Математика: 7 – 11 классы, тренировочные задачи

МАТЕМАТИКА: 7 ­­­- 11 классы

Дорогие ребята, по сложившейся традиции, в этом номере мы публикуем условия задач заочной олимпиады по математике журнала МИФ-2. Но прежде чем переходить к решению задач олимпиады попробуйте решить тренировочные задачи, большинство из которых сопровождается указаниями по их решению и ответами, а также разберите решения задач окружных и городской олимпиады по метаматематике уч. года. Если в ходе решения этих задач у вас будут возникать вопросы, то их можно задать

Напоминаем, что те из вас, кто успешно справится с задачами этой олимпиады, могут получить приглашения на Хабаровскую краевую олимпиаду школьников, которая по традиции проводится в начале января. Решения высылайте на адрес ХКЦТТ с пометкой «Олимпиада по математике». Желаем успеха!

Тренировочные задачи[1]

1.  В записи поставьте между некоторыми числами знак сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 1000.

2.  Выясните какое из двух чисел больше · или 20072·2007?

Указание. Воспользоваться неравенством х2 > х2 – 1 (ответ: первое меньше второго).

3.  Из трех различных цифр x, y, z составлены всевозможные трехзначные числа. Сумма этих чисел в три раза больше трехзначного числа, каждая цифра которого есть х. Найти цифры x, y, z.

Указание.

1)  Выписать всевозможные комбинации трех цифр x, y, z;

2)  Записать условие задачи в виде равенства;

3)  Каждое трехзначное число представить в виде систематической записи и решить полученное уравнения, учитывая, что x, y, z - цифры.

(ответ: x = 6; y = 1; z = 2 или x = 8; y = 1; z = 3)

4.  Доказать, что N5 оканчивается на ту же цифру, что и число N.

Указание. Переформулировать задачу: доказать, что N5 – N делится на 10.

5.  Найти все простые числа р, которые можно записать в виде m4 +4n4 c натуральными m и n. Доказать, что других нет.

Указание. В выражении m4 +4n4 выделить полный квадрат, разложить полученное выражение на множители, потребовать, чтобы один из множителей был равен 1 (ответ: р = 5).

6.  Доказать, что уравнение х! + y! = 10z + 9 не имеет решений в целых числах.

Указание. Учесть, что n!, при n больше 1, всегда число четное.

7.  Найдите все натуральные числа а, для которых число а3+1 является степенью тройки.

Указание. Воспользоваться формулой сокращенного умножения, учесть, что 3 - простое число (ответ: а =2).

8.  Доказать, что если числа а2+ в2 и а8+ в8 делятся на 13, то числа а и в тоже делятся на 13. Указание.

1)  Рассмотреть а8 – в8, разложить это выражение на множители.

2)  Рассмотреть выражение а8+ в8 + а8 – в8, которое обязательно делиться на 13.

9.  Натуральные числа a и b таковы, что a2 + ab +1 делится на b2 + ab + 1. Докажите, что a = b.

Указание. Домножить первое выражение на b, второе – на а, и найти разность.

10.  Имеется три одинаковых детских кубика и линейка. Как без всяких вычислений измерить большую диагональ кубика?

11.  Назовем билет с номером от 000000 до 999999 «отличным», если в записи его номера имеются две соседние цифры, отличающиеся на 5. Сколько всего существует отличных билетов?

Указание. Найти число билетов, которые не будут «отличными» (ответ: 409510).

12.  Каркас куба с ребром длины 4 разделен точками на единичные отрезки. Сколько различных прямых определяют эти точки?

Указание. Определить сколько прямых проходит через каждую «вершинную» точку и сколько прямых проходит через точку, не являющуюся вершиной куба. Учесть, что таким образом каждая прямая будет учтена дважды (ответ: 838).

13.  На отборочный тур олимпиады были приглашены победители из 8; 9; 10; 11 классов – всего 11 человек. Можно ли их рассадить за круглым столом так, чтобы среди любых пяти сидящих подряд школьников нашлись представители всех четырех классов? (ответ: нельзя)

14.  Расставить в таблице 4х4 шестнадцать чисел так, чтобы сумма чисел по любой вертикали, горизонтали и диагонали равнялось нулю.

15.  Расположить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в виде квадрата так, чтобы суммы чисел по каждому столбцу, строке и диагонали были одинаковыми.

