Областная олимпиада по математике уч. года
9.6 Население острова состоит из рыцарей (которые всегда говорят правду) и лжецов (которые всегда лгут). Троим островитянам, шедшим вместе, встретился турист, задавший каждому вопрос: «Сколько рыцарей среди Ваших спутников?». «Один», - ответил первый. «Ни одного», - сказал другой. Что сказал третий островитянин?
9.6 Ответ: «один».
Решение:
Ели бы первый отвечавший был лжец, то среди его спутников было бы либо два рыцаря, либо ни одного. Ни в первом, ни во втором случае второй островитянин не мог бы ответить, что среди его спутников нет рыцарей.
Отсюда ясно, что первый островитянин сказал правду, значит, другой солгал, а тогда третий был рыцарь и потому мог дать только правдивый ответ («один»).
9.7 Даны два трехзначных числа, сумма которых делится на 3,9,37 и 111. Эти числа записаны друг за другом. Верно ли, что полученное шестизначное число обязательно делится на 3,9,37 и 111?
9.7 Ответ: верно.
Решение:
Обозначим данные трехзначные числа через а и b. Тогда их сумма а+ b делится на 3,9,37 и 111.
Шестизначное число принимает вид 1000а+ b. Преобразуем его, выделяя слагаемое а+ b:
1000а+ b = 999а+(а+ b).
У полученной суммы не только второе, но и первое слагаемое делится на 3,9,37 и 111, так как 999а делится на 3,9,111, а 111 делится на 37. Поэтому и вся сумма делится на 3,9,37 и 111.
9.8 На катете АС прямоугольного треугольника АВС отложен отрезок АD = BC, а на катете ВС – отрезок ВЕ = СD. Найдите угол между прямыми BD и AE.
9.8 Ответ: 
.
Решение:
На продолжении катета ВС за точку С, как показано на рисунке, отложим отрезок СF = BE = CD, а на перпендикуляре к АС в точке D отложим отрезок DG = DC.
Четырехугольник DCFG – квадрат, треугольники ADG, BCD и EFG равны BD êêGE, AG = EG, ÐAEG = = ÐBOE.
10.4 На доске выписаны числа 1, 2, …, 1991. Разрешается взять несколько чисел, сумма которых делится на 5, вычеркнуть их и вписать число S/5. Можно ли добиться того, что в результате данного процесса на доске останется единственное число 1?
10.4 Ответ: нельзя.
Решение:
Заметим, что сумма 
четна. Пусть есть какой-то набор целых чисел с суммой S. Возьмем несколько из них с суммой 5а (а – целое число) и запишем вместо них число а. Новая сумма равна S - 5а + а = S - 4а. Мы видим, что четность суммы сохраняется. Исходная же сумма четна. Следовательно, нельзя получить только 1.
10.5 Какое из чисел больше: 
или 
?
10.5 Ответ: второе.
Решение:
Пусть а = 1992. Тогда 
.
10.8 На двух островах расположено несколько селений, причем на одном острове на два селения больше, чем на другом. На каждом острове между любыми двумя селениями проложена грунтовая дорога. Можно ли заасфальтировать ровно половину всех этих дорог? (Каждая дорога асфальтируется только целиком.)
10.8 Ответ: нет, нельзя.
Решение:
Пусть на одном острове n селений, а на другом (n + 2) селения. Тогда количество дорог на первом острове 
, а количество дорог на втором острове 
. Половина от общего количества дорог:
.
В полученной сумме первое слагаемое – целое при любом натуральном n, поэтому эта сумма не может принимать целых значений. Следовательно, такое количество дорог заасфальтировать нельзя.
11.4 На собрании родителей учеников 11 «Б» класса присутствовали 18 пап и 24 мамы учеников этого класса. Причем у каждого из учеников присутствовал хотя бы один из родителей. Ровно у 10 юношей и 8 девушек присутствовали оба родителя, ровно у 4 юношей и 3 девушек – только мама и ровно у 1 юноши и 1 девушки – только папа. Найти число учеников 11 «Б» класса, у которых среди учеников этого класса есть брат или сестра.
11.4 Ответ: 4.
Решение:
Разобьем всех учеников класса на три группы. К группе I отнесем тех 18 учеников (10 юношей и 8 девушек), у которых присутствовали оба родителя; к группе II – тех 7 учеников (4 юноши и 3 девушки), у которых присутствовала только мама, и к группе III – тех 2 учеников (1 юноша и 1 девушка), у которых на родительском собрании присутствовал только папа.
Обозначим: через 
- число пап, дети которых входят в группу III (
; при этом 
только в случае, когда ученики группы III – брат и сестра), через 
- число мам, дети которых входят в группу II (
), и через 
и 
- соответственно число пришедших на собрание пап и мам учеников группы I (по условию 
и 
, 
).
Так как всего на собрании было 18 пап и 
, то 
. Покажем, что 
. Действительно, если 
, то и 
, но тогда 
, чего быть не может, так как на собрании присутствовали 24 мамы.
Итак, 
, тогда и 
. Следовательно, в группе III – брат и сестра и в группе I имеются два ученика, являющихся либо братьями, либо сестрами, либо братом и сестрой.
11.5 Доказать, что при 
выполняется неравенство
.
11.5 Доказательство:
Выделив под знаком логарифма в левой части множитель 
, а в правой - 
, получим равносильное неравенство
.
Но 
> 
, и поэтому
;
первое неравенство вытекает из убывания функции
при х > 1.
11.8 Можно ли число 456 представить в виде произведения нескольких натуральных чисел так, чтобы сумма квадратов всех этих чисел была также равна 456?
11.8 Ответ: можно – 456 = 
(74 множителя, равных 1).
Решение:
Число 456 разложим на простые множи= 
. Перечислим все эти простые множители: 2, 2, 2, 3 и 19.
Теперь запишем равенство 456 = 
, где х – натуральное. Найдем из него х:
456 = 4 + 4 + 4 + 9 + 361 + х, 456 = 382 + х, х = 74.
Получаем равенства
456 = (74 множителя, равных 1),
456 = 
(74 слагаемых, равных 
).
