Отдел образования и молодежной политики администрации Урмарского района
Муниципальное образовательное учреждение «Большеяниковская средняя
общеобразовательная школа»
Рассмотрено на заседании Согласовано Утверждаю
ШМО учителей естественно - Зам. директора по УВР Директор школы
научного цикла 29 августа 2009г 31 августа 2009г.
протокол №1 от 01.01.01 Дзюба Г. И.
Приказ №___от____
Элективный курс
по математике для 10 класса
на учебный год
Уравнения и
неравенства с параметрами
Автор: учитель математики
д. Большое Яниково - 2009г
Пояснительная записка.
В Концепции модернизации российского образования указана на важность решения проблемы профессионального самоопределения учащихся. Профессиональное самоопределение основывается на базе углубленного изучения тех предметов, к которым у учеников проявляется интерес и способности.
Предметные элективные курсы помогают сформировать интерес и проявиться с профилем.
Данный элективный курс называется «Уравнения и неравенства с параметрами». Он содействует профессиональной ориентации учащихся в области математики.
Уравнения и неравенства с параметрами - это важнейший раздел математики. Туда включены задачи с дидактическими, познавательными, развивающими, практическими функциями. Данный элективный курс для 10 класса систематизирует методы решения уравнений и неравенств, задач с параметрами, начиная с самых простых – линейных уравнений и неравенств с параметрами, включая более сложные. Подробно рассмотрены методы решения задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена относительно точки, луча, отрезка.
Значимость заданий курса не ограничивается лишь их диагностической ценностью, так как деятельность по их решению способствует повышению качества знаний и умений обучающихся, интеллектуальному развитию, а также позволяет формировать у них представление об особенностях реальной исследовательской деятельности математиков.
Понятие параметра является важным математическим понятием, которое систематически используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах.
К постановке задач с параметрами, с модулями приводит выявление условий разрешимости тех или математических задач. Задачи с параметрами часто встречаются на ЕГЭ в части С и столь же часто оказываются не по силам учащимся. Это, вообще говоря, неудивительно, поскольку у большинства нет должной свободы в общении с параметрами.
Многие из рассматриваемых задач предлагались на ЕГЭ.
Задачи данного курса не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию обучающихся. Педагогическая цель курса - воспитать у учащихся выраженный интерес к математике. Курс ориентирован на учащихся 10 класса (на 34 часа) естественно-научного проффиля. Он будет ненавязчиво и в то же время эффективно способствовать формированию знаний и умений, необходимых для сдачи ЕГЭ, для продолжения обучения в высшей школе, объяснит вызывающие затруднения.
Актуальность курса заключена в том, что эти знания востребованы.
Цель предлагаемого курса: систематизация и ознакомление с методами решения уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств с параметрами.
Задачи курса: 1. Вызвать интерес у обучающихся к изучаемой теме.
2. Развивать исследовательскую деятельность учащихся.
3. Развитие логического мышления учащихся, воображения, математического мышления и интуиции.
4. Развитие творческих способностей учащихся, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности.
Требования к уровню освоения содержания курса:
В результате изучения данного курса обучающиеся должны уметь решать различные уравнения, неравенства с параметрами, четко записывать ответ; в ответе для каждого значения параметра указывать, сколько корней имеет уравнение, система уравнений
Виды деятельности:
Необходимыми условиями реализации поставленных задач является адекватная методика, которая предполагает широкое использование следующих приемов:
· беседа учителя с учениками;
· предварительное осмысление, обдумывание задач;
· работа в парах;
· работа в группах;
· применение объяснительно – иллюстративных методов;
· обучающая самостоятельная работа;
· контролирующая самостоятельная работа.
· составление справочника.
· тестирование.
· использование компьютерной технологии.
Оценивание результатов:
Наряду с традиционными опросами, самостоятельной и контролирующей самостоятельной работой планируется провести итоговое тестирование.
Структура программы:
1. Пояснительная записка.
2. Учебно - тематический план.
3. Содержание курса.
4. Методические рекомендации.
5. Список рекомендуемой литературы.
Принципы отбора материала:
1. Последовательность.
2. Доступность.
3. Научность.
Ожидаемый результат:
Ученик осознает степень своего интереса к предмету и оценит возможность овладения им.
Учащиеся привыкнут к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.
Ученики имеют опыт решения уравнений и неравенств с параметрами.
Содержание.
№ | Тема | Количество часов |
1 | Решение уравнений и неравенств с параметрами. | 12 ч |
2 | Расположение корней квадратного трехчлена | 7 ч |
3 | Системы уравнений и неравенств с параметрами | 5 ч |
4 | Системы линейных уравнений, 5 ч | 5 ч |
5 | Уравнения и неравенства с модулями, 2 ч | 2ч |
6 | Тригонометрические уравнения с параметрами, 2 ч. | 2 ч |
7 | Решение задач, предлагавшихся на едином госу-дарственном экзамене, 4 ч | 4 ч |
8 | Тестирование, 2 ч | 2 ч |
Раздел 1. Решение уравнений и неравенств с параметрами.
