Методические указания по выполнению лабораторной работы: "Применение численных методов для решения математических моделей"

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

по дисциплинам:

«Системный анализ и математическое моделирование процессов

в машиностроении»,

«Математическое моделирование процессов в машиностроении»,

«Системный анализ и математическое моделирование в стандартизации»

Уфа-2007

УДК 519.87:

ББК 22.18:34.4 (Я7)

Щ 84

Методические указания по выполнению лабораторной работы «Применение численных методов для решения математических моделей» по дисциплинам «Системный анализ и математическое моделирование процессов в машиностроении», «Математическое моделирование процессов в машиностроении», «Системный анализ и математическое моделирование в стандартизации» / Сост.: ; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа, 2007. –…с.

Рецензенты:

Данные методические указания по выполнению лабораторной работы призваны помочь студентам при изучении численных методов для решения некоторых типов математических моделей. В этой связи рассмотрены метод Монте-Карло и метод интерполяции. В лабораторной работе студентам необходимо решить ряд самостоятельных задач по обоим методам. Расчеты и построение графики проводятся в MS Excel.

Предназначено для студентов направления 657– «Конструкторско-технологическое обеспечение автоматизированных производств», специальность 120«Технология машиностроения»; направления 651«Машиностроительные технологии и оборудование», специальность 120«Машины и технологии высокоэффективных процессов обработки материалов»; направления 653– «Стандартизация, сертификация и метрология», специальность 072–«Стандартизация и сертификация»; бакалавров по направлению 552– «Технология, оборудование и автоматизация машиностроительных производств»

Табл.2 Библиогр.: назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Уфимского государственного авиационного технического университета

ISBN -Х

© 2007

© Уфимский государственный

авиационный технический университет, 2007

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Работа предусматривает ознакомление студентов с возможностями двух вычислительных методов: метода Монте-Карло при статистическом моделировании и метода интерполяции при поиске приближенных решений трансцендентных уравнений и уравнений с высокими степенями.

Метод Монте-Карло в лабораторной работе используется для нахождения определенного интеграла функции, а метод интерполяции – для нахождения приближенных решений трансцендентных уравнений. Работа состоит из двух соответствующих частей, посвященных рассматриваемым численным методам.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Статистическое моделирование случайных процессов

(метод Монте-Карло)

В случаях, когда аналитические методы не применимы к решению математических моделей, возможно применение численных методов. Универсальным методом математического моделирования является метод статистического моделирования или метод Монте-Карло. Идея метода заключается в следующем. Вместо того, чтобы описывать процесс с помощью аналитического аппарата (дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» случайного явления с помощью специально организованной процедуры, включающей в себя случайность и дающей случайный результат. Конкретное осуществление (реализация) случайного процесса складывается каждый раз по иному; также и в результате статистического моделирования («розыгрыша») мы получаем каждый раз новую, отличную от других реализацию исследуемого процесса. Множество реализаций можно использовать как некий искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными методами математической статистики.

Как правило, применимость метода Монте-Карло сводится к следующему: требуется найти значение a некоторой изучаемой величины. С этой целью выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно a: .

Практически же поступают так: вычисляют (разыгрывают) n возможных значений случайной величины Х, находят их среднее арифметическое

(2.1)

и принимают в качестве оценки (приближенного значения) искомого числа :

.

Рассмотрим способ, основанный на истолковании интеграла как площади. Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена: , а двумерная случайная величина распределена равномерно в прямоугольнике D с основанием и высотой с . Тогда двумерная плотность вероятности для точек, принадлежащих D; вне D.

Задача сводится к оценке отношения площади криволинейной трапеции, соответствующей некоторому определенному интегралу к площади прямоугольника D, в который этот интеграл может быть вписан.

Идея метода заключается в следующем. Выберем пару случайных чисел – координаты случайной точки в прямоугольнике D: и . Затем выберем следующую пару чисел – другую случайную точку в прямоугольнике D и т. д. Когда число выбранных таким образом точек станет достаточно большим, они более-менее равномерно покроют данный прямоугольник. При этом множество точек N, попавших под кривую , будет пропорционально площади криволинейной трапеции, а множество всех точек M – площади прямоугольника D.

В качестве статистической оценки интеграла принимают

, (2.2)

где S – площадь прямоугольника D.

Погрешность метода может быть найдена из разности:

(2.3)

2.2.Метод интерполяции

Часто при исследовании математических моделей приходится сталкиваться с необходимостью решать уравнения с одной неизвестной.

Существуют трансцендентные уравнения, где неизвестное встречается не только в какой-либо степени, но и под знаком других функций. Кроме самых простых случаев, для нахождения корней этих уравнений формул не существует.

Формул для решения уравнений для степени при неизвестном пять и выше не существует. Для степени равной четырем – решение достаточно сложное.

Указанные уравнения могут быть сравнительно просто решены путем применения численных методов.

Любое уравнение с одним неизвестным может быть приведено к виду:

(2.4)

Корнем такого уравнения будет значение х, при котором проходит через 0. Решение уравнения состоит из двух этапов: изоляции корней и уточнения значения изолированного корня.

Изоляция корней означает определение такого отрезка , где есть корень, и притом только один. Эта задача решается либо путем анализа функции, либо построением таблицы значений функции при различных значениях аргумента (выполнением табуляции функции). Далее, построенный по полученной таблице график функции удобно использовать для приближенного исследования корней уравнения.

Для уточнения значения корня уравнения существуют различные методы. Простейшие – метод половинного деления отрезка, метод хорд.

Сущность метода половинного деления отрезка заключается в следующем. На первом шаге вычисляются значения функции на концах отрезка. Далее исходный отрезок делится пополам (точка ), находится значение функции в этой точке . Из полученных двух отрезков выбирается тот, для которого значения функции на концах отрезка имеют противоположные знаки (отрезок на рис.2.1).

F(x)

F(b)

 

a x1 x2 b

F(x1)

F(a)

Рис.1.

Метод половинного деления

Выбранный отрезок снова делится пополам, вновь вычисляется значение функции в полученной точке, пока модуль значения функции в средней точке очередного выбранного отрезка не станет меньше некоторого малого положительного .

3. Порядок проведения работы

3.1.Вычисление определенного интеграла методом Монте-Карло

3.1.1. Исходные данные

Выбрать вариант определенного интеграла функции по указанию преподавателя

Вариант	1	2	3	4	5
Интеграл

3.1.2. Цель работы

1) Вычислить определенный интеграл функции методом Монте-Карло

2) Определить точность метода в зависимости от мощности множества М.

3.1.3. Описание решаемой задачи.

1) Сгенерируем множество М точек на плоскости внутри квадрата со стороной a и координатами (0, 0), (a, 0), (0, а), (a, a). Каждая точка имеет координаты. Генерация множества М производится путем использования MS Excel.

Активизировать генерацию случайных чисел можно с помощью инструмента Генерация случайных чисел. Для запуска этого инструмента выполните команду Сервис / Анализ данных. Необходимо задать число переменных – 2, число случайных чисел (М) – 50 (далее принимаем 100, 150), распределение – равномерное, параметры: между 0 и 1 или 2 (в зависимости от пределов интегрирования).

a

0 a

Рис. 2

2) Для каждой абсциссы точки определяем значение = , которое обозначим чрез

3) Вычислим для каждой точки разность – .

4) Если – - точка принадлежит криволинейной трапеции под кривой . Найдем множество N элементов : –

5) Статистическая оценка искомого интеграла по методу Монте-Карло найдется по формуле (2.2)

6) Определим погрешность метода Монте-Карло в зависимости от объема выборки М по формуле (2.3).

7) Для определения зависимости зададимся рядом множеств : 100, 150, 200,… и определим в каждом случае .

8) Построим график зависимости в Microsoft Excel.

Далее, необходимо представить Расчетную таблицу, Результаты расчетов и Выводы.

3.2. Интерполяционный метод решения уравнений

с одним неизвестным

3.2.1. Исходные данные

Выбрать вариант уравнения по указанию преподавателя:

Вариант	1	2	3	4	5
Уравнение

3.2.2. Цель работы

Найти корень (корни) заданного уравнения с абсолютной погрешностью не более 0,01.

3.1.3. Описание решаемой задачи.

1) Преобразуем заданное уравнение к виду

2) Определяем примерный вид функции: исследуем ее методами математического анализа или табулируем с целью определения окрестности (окрестностей), где имеется один корень.

Для каждой окрестности:

3) Уточняем значение корня методом половинного деления

4) Повторяем процедуру 3 до тех пор, пока абсолютная погрешность вычисления корня не станет меньше заданной – 0,01, т. е.

5) Повторяем эту процедуру для нахождения других корней.

Расчеты проводятся в Microsoft Excel.

Далее, необходимо представить Расчетную таблицу, Результаты расчетов и Выводы.

ЛИТЕРАТУРА

1. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. Учеб. пособие для студентов втузов. / – М.: Высшая школа, 20с.

2. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. / – М.: Высшая школа, 20с.

3. Долголаптев, В. Г. Работа в Excel 7.0 для Windows 95 на примерах / – М.: БИНОМ, 19с.