УСЛОВИЯ ЗАДАЧ
Первой математической Олимпиады
имени
Очный тур
5-6 КЛАССЫ
1. В феврале 2012 года среда будет 5 раз. Какого числа будет вторая среда?
2. «Зациклившаяся» машина начала печатать подряд цифры в такой последовательности: …… Какую цифру она напечатает на 2010-м месте, если ее не остановить?
3. У Пети имеется стеклянный запаянный аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, который не полностью заполнен водой. Петя заметил, что, если поставить аквариум на любую грань, воды всегда не достаёт до верха на 3 см. Петя предполагает, что аквариум имеет форму куба. Верно ли это предположение? (Ели вы согласитесь с Петей, или не согласитесь, – в любом случае вы должны обосновать, т. е. доказать своё утверждение.)
4. Сейчас угол между часовой и минутной стрелками настенных часов прямой. Чему может быть равен угол между этими стрелками через полчаса?
5. Расставьте числа 1, 2, 3, 4 в клетки таблицы 4х4 так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, каждом вертикальном ряду и на каждой из двух диагоналей оказались все четыре числа.
6. Ладья обошла шахматную доску, побывав в каждой клетке по крайней мере по одному разу. Какое наименьшее число поворотов при этом она могла сделать?
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
ПЕРВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ИМ С. Н.ОЛЕХНИКА
2010 год (очный тур)
5-6 КЛАССЫ
1. Год високосный, так как 5 сред. Раз именно сред, то февраль начинается со среды, 2-я среда будет 8 февраля.
2. Цикл состоит из 8 цифр. 2010 : 8 =251(ост.2), вторая цифра 2.
3. Петя прав - аквариум действительно имеет форму куба.
Обоснование (решение). Пусть основные размеры прямоугольного параллелепипеда 
(см). Так как объем прямоугольного параллелепипеда (
) и объём воды неизменные, то и объём воздушного пространства в аквариуме - тоже неизменный. Отсюда получаем: 
, или 
. Получаем: 
, то есть 
, откуда следует, что аквариум имеет форму куба.
Примечание. Участник олимпиады вовсе не обязан (а скорее всего – не умеет) так решать. Его верное решение (обоснование) может быть сформулировано словесно. (Но проверять такие решения нелегко.)
4. 75○, 105○.
5. Можно сделать, например, так:
1 | 3 | 4 | 2 |
4 | 2 | 1 | 3 |
2 | 4 | 3 | 1 |
3 | 1 | 2 | 4 |
6. 12 поворотов
