Программа по математике
для проведения вступительных испытаний в
колледж (на правах факультета)
МГГУ им.
(для поступающих на базе основного общего образования)
Раздел № 1. Числа и вычисления.
Содержание раздела.
Множество действительных чисел и его подмножества: натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа. Обыкновенная и десятичная записи чисел. Периодические дроби.
Основные понятия теории делимости на множестве натуральных чисел.
Модуль (абсолютная величина) числа.
Степень числа. Корень n-ой степени из числа.
Абитуриент должен знать:
1. правила арифметических действий с натуральными, целыми и рациональными числами в обыкновенной и десятичной записи, правила обращения десятичных дробей в обыкновенные, и наоборот, правила сравнения чисел;
2. свойства и признаки делимости натуральных чисел, определения и примеры простых и составных чисел, понятия НОД и НОК, их свойства и взаимосвязь;
3. определение и свойства модуля (абсолютной величины) действительного числа;
4. определение и свойства степени с натуральным, целым и рациональным показателями, определение и свойства корня n-ой степени из числа;
5. приближенное значение числа p, с точностью до сотых;
Абитуриент должен уметь:
1. находить значения числовых выражений различной степени сложности, содержащих все арифметические действия над числами в обыкновенной и десятичной записи;
2. обращать периодическую дробь в обыкновенную;
3. приводить примеры простых и составных чисел, раскладывать составные числа на простые множители;
4. находить НОД и НОК двух и более натуральных чисел, приводить примеры взаимно простых чисел;
5. находить значения числовых выражений, содержащих модули, степени и корни;
6. приводить примеры иррациональных чисел (кроме p).
Абитуриент должен иметь представление о:
1. иррациональных числах;
2. приближенных вычислениях, погрешностях, округлении чисел;
3. записи чисел римскими цифрами.
Абитуриент должен понимать:
1. свойства действий над числами;
2. приемы, упрощающие техническую сторону устных и письменных вычислений;
3. различия понятия корня и арифметического корня, правила использования символа 
;
4. доказательства свойств степени и корня.
Раздел № 2. Выражения и их преобразования.
Содержание раздела.
Буквенно-числовые и буквенные выражения.
Одночлены. Многочлены. Алгебраические дроби. Формулы сокращенного умножения. Преобразования рациональных выражений. Преобразования иррациональных выражений.
Основные определения и формулы тригонометрии. Простейшие преобразования тригонометрических выражений.
Абитуриент должен знать:
1. правила действий с одночленами, многочленами, алгебраическими дробями;
2. способы разложения многочленов на множители;
3. основные формулы сокращенного умножения;
4. определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, исходя из тригонометрического круга;
5. значения тригонометрических функций основных углов,
6. основные тригонометрические формулы: основные тригонометрические тождества, формулы сложения, формулы двойного, тройного и половинного аргументов, формулы понижения степени, формулы приведения;
Абитуриент должен уметь:
1. проводить преобразования рациональных выражений, используя правила действий с одночленами, многочленами, алгебраическими дробями, способы разложения многочленов на множители, основные формулы сокращенного умножения;
2. проводить вычисления с арифметическими корнями и преобразования выражений, содержащих арифметические корни, используя свойства корней;
3. проводить тригонометрические вычисления и преобразования тригонометрических выражений, используя основные формулы тригонометрии;
4. проводить тригонометрические преобразования сумм в произведения и произведений в суммы;
Абитуриент должен иметь представление о:
1. допустимых и недопустимых значениях букв в буквенно-числовых выражениях;
Абитуриент должен понимать:
1. сущность понятий тождество и тождественное преобразование;
2. классификацию математических выражений;
3. особенности преобразований выражений различных классов;
4. тригонометрический круг;
5. доказательства основных тригонометрических формул;
6. конкретные примеры применения преобразований выражений к решению различных математических задач.
Раздел № 3. Уравнения и неравенства.
Содержание раздела.
Уравнение и его корни. Классификация уравнений. Сущность процесса решения уравнений. Методы и приемы решения уравнений. Равносильные и неравносильные уравнения.
Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Целые рациональные уравнения. Дробные рациональные уравнения.
Неравенства. Числовые промежутки. Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Системы неравенств.
Простейшие системы уравнений.
Абитуриент должен знать:
1. определения понятий: уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения;
2. классификацию уравнений, существенные признаки уравнений различных классов;
3. формулу корней квадратного уравнения (с выводом);
4. формулу разложения квадратного трехчлена на линейные множители;
5. теорему Виета и ей обратную для квадратного уравнения (без доказательств);
6. алгоритм метода интервалов для решения рациональных неравенств;
7. основные теоремы о равносильности уравнений (без доказательства);
8. основные теоремы о равносильности неравенств (без доказательства);
9. определение понятий: система уравнений, решение системы уравнений;
10. основные теоремы о равносильности систем уравнений (без доказательств).
Абитуриент должен уметь:
1. приводить конкретные примеры уравнений с различным количеством корней;
2. решать линейные и квадратные уравнения;
3. решать целые рациональные уравнения, сводимые к линейным и квадратным элементарными алгебраическими преобразованиями;
4. решать биквадратные уравнения;
5. находить корни многочленов, целых и дробных рациональных уравнений методом разложения на множители;
6. решать рациональные неравенства методом интервалов;
7. записывать решения неравенств в виде объединения числовых промежутков;
8. решать системы и совокупности неравенств;
9. применять метод введения новой переменной при решении уравнений и неравенств;
10. решать простейшие системы рациональных уравнений;
11. решать системы уравнений, не являющихся рациональными;
12. осуществлять графическое решение уравнений с одной переменной;
Абитуриент должен иметь представление о:
1. графическом решении уравнений, неравенств, систем;
Абитуриент должен понимать:
1. сущность процесса решения уравнений;
2. особенности использования равносильных и неравносильных преобразований уравнений;
3. сущность метода разложения на множители при решении уравнений;
4. сущность метода введения новой переменной при решении уравнений;
5. возможности графических рассуждений при решении уравнений;
6. обоснование метода интервалов решения рациональных неравенств;
Раздел № 4. Сюжетные задачи.
Содержание раздела.
Сюжетная задача и ее решение. Арифметическое и алгебраическое решение сюжетных задач. Классификации сюжетных задач.
Деление на части, пропорции, проценты. Отношения «больше – меньше» в сюжетных задачах. Задачи с геометрическим содержанием. Задачи с физическим содержанием. Торгово-денежные отношения в сюжетных задачах. Соотношения между натуральными числами в сюжетных задачах. Задачи на движение. Задачи на работу. Задачи на смеси и сплавы.
Последовательности. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Сюжетные задачи на прогрессии.
Абитуриент должен знать:
1. правила нахождения части от целого и целого по части;
2. понятие пропорции, применение пропорций к решению сюжетных задач в случаях прямой и обратной пропорциональности;
3. определения и основные свойства арифметической прогрессии;
4. определение и основные свойства геометрической прогрессии;
Абитуриент должен уметь:
1. анализировать условие сюжетной задачи, составлять его краткую запись в форме удобной для поиска пути решения задачи;
2. проводить процентные вычисления;
3. решать сюжетные задачи различных типов;
4. приводить примеры и контрпримеры арифметической и геометрической прогрессий;
5. проводить вычисления по формулам прогрессий;
Абитуриент должен иметь представление о:
1. о последовательностях, не являющихся прогрессиями;
Абитуриент должен понимать:
1. процесс решения сюжетной задачи как процесс математического моделирования, особенности этапов составления модели, внутримодельного решения, интерпретации результатов;
2. сущность основных эвристик, применяемых при решении сюжетных задач.
Раздел № 5. Функции и графики.
Содержание раздела.
Понятие функции. Основные функциональные понятия: область определения и множество значений функции.
График функции. Свойства функций. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции. Четность и нечетность функций.
Элементарные функции. Линейная функция. Функция y = |x|. Степенная функция с целым показателем. Функция у = 
. Функция у = 
.
Геометрические преобразования графиков функций.
Исследование функций элементарными средствами.
Абитуриент должен знать:
1. определения основных функциональных понятий;
2. определения четной и нечетной функций;
3. определения возрастающей и убывающей функций, точек экстремума;
4. графики и свойства важнейших элементарных функций: линейной, квадратичной, функция y = |x|, дробно-линейной, степенной функции с целым показателем, функции у = , функции у = .
