Олимпиада по математике, ВГУ, 2013г

Олимпиада по математике, ВГУ, 2013г.

9 КЛАСС

1. У прямоугольника уменьшили стороны: длину на 10%, а ширину – на 20%. При этом периметр прямоугольника уменьшился на 12 %. На сколько процентов уменьшится периметр прямоугольника, если его длину уменьшить на 20%, а ширину уменьшить на 10%?

2. Найдите число всех семизначных натуральных чисел, у которых цифры в десятичной записи идут в строго убывающем порядке.

3. Катеты прямоугольного треугольника являются корнями уравнения 2x2–10x+9=0. Найдите отношение площадей кругов, описанного около этого треугольника и вписанного в него.

4. Найдите наименьшее из тех значений , для которых существуют числа и , удовлетворяющие уравнению

.

5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки К и М так, что АК:КВ=ВМ:МС=2:3. В каком отношении прямая КМ делит медиану ВF?

Олимпиада по математике, ВГУ, 2013г.

10 КЛАСС

1. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство выполнено для всех действительных значений x.

2. Решите систему уравнений

3. Сколько надо взять слагаемых суммы , чтобы получить трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр?

4. Решите уравнение на множестве рациональных чисел.

5. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной окружности.

Олимпиада по математике, ВГУ, 2013г.

11 КЛАСС

1. Сумма первых n натуральных чисел, где n четное число, оканчивается цифрой 8. Какой цифрой может оканчиваться сумма следующих n чисел? (Пояснение: например, если n=4, то первая сумма есть 1+2+3+4, а вторая 5+6+7+8).

2. Даны многочлен и числа , , , , , такие, что . Оказалось, что для любого действительного х выполняется равенство . Докажите, что имеет хотя бы один действительный корень.

3. При каких значениях параметра все действительные решения уравнения принадлежат отрезку ?

4. Решите неравенство .

5. На основании ABCD четырехугольной пирамиды SABCD расположена точка О. Сфера с центром в точке О касается прямых SA, SB, SC, SD в точках A, B, K, L соответственно. Известно, что , , , а отрезок составляет с плоскостью ABCD угол . Найдите длины отрезков , и .

Решение

9 класс

1. У прямоугольника уменьшили стороны: длину на 10%, а ширину – на 20%. При этом периметр прямоугольника уменьшился на 12 %. На сколько процентов уменьшится периметр прямоугольника, если его длину уменьшить на 20%, а ширину уменьшить на 10%?

Решение. Обозначим через a и b – длину и ширину данного прямоугольника. После уменьшения длины на 10%, а ширины на 20% получим прямоугольник со сторонами и , периметр которого составляет 88% периметра исходного прямоугольника. Следовательно , откуда . Если теперь длину уменьшить на 20%, а ширину на 10%, то получим прямоугольник с периметром , что составляет : или 82% от периметра исходного прямоугольника. Следовательно, периметр во второй раз уменьшился на 18%.

Ответ: 18%.

2. Найдите число всех семизначных натуральных чисел, у которых цифры в десятичной записи идут в строго убывающем порядке.

Решение. Если расположить все цифры в убывающем порядке 1 0, то все требуемые семизначные числа получаются удалением из этого списка трех цифр, не входящих в эти числа. Следовательно, число таких чисел равно числу способов выбора трех цифр из 10, то есть числу сочетаний из 10 по 3: .

Ответ: 120.

3. Катеты прямоугольного треугольника являются корнями уравнения 2x2–10x+9=0. Найдите отношение площадей кругов, описанного около этого треугольника и вписанного в него.

Решение. Пусть a и b – катеты треугольника. Тогда по Теореме Виета , . Гипотенуза . Площадь треугольника , полупериметр . Радиус вписанной окружности . Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы . Отношение радиусов , значит отношение площадей равно 16.

Ответ:16.

4. Найдите наименьшее из тех значений , для которых существуют числа и , удовлетворяющие уравнению

.

Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно переменной : . Корни существуют, если дискриминант неотрицателен, т. е. так как , то или . Последнее неравенство имеет решения, если дискриминант соответствующего квадратного трехчлена также неотрицателен. , , . Таким образом, , следовательно, наименьшим значением является .

Ответ: .

5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки К и М так, что АК:КВ=ВМ:МС=2:3. В каком отношении прямая КМ делит медиану ВF?

Решение. Пусть , найдем . Проведем две прямые параллельные KM: AT и FP. Пусть , тогда , . По теореме Фалеса относительно угла АВС имеем: , т. е. , следовательно, . Тогда . По теореме Фалеса относительно угла АСВ имеем: , т. е. , тогда . Наконец, применим теорему Фалеса к углу FBC: .

Ответ: .

10 класс

1. Найдите все значения параметра a, при которых неравенство выполнено для всех действительных значений x.

Решение. Так как

, то преобразуем неравенство к виду . Сделаем замену , тогда исходное неравенство равносильно системе . Система верна для всех рассматриваемых t тогда и только тогда, когда функция принимает на концах промежутка неположительные значения. Из условия находим , из условия находим .

Ответ: .

2. Решите систему уравнений

Решение. Сложив все три уравнения и разделив обе части полученного равенства на 2 получим, что . Вычитая из этого равенства первое уравнение системы, получим: . Получаем два возможных значения z: 0 или 2. При из получаем , поэтому в этом случае данная система решений не имеет. При получаем систему Вычитаем из первого уравнения второе, получаем или . Таким образом, или Вторая система решений не имеет, а из первой получаем, что у=0 или у=1, следовательно, исходная система имеет два решения: (0, 0, 0); (1, 1, 0).

Ответ: (0, 0, 0); (1, 1, 0).

3. Сколько надо взять слагаемых суммы , чтобы получить трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр?

Решение. Обозначим цифры трехзначного числа через . Тогда по условию или . Так как , то либо , либо должно делиться на 37. Учитывая, что – трехзначное число, получаем, что или , или . Если , то . Этот вариант не подходит т. к. цифры полученного числа различны. Если , то . Получаем число, состоящее из одинаковых цифр, следовательно, искомое значение.

Ответ: 36.

4. Решите уравнение на множестве рациональных чисел.

Решение. Введем новую переменную , тогда . Исходное уравнение эквивалентно системе:

Введем переменные , , тогда

Многочлен не имеет рациональных корней, следовательно, , . Откуда , .

Ответ: 1; 3.

5. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной окружности.

Решение. Пусть , и . Так как , то треугольник – прямоугольный, причем . По свойству высот (отрезок, проведенный через основания высот треугольника, отсекает от него треугольник подобный данному) имеем ~, следовательно, . Аналогично .

Таким образом, имеем,

, значит . По теореме синусов, записанной для , имеем , где – искомый радиус. Так как ~, то , следовательно, , а значит .

Ответ: 13.

11 класс

1. Сумма первых n натуральных чисел, где n четное число, оканчивается цифрой 8. Какой цифрой может оканчиваться сумма следующих n чисел? (Пояснение: например, если n=4, то первая сумма есть 1+2+3+4, а вторая 5+6+7+8).

Решение. Пусть n=2k, тогда сумма первых n натуральных чисел равна S=k(2k+1). Сумма следующих n натуральных чисел (от 2k+1 до 4k) равна . Последняя цифра чисел S и D зависит только от последней цифры числа k. Найдем, при каких k выражение S=k(2k+1) может заканчиваться на 8. Если k нечетно, то и S нечетно. Если же k оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8, то S оканчивается соответственно на 0, 0, 6, 8 или 6. Итак, k должно оканчиваться на 6. Значит, сумма D следующих чисел заканчивается на последнюю цифру произведения , то есть на цифру 2.

Ответ: 2.

2. Даны многочлен и числа , , , , , такие, что . Оказалось, что для любого действительного х выполняется равенство . Докажите, что имеет хотя бы один действительный корень.