Занятие 1 . Линейные уравнения.
1.Беседа.
2.Линейные уравнения Ах= В. Схема исследования.
Примеры.
1. Для всех значений параметров решить уравнение:
а) (к+4)х = 2к + 1;
в) (рх = р3+ 1;
с) (а - 2) х = 4а + 3в;
Занятие 2. Линейные неравенства
Линейные неравенства Ах.>B, Ах<B, Ax > B, Ax < B, где А, В - выражения, зависящие от параметров, а х - неизвестное, называются линейными неравенствами с параметрами.
Схема решения таких уравнений.
Примеры.
1.Для любых значений параметров решите неравенство:
а) (к+4) х +2к +1< 0;
b) (р - 1) х>р2 -1;
2. Найти D(f), если f(x)=
+
.
3. Решить неравенство:
(х+2)2 (х-2+а)<0;
Занятие 3-4. Простейшие рациональные уравнения, содержащие параметры.
1. Для всех значений параметра а решить уравнение:
а)
=
;
б) 
х= а2+ а +1;
в) 
;
г) 
х=а2 – 1.
2. При каких значениях параметра а уравнение
=
имеет положительные решения?
Занятие 5-6. Простейшие рациональные неравенства, содержащие параметры
1.Для всех значений параметра а решить неравенства:
а) 
> -1; г) (х-3+р)2 (х-1+2р) ≥0;
б)
<0;
в) 
≤0;
2.Для всех значений параметра а найти область определения D(f) функции
f(x)=
Занятие 7-8. Квадратные уравнения с параметрами
Уравнения вида Ах2+Вх+С = 0, где А, В,С - выражения, зависящие от параметров, А не равен 0, а х - неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.
Схема исследования уравнения.
Примеры.
1. Найти все значения параметра а, для которых:
а) квадратное уравнение
(а-1)х2 + 2(2а+ 1)х +4а +3 =0
1)имеет 2 различных корня; 2) не имеет решений; 3) имеет 1 корень.
2) (а+6)х2 + 2ах + 1=0 имеет единственное решение.
3) (а2-а-2) х2 + (а+1) х+1 =0 не имеет решения?
4)Решите уравнение (а - 1) х2 - 2ах +а+2 =0.
5)Определите все значения параметра а, при которых уравнения х2 +ах +1 =0 имеют хотя бы 1 общий корень?
Занятие 9-10. Теорема Виета.
Теорема Виета. Теоремы 1,2,3 (о знаках корней).
Примеры.
1.Не решая уравнение
3х2 - (к+1)х - 3к2=0 найдите х1-1 + х2-1, если х1,, х2 - корни уравнения
2.Составить квадратное уравнение, имеющее корни х1 -1 и х2-1, если х1 и х2 –корни уравнения.
ах2 - 2вх +с=0.
Занятие 11-12. Квадратные неравенства
Неравенства видов Ах2 +Вх +С>0, Ах2 +Вх +С<0, где
Схема исследования. Свойства квадратного трехчлена.
Примеры.
1. Для любых значений параметра решите неравенства
а) х2 + 2(р+1) х + р2 > 0;
в) ах2 - 
х +1<0
2. При каких значениях параметра а неравенство (1- а) х2 + (1 - а) х +3<0 имеет пустое множество решений?
При каких значениях параметра а неравенство 
<1 выполняется для всех значениях х?
Раздел 2. Расположение корней квадратного трехчлена, 7 ч
Занятие 13-14. Расположение корней относительно одной точки
Краткие теоретические сведения. Таблица. Схема решения задач для квадратного трехчлена, связанные с расположением его корней на определенных промежутках.
Примеры.
I. 1) При каких значениях параметра а корни уравнения
х2 +2(а+1) х+а2 +1=0 расположены на луче (-2; ∞ )
2) При каких значениях параметра а уравнение (2а +1)х2 + (а2 -6а +13) х+2а +18=0 имеет различные корни х1, х2, удовлетворяющие неравенствам х1<2, х2>2
II. 1)При каких значениях параметра а уравнение
(а -3) х2 - 6ах +9а -1=0 имеет не более 1 корня, удовлетворяющего неравенству х<1?
Занятия 15-16. Расположение корней относительно двух и более точек.
1.Схема.
2.Примеры.
1) При каких значениях параметра m корни уравнения
х2-2mх+m2 -1=0 заключены между числами -2 и 4?
2) При каких значениях параметра а корни уравнения
(а-1) х2 -2ах + а=0 расположены на промежутке (-2;3)?
3) При каких значениях параметра а уравнение
(а+1)х 2 - (а+4+ х +3 а +4=0 имеет ровно 1 корень на отрезке I 0;2I
Занятия 17-19. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена
Примеры типа:
1.При каких значениях параметра а уравнение
(а-2)х4 -2ах2 +2а-3=0
имеет 2 различных решения?
2. При каких значениях параметра а неравенство
х2 +mх+m2 +6m<0?
3. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
х2 –ах+а≥0 верно при всех IхI <1.
