УДК
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО ЭЛЕМЕНТА
,
Полоцкий государственный университет
г. Новополоцк
Основной задачей данной работы является раскрытие особенностей математической модели, описывающей напряженно-деформированное состояние нормального сечения стержневого железобетонного элемента.
Особенностями рассматриваемой математической модели являются следующие:
1. Математическая модель устанавливает отображение множества допустимых значений деформаций, определенное в точечном метрическом пространстве деформаций, во множество значений усилий, определенное в точечном метрическом пространстве усилий;
b: R3 ® R3
2. Множества деформаций и усилий являются невыпуклыми множествами;
3. Указанное отображение является инъективным и однозначным, причем, существует обратное неоднозначное отображение;
4. Дополнительные ограничения связаны с выбором в качестве отображения интеграла, приближаемого с применением мультипликативного квадратурного одноточечного правила, что делает отображение прерывным, немонотонным;
5. Отображение множества деформаций во множество напряжений ¾ это степенные, полиномиальные, кусочно-линейные и др. функции. Практически все из них обладают тем недостатком, что имеют ограниченную область определения и в сочетании с любыми квадратурными правилами определяют в той или иной степени прерывность отображения b
В силу перечисленных причин становится очевидным сложность применения классических способов построения итерационной модели (сжатого отображения), позволяющего, например, при заданных усилиях прийти к единственной точке из множества допустимых деформаций.
Дополнительные ограничения связаны с выбором в качестве отображения интеграла, приближаемого с применением мультипликативного квадратурного одноточечного правила прямоугольников, что делает отображение прерывным, немонотонным. Ошибка в данном случае определяется ошибкой вычисления квадратур и ошибкой округления результата.
Для детального анализа модели необходимо рассмотреть ряд отображений, в частности, отображение множества деформаций во множество напряжений (диаграмма загружения).
Практически все предложения по аппроксимации диаграмм загружения обладают тем недостатком, что имеют ограниченную область определения и в сочетании с любыми квадратурными правилами определяют в той или иной степени прерывность отображения b. Эта особенность сказывается при расчете моментов близких к моменту образования трещины и к предельному моменту, то есть к моментам, при которых происходит отключение элементарных площадок бетона или арматуры (см. Рисунок 1).
Рис. 1.
Единственным положительным аспектом такой реализации рассматриваемого отображения является то, что оно представляет собой функцию ограниченной вариации. Эта особенность позволяет адаптировать некоторые итерационные схемы.
Расчет по умолчанию выполняется модифицированным методом секущих.
Его особенности:
1. Применен малый ограничитель шага итерации;
2. Критерием остановки итерационного процесса является малость невязок в уравнениях расчетной модели (менее 1-го процента);
3. Установлено предельное число итераций равное 100;
В программе предусмотрен дополнительный метод расчета на основе метода простой итерации, обеспечивающий более высокую устойчивость, но требующий продолжительного времени.
Þ 
Особенностями последнего являются:
1. Применено правило ложного положения;
2. Применяется координатная релаксация;
3. Применен малый ограничитель шага итерации;
4. Критерием остановки итерационного процесса является малость невязок в уравнениях расчетной модели (менее 1-го процента);
5. Установлено предельное число итераций равное 2000;
Учет предварительного напряжения выполняется введением остаточной деформации от обжатия с учетом потерь предварительного напряжения следующим образом:
Что, соответственно, сказывается на уравнениях расчетной модели:
И на всех итерационных схемах.
Если говорить о резервах совершенствования модели и повышения скорости сходимости алгоритмов, то, во-первых, надо отметить, что для двумерного случая более эффективными считаются немультипликативные квадратурные правила (правила полученные любым способом, отличным от последовательного применения правил одномерного интегрирования по каждой переменной). [1]
Мы располагаем множеством вариантов реализации идеи построения пар Гаусса-Кронрода для случая двух переменных. Из результатов полученных к настоящему времени можно упомянуть работы Сроуда, Лори, Линесса.[1] [2] [3]
Благодаря доступности автоматических программ одномерного интегрирования двойные интегралы эффективно вычисляются при помощи соответствующих алгоритмов и программ. С появлением немультипликативных правил, позволяющих получать оценки погрешности, стали создаваться и немультипликативные программы двухмерного интегрирования. Самые ранние из них использовали в качестве основных прямоугольные области. В более поздних программах предпочтение было отдано треугольным областям. Общая стратегия, применяемая в этих программах – глобальная адаптивная стратегия. [2]
Их преимущества: меньшее число вычислительных операций, вычислений подынтегральной функции, возможность интегрировать более сложные функции.
Поэтому рекомендуется в нормах сохранить интегральные выражения, не переходя к квадратурным записям.
Во-вторых, можно рассмотреть возможность учета в диаграммах деформирования (загружения) явления усадки и ползучести бетона;
В-третьих, использовать кусочно-линейные приближения для диаграмм загружений бетона и арматуры с целью повышения скорости алгоритмов.
Литература
1. Stroud A. Approximate Calculation of Multiple Integrals, ¾ Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1972.
2. Lyness J. AUG2-Integration Over a Triangle, Argonne National Laboratory Report. ¾ ANL/MCS-TM-13, 1983.
3. de Doncker E., Robinson I. An Algorithm for Autimatic Integration Over a Triangle Using Nonlinear Extrapolation. ¾ ACM Transaction on Math Software. ¾ pp 1-16, 1984.