Решение. Предположим, что не имеет действительных корней. Тогда имеет четную степень, не меньшую 2. Действительно, любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень, а если , то из условия получаем, что .

Так как не имеет действительных корней, то он принимает значения одного знака. Будем считать, что (иначе умножим на –1). Так как имеет четную степень, найдется точка , в которой достигается(глобальный нестрогий) минимум, то есть для любого х выполняется неравенство . Рассмотрим такое, что . Но тогда

.

Получили противоречие. Значит, имеет хотя бы один действительный корень.

3. При каких значениях параметра все действительные решения уравнения принадлежат отрезку ?

Решение. Данное уравнение может быть приведено к виду

.

Если , то получаем , т. е. , следовательно, не является решением нашего уравнения. Разделим данное уравнение на :

.

Введем обозначение , тогда имеем . Так как , значит , т. е. , .

Вернемся к исходной переменной, получим два уравнения или , каждое из которых рассмотрим отдельно:

1) . Корни этого уравнения принадлежат отрезку , если выполняется система неравенств где .

.

2) . Аналогично получаем систему неравенств .

Таким образом, сопоставляя оба варианта, получаем, что .

Ответ: .

4. Решите неравенство .

Решение. Преобразуем данное неравенство.

, .

После введения обозначений , , получим неравенство , , . Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем: или каждую из которых рассмотрим отдельно.

1) Вернемся к исходной переменной:

Таким образом, получаем .

2) Вернемся к исходной переменной:

Последняя система решений не имеет, т. к. ее первое и третье неравенства несовместны.

Таким образом, .

Ответ: .

5. На основании ABCD четырехугольной пирамиды SABCD расположена точка О. Сфера с центром в точке О касается прямых SA, SB, SC, SD в точках A, B, K, L соответственно. Известно, что , , , а отрезок составляет с плоскостью ABCD угол . Найдите длины отрезков , и .

Решение. Так как касательные SA, SB, SК и SL (см. рис. 1), проведенные к сфере из точки S, равны и перпендикулярны радиусам, проведенным из центра сферы в точки A, B, K, L, то SAO, SBO, SKO и SLO – равные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой SO. Точки A, B, K, L лежат в плоскости, проведенной через некоторую точку и перпендикулярной , они равноудалены от точки М и принадлежат окружности (см. рис. 2), описанной около четырехугольника ABKL (М – центр этой окружности).

 

Так как хорды АВ и KL этой окружности равны, то и ABKL – равнобокая трапеция. Пусть r – радиус описанной около трапеции окружности (он равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABK), E и F – середины AL и BK, h – высота трапеции. Тогда

,

, ,

где – площадь треугольника ABK. Так как , то .

Пусть N – середина AB, , , , – расстояния от точки М до сторон AB, BK, KL и LA трапеции ABKL. Тогда , , , .

Так как (см. рис. 1), где – радиус сферы, а – середина ее хорды АВ, то . Аналогично, из равнобедренного треугольника ВМА (см. рис. 2) следует, что , и поэтому АВ – перпендикуляр к плоскости .

Прямая лежит в плоскости , которая перпендикулярна , откуда следует, что . Так как АВ – перпендикуляр к плоскости , то – проекция на плоскость АОВ (т. е. на плоскость ) и – ортогональная проекция на плоскость .

По условию прямая образует с плоскостью угол, равный , и поэтому , откуда , .

Из прямоугольного треугольника (), в котором , находим , , а из прямоугольного треугольника ( – прямой), в котором , , , , находим . Тогда .

Пусть – основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость . Тогда .

Чтобы найти , вычислим расстояние от точки до плоскости . Пусть и – основания перпендикуляров, опущенных из точки на плоскость и прямую . Тогда , где – площадь треугольника , (см. рис. 2), и поэтому .

Пусть – угол между плоскостями и , тогда . Для вычисления воспользуемся тем, что ~. Тогда , где , , . Следовательно, .

Ответ: , .