Раздел 3. Системы уравнений и неравенств с параметрами, 5 ч
Занятие 20-21. Системы линейных уравнений с параметрами
1.Определение.
2.Понятие определителя.
3.Правило Крамера.
4.Исследование системы уравнений.
5.Примеры:
а) Для всех значений параметра а решить систему уравнений
ах-3ау=2а=3,
х+ау=1
б) (а+5)х+(2а+3)у=3а+2,
(3а+10)х+(5а+6)у=2а+4.
в) Для всех значений параметров а и в решите систему уравнений
(а+1)х +2у=в,
вх+у=3.
Занятия 22-23. Системы уравнений второго порядка
Примеры.
1.Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
аху-х-у+
=0,
х +2у+ху+1=0
имеет единственное решение?
2.При каких значениях параметра а система
-у=а - 1,
у=2-а имеет:
а) два разных решения;
б)единственное решение.
Занятие 24. Системы неравенств второго порядка.
1.Для каждого значения параметра а решить систему неравенств
х2 +х ≤ а,
2х –х2≥а-1.
2.Найти все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств
2у≥ х2 +а,
х≥у2 +а.
имеет единственное решение
Занятия 25-26. Уравнения и неравенства с модулями (с параметрами).
Определение модуля. Равносильные переходы. Решение уравнений I f(x)I =g(х) и неравенств If(x)I<g(x) и If(x)I >g(x) с параметрами.
Примеры.
1. Для всех значений параметра а решить уравнение: а) │х-3│ = а;
в) │ х-а│ =х-2
2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение а) │х-3│+1= (а-1) х
Имеет: а)2 решения;
в) 1 решение;
с) не имеет решения.
3. Для всех значений параметра а решить неравенство:
а) │2х-3│> а;
в) │ х-а │<а+1.
Занятия 27-28. Тригонометрические уравнения и неравенства.
1. Для всех значений параметра а решить уравнение:
а) а sin x= а -1;
в) cos(x +π)= а - 1;
с) tg (х - а)= tg (а+
).
2. При каких значениях параметра р уравнение sin2x - p sinx = р2 - 1 разрешимо.
3. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
Sin2x - a sin x+3 - a<0 имеет хотя бы 1 решение?
Занятия 29-31. Решение задач, предлагавшихся на ЕГЭ.
Примеры.
1.При каком значении параметра а сумма 1+ sinx (5 sinx+2a cosx) не равна 0 ни при каких значениях х?
2.Найти значение параметра а, при котором система уравнений
3х+ау=а-1,
(а+1)х+3ау=3а -3.
имеет бесконечно много решений.
3.Найдите все значения параметра p, при которых уравнение 6 cos 2x=p -7 sin 3х. не имеет корней.
4.Найти все значения параметра р, при которых уравнение 3cosx-5=m (1+tg2x) имеет хотя бы 1 корень.
Занятие 32-33. Итоговое тестирование.
Занятие 34. Анализ выполненной работы, коррекционная работа.
Методические рекомендации.
Несмотря на то, что программа по математике средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами, было бы ошибкой утверждать, что вопрос о решении задач с параметрами никоим образом не освещается в рамках школьного курса математики. Достаточно вспомнить школьные уравнения:
х2 =а; ах2+вх+с=0; sin x=a; cos x=a; tg x=a; ctg x=а, в которых а, в, с есть не что иное, как параметры. Но мне кажется, что задачам с параметрами следует уделять больше внимания. Они представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков. Однако то же самое можно сказать о многих темах. В чем же основная методическая особенность уравнений и неравенств с параметрами?
В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой - конкретное значение параметра не известно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой - он может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении - это неизвестная известная, переменная постоянная величина. Эти сложности и нужно преодолеть ученикам.
Мне представляется целесообразным начинать решение уравнений с параметрами с повторения решения простых указанных выше уравнений.
Включенные в курс задачи имеют ясную дидактическую цель - помочь учащимся составить представление о параметре, о том, что значит решить уравнение с параметрами. К сожалению, в рамках школьной программы очень сложно вести подробный разговор о задачах с параметрами, в частности, об уравнениях и неравенствах с параметрами. Однако более близкое знакомство с параметрами мне представляется просто необходимым. Отработка прочных навыков решения уравнения с параметрами и запланировано в ходе изучения данного курса. Тонкости и нюансы, различные приемы решения уравнений с модулями и параметрами, нахождения множества значений - прерогатива элективного курса.
Подбор системы задач не является трудоемкой работой, в указанной литературе достаточное количество задач.
В зависимости от уровня подготовленности школьников каждый учитель вправе внести необходимые, с его точки зрения, коррективы.
Список рекомендуемой литературы
Для учителя и учащихся.
1. , . Дополнительные главы к школьному учебнику.
-М. Просвещение,1997.
2. , . Уравнения и неравенства с параметрами.
-Ч.:Издательство Чувашского университета, 2004.
3.. Задачи с параметрами. - М.: Просвещение, 1986.
4. . Элементарная математика и начала анализа.
-Ч.: Издательство ЧУ.
5. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика.
-М.: Интеллект - Центр, 2003.