Абитуриент должен уметь:
1. находить область определения аналитически заданной функции;
2. находить множество значений аналитически заданной функции (в очевидных случаях);
3. «переходить» от одного способа задания функции к другому;
4. осуществлять геометрические преобразования графиков функций;
5. строить графики функций по заданному набору свойств;
6. «читать» графики функций;
7. уметь находить нули функции, промежутки знакопостояества функции;
8. исследовать функцию на четность и нечетность;
9. исследовать функции на монотонность и экстремумы элементарными средствами;
Абитуриент должен иметь представление о:
1. свойствах четных и нечетных функций;
Абитуриент должен понимать:
1. сущность функционального соответствия, особенности функциональной символики;
2. особенности различных способов задания функций;
Раздел № 6. Планиметрия.
Содержание раздела.
Аксиомы планиметрии. Луч, отрезок, угол. Параллельность и перпендикулярность на плоскости.
Треугольники. Равенство и подобие треугольников. Пропорциональные отрезки. Медианы, биссектрисы, высоты. Метрические соотношения в треугольнике.
Окружность, круг, дуга, хорда, диаметр. Углы, связанные с окружностью. Секущая и касательная к окружности. Треугольники и окружность. Четырехугольники. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Трапеция. Четырехугольники и окружность.
Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Правильные многоугольники.
Площади плоских фигур.
Векторы и их применение к решению задач. Система координат на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии. Различные уравнения прямой. Уравнение окружности.
Преобразования фигур. Движение. Подобие. Гомотетия.
Задачи на построение.
Абитуриент должен знать определения понятий:
1. угол; прилежащие углы, смежные углы, вертикальные углы; развернутый, прямой, острый, тупой углы; соответственные, внутренние и внешние односторонние, внутренние и внешние накрест лежащие углы; треугольник, внешний угол треугольника, средняя линия треугольника;
2. окружность и круг; дуга, хорда, диаметр окружности; центральный и вписанный углы, секущая и касательная к окружности; круговой сектор, круговой сегмент;
3. параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция;
4. вектор, движение, симметрия, поворот, параллельный перенос, подобие, гомотетия.
Абитуриент должен знать формулировки теорем:
1. критерий параллельности прямых;
2. свойства равнобедренного треугольника;
3. признаки равенства треугольников;
4. признаки подобия треугольников;
5. о пропорциональных отрезках в произвольном треугольнике;
6. о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике;
7. об углах, связанных с окружностью;
8. свойства касательной к окружности;
9. о центрах окружностей вписанной в треугольник и описанной около треугольника;
10. теорема синусов;
11. теорема косинусов;
12. свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата;
13. свойства произвольной и равнобедренной трапеций;
14. площадях подобных треугольников;
15. о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
Абитуриент должен знать формулировки и доказательства теорем:
1. о сумме углов треугольника;
2. о средней линии треугольника;
3. теорема Фалеса;
4. теорема Пифагора;
5. о сумме квадратов диагоналей трапеции;
6. о сумме внутренних углов произвольного многоугольника;
7. о выражении скалярного произведения векторов через их координаты.
Абитуриент должен знать формулы:
1. площади прямоугольника;
2. площади параллелограмма;
3. основную формулу площади треугольника;
4. формулу площади треугольника, связанную с радиусом описанной окружности;
5. формулу Герона площади треугольника;
6. площади трапеции;
7. длины окружности;
8. площади круга;
9. уравнение окружности;
10. выражение длины вектора в координатах;
Абитуриент должен уметь:
1. грамотно воспроизводить теоретические знания по планиметрии в письменной форме;
2. решать различные геометрические задачи на вычисление, применяя указанные выше теоремы и формулы;
3. проводить геометрические задачи доказательства, применяя указанные выше теоремы;
4. грамотно составлять чертежи, адекватно иллюстрирующие заданные геометрические ситуации;
5. решать простейшие (основные) задачи на построение;
6. применять методы аналитической геометрии в процессе решения задач.
Абитуриент должен иметь представление о:
1. свойствах углов с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами;
2. свойствах медиан, высот и биссектрис треугольника;
3. о вписанных и описанных четырехугольниках;
4. о вписанных и описанных правильных многоугольниках;
5. об операциях над векторами и их свойствах;
6. о свойствах преобразования движения;
7. о свойствах преобразования подобия;
8. о способах решения задач на построение.
Абитуриент должен понимать:
1. логическое строение геометрии и планиметрическую аксиоматику;
2. различные случаи взаимного расположения прямых на плоскости;
3. сущность отношения равенства на множестве геометрических фигур;
4. сущность понятия площади;
5. сущность векторно-координатного метода в планиметрии;
6. сущность геометрических преобразований движения и подобия, возможности их применения при решении задач;
7. принципиальную схему решения задач на построение.