16.  а и в – целые положительные числа. Известно, что из следующих четырех утверждений:

1)  а + 1 делится на в;

2)  а = 2в + 5;

3)  а + в делится на 3;

4)  а + 7в – простое число

три верных, а одно – неверное. Найдите всевозможные пары чисел а и в.

(ответ: (9; 2) и (17; 6))

17.  Среди 25 внешне одинаковых монет 3 фальшивые и 22 настоящие. Все настоящие монеты имеют равные веса. Все фальшивые монеты также имеют равные веса, причем фальшивая монета легче настоящей. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь найти шесть настоящих монет?

Указание. Отложить одну монету, оставшиеся 24 монеты разделить на две кучки и положить на весы.

18.  Даны две бочки бесконечно большой ёмкости. Можно ли пользуясь двумя ковшами ёмкостью (2 – )л и л, перелить из одной в другую равно 1л. (ответ: нельзя)

19.  В квадрате АВСD проведены отрезки CE и CF, где Е - середина АВ, F - середина AD. Докажите, что CE и CF делят отрезок BD на три равные части.

Указание. Точки пересечения отрезков CE и CF с диагональю BD являются точками пересечения медиан треугольников АВС и АВD. Учесть, что медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1, а треугольники АВС и АВD равны.

20.  В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы этого треугольника.

Указание. Докажите, что это равнобедренный прямоугольный треугольник (используйте метод от противного: предположите, что одна из сторон меньше другой).

21.  На стороне АВ квадрата АВСD построили (снаружи) равносторонний треугольник АКВ. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника СКD, если АВ=1.

Указание. Для вычисления радиуса описанной окружности удобно использовать формулу .

Задачи и решения окружных олимпиад 2006 года (г. Хабаровск)[2]

9 класс

1.  Найти все пары натуральных чисел , для каждой из которых .

Решение: Искомые пары находятся из равенства . Их всего две: и .

2.  Какое из чисел больше, или ?

Решение: Пусть и . Тогда

,

следовательно, второе число больше, чем первое.

3.  Пусть . Доказать, что среди трех чисел имеется пара одинаковых.

Решение: Преобразуем данное в условии равенство:

= 0. Прибавим и отнимем в левой части равенства произведение , после чего сгруппируем слагаемые:

+ = 0.

Вынесем за скобки общие множители, получим:

= =0.

Сгруппируем первое, второе и третье, четвертое слагаемые во второй скобке и вынесем общие множители: = . Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, следовательно, среди чисел , удовлетворяющих данному равенству, имеется пара одинаковых.

4.  Доказать, что треугольник со сторонами - тупоугольный.

Решение. Пусть - интересующий нас треугольник и , . Докажем, что угол - тупой, методом от противного. Для этого предположим, что - острый или прямой. Проведем перпендикуляр к в точке и отложим на нем точку с . По теореме Пифагора

.

Но точка расположена дальше от , чем . Следовательно, мы пришли к противоречию.

10 класс

1.  При каком натуральном значении выполняется равенство

?

Решение: Заметим, что в числителе и знаменателе дроби левой части равенства, стоят суммы первых членов арифметических прогрессий, найдя эти суммы, получим равенство .

2.  Биссектриса угла треугольника пересекает описанную около него окружность в точке . Пусть - центр вписанной в окружности. Доказать, что треугольник - равнобедренный.

Решение: Пусть - величины углов . Легко заметить, что угол равен , а угол равен . Но тогда угол равен

.

А это и требовалось доказать.

3.  При каком натуральном от до величина принимает наибольшее значение ( - произведение всех натуральных чисел от до )?

Решение: Пусть . Тогда

Заметим, что .

Поэтому и . Следовательно, - наибольшее число.

4.  Доказать, что у любого натурального числа вида () найдется хотя бы один простой делитель вида .

Решение. По теореме о делении с остатком, произвольное натуральное число можно представить или как 4k, или 4k +1, или 4k + 2, или 4k – 1. Вместе с тем, если речь идет о простом числе, то оно может вид или = 4k +1, или = 4k –1.

Заметим, что . Отсюда следует, что если бы все простые делители натурального числа имели вид , то и само число (их произведение) также имело бы такой же вид. Поскольку в нашем случае произведение простых равно , то, по крайней мере, одно из них имеет вид .

11 класс

1.  Пусть . Доказать, что

.

Решение: Составим разность правой и левой частей неравенства и сгруппируем слагаемые:

Из первого слагаемого вынесем за скобки , из второго . Выражения, оставшиеся в скобках сгруппируем и опять общие множители вынесем за скобки, получим:

–=.

Из условия следует, что полученное выражение больше нуля, а это и требовалось доказать.

2.  Точки и лежат на окружности с диаметром . Прямые и , и пересекаются в точках и . Доказать, что .

Решение. Прямые и являются высотами треугольника , поэтому прямая , проходящая через точку их пересечения, перпендикулярна прямой .

3.  Найти наибольшее значение , для которого при некотором ( и - действительные числа)

Решение. Уравнение имеет решение только для

Поэтому . Следовательно, максимальное значение равно при

4.  Доказать, что натуральное число , состоящее из 48 единиц, делится на .

Решение. Легко проверить, что число с шестью единицами делится на . Представим данное в условии задачи число как сумму 8 чисел, в каждом из которых по 6 единиц:

+ + + … + + 111111

Каждое из слагаемых делится на 7, следовательно и вся сумма – число, состоящее из 48 единиц, делится на 7.

Задачи и решения Хабаровской городской олимпиады 2006 года

9 класс

1.  Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел таких, что и не делятся на числа

Решение. Рассмотрим число N = 2∙3∙5∙7∙11∙13∙17, которое, очевидно, делится на все вышеперечисленные числа. Тогда для любого натурального числа и не делятся на

2.  Прямоугольный лист бумаги со сторонами и складывают по прямой линии так, что две его противоположные вершины попадают в одну точку. Найти величину если известно, что складка делит сторону в отношении

Решение. Пусть - рассматриваемый прямоугольник с противоположными вершинами и которые накладываются друг на друга. Линия складки перпендикулярна диагонали и проходит через её середину Пусть также складка пересекает сторону в точке и при этом Из подобия треугольников и находим, что для выполняется пропорция . Отсюда получаем соотношение По теореме Пифагора

Окончательно находим

3.  Найти все пары вещественных чисел и удовлетворяющих уравнению

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, сгруппировав слагаемые:

=

Полученная сумма квадратов равна нулю в том и только в том случае, когда каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, необходимо найти такие пары вещественных чисел и которые удовлетворяют равенствам: и , причем из первого равенства следует, что Поэтому Отсюда получаем три пары корней:

4.  Можно ли так расположить шесть точек на плоскости, чтобы любые три из них были вершинами равнобедренного треугольника?

Решение. Можно. Для этого выбираем вершины правильного пятиугольника и его центр.

10 класс

1.  При каких натуральных числах и число будет целым?

Решение. Рассмотрим дробь и . Нетрудно убедиться в том, что каждая из этих дробей, при любых натуральных числах и , будет меньше 2, следовательно их произведение будет меньше 4. С другой стороны, каждая из дробей принимает наименьшее значение при а = 1 и b = 1, соответственно, поэтому их произведение, при любых натуральных числах и , принимает значение больше либо равное . Таким образом, имеем: . Значит, если интересующая нас величина принимает целое значение, то это может быть только тройка. В таком случае

.

Это возможно только при или .

2.  В ромбе угол равен . На сторонах и выбраны точки и соответственно так, что угол равен . Доказать, что треугольник правильный.

Решение. По условию углы и равны . Поэтому четырехугольник вписан в некоторую окружность. Но в таком случае угол равен То есть, все углы интересующего нас треугольника равны и он правильный.

3.  Несколько дуг окружности окрашены в красный цвет. Сумма длин окрашенных дуг меньше половины длины окружности. Доказать, что существует диаметр, оба конца которого не окрашены.

Решение. Покрасим в синий цвет дуги, симметричные красным дугам. Так как сумма длин красных дуг равна сумме длин синих дуг, то сумма длин всех дуг (синих и красных) меньше длины окружности. Значит, найдется неокрашенная точка. Диаметр, проходящий через нее, и будет искомым.

4.  Решить систему уравнений:

Решение. Учитывая, что если отношение x к y равно 1, то и отношение y к x тоже будет равно 1, перевернем каждую из дробей, стоящих в левых частях уравнений системы и почленно разделим числитель на знаменатель. Получим систