Математика 8 класс. Ответы и решения к работе № 2, уч. год

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Центр дополнительного образования для детей» 350000 г. Краснодар, ул. E-mail:*****@***ru

КРАЕВЫЕ ЗАОЧНЫЕ КУРСЫ «ЮНИОР» Математика 8 класс ответы и решения к работе № 2, уч. год

Задание 1.

После урока на доске остался график функции y=к/х и пять прямых, параллельных прямой y=kx, (k≠0). Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.

Решение

Любая прямая, параллельная прямой y=kx, имеет уравнение y=kx+b, где b – некоторая константа. Абсциссами точек её пересечения с гиперболой y= к/х являются оба корня уравнения к/х =kx+b. Оно равносильно квадратному уравнению kx2+bx-k=0 . По теореме Виета произведение корней этого уравнения равно =-1 . Перемножив пять таких произведений, получаем ответ.

Комментарии. 1. Каждое из указанных квадратных уравнений имеет два действительных корня, поскольку имеет дискриминант b2+4k2>0 . Геометрически это как раз означает, что любая прямая, параллельная прямой y=kx, пересекает гиперболу y= к/х в двух точках. Так же, как в решении, можно доказать более общий факт – произведение абсцисс точек пересечения прямой и гиперболы y= к/х зависит только от k и угла наклона прямой. Ответ: -1 .

Задание 2.

Доказать, что выражение

+=2, если 1≤a ≤2 , и равно 2 , если a>2

Решение

+=+= │+1│+
│-1│=

Задание 3.

На координатной плоскости xOy построена парабола y = x2. Затем начало координат и оси стёрли. Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

Решение

Докажем следующую лемму: Пусть M и N – середины двух параллельных хорд параболы. Тогда прямая MN параллельна оси параболы (рис. 1).

рис. 1

Доказательство. Пусть хорды AB и CD параболы лежат на параллельных прямых y = kx + a и y = kx + b, тогда абсциссы точек A, B, C, D – это корни уравнений x2 = kx + a и x2 = kx + b, а абсциссы точек M и N – полусуммы корней этих уравнений, то есть по теореме Виета равны k/2. Следовательно, прямая MN параллельна оси Oy.

Вернёмся к решению задачи. Проводим последовательно две параллельные хорды параболы; прямую, проходящую через их середины (параллельную Oy); перпендикуляр к этой прямой, пересекающий параболу в двух точках; серединный перпендикуляр к полученной хорде. Этот перпендикуляр и будет осью Oy, а ось Ox – это перпендикуляр к Oy в точке пересечения с параболой.

Задание 4.

Сравните без помощи калькулятора числа:

Решение

Рассмотрим разность между данными числами:==

,так как первая дробь больше второй. Действительно, числитель первой дроби больше числителя второй, а знаменатель — меньше, так как первая дробь больше второй. Действительно, числитель первой дроби больше числителя второй, а знаменатель — меньше.

Задание 5.

Решить уравнение: . Указание: воспользоваться известным свойством .

Ответ:x=2; x= -2.

Задание 6.

Не вычисляя корней многочлена , где , дать метод нахождения значения выражения для любого натурального через коэффициенты .

Решение. По формулам Виета . Найдем , где . . РассмотримИтак,. Из полученного тождества можно определять выражения для через коэффициенты . Далее отметим следующее. Если рассмотреть выражения и выделить в нем полный квадрат, то получим . Откуда видно, что выражение принимает наименьшее значение при если ; наибольшее значения также при если . Графиком квадратичной функции , где является парабола с вершинами в точке . Ветви параболы направлены вверх при и вниз при . Прямая является осью симметрии параболы . Если , то точки пересечения параболы с осью OX есть корни квадратного уравнения = 0 . Если , то парабола касается оси OX в точке . Если , то пересечений параболы с осью OX нет.

Задание 7.

Найти все значения параметра , при которых вершина параболы расположена на координатной плоскости:

а) слева от оси OX; б) выше оси OX; в) на оси OX.

Решение

а) координаты вершины параболы есть , поэтому вершина параболы слева от оси OX, если ее абсцисса меньше нуля, т. е. , откуда .

б) вершина выше оси OX, если ордината больше нуля, т. е. , откуда , т. е. при.

в) вершина параболы на оси OX, если ордината равна нулю, т. е. , следовательно или , т. е. при и . Далее отметим следующее: для того, чтобы уравнение имело действительные корни, лежащие на числовой оси левее числа А, является одновременное выполнение следующих неравенств: и . Чтобы уравнение имело действительные корни, больше данного числа А, необходимо и достаточно, чтобы . Наконец, для того, чтобы уравнение имело один корень меньше A, а другой больше А необходимо и достаточно, чтобы , .