математический анализ» (повышенный уровень )

для педагогического колледжа по специальности 0312

с дополнительной подготовкой в области математики,

составленную преподавателем математики

Благовещенского педагогического колледжа

Программа по предмету «Математический анализ» составлена в строгом соответствии с учебным планом и государственными требованиями к минимуму содержания и уровня подготовки выпускников по указанной специальности, утвержденной Министерством образования Российской Федерации.

В соответствии с требованиями Государственного Стандарта Образования 2 поколения программа состоит из 5 разделов:

1.  пояснительная записка;

2.  тематическое планирование;

3.  содержание учебного материала;

4.  примерная тематика курсовых и выпускных квалификационных работ;

5.  список рекомендуемой литературы.

В программе отражены все разделы математического анализа, рекомендованные к изучению в педагогических ССУЗах, содержатся требования к знаниям, умениям и навыкам студентов по каждому разделу темы. Указаны темы самостоятельной работы студентов, примерная тематика курсовых и выпускных квалификационных работ.

Программа отвечает современным требованиям к программам для средних специальных учебных заведений и рекомендуется к использованию в педагогической деятельности.

Программа обсуждена на заседании ПЦК математики и физики.

Рецензент: , преподаватель математики с методикой преподавания

высшей категории Благовещенского педагогического колледжа.

_____ ____________ _________ ________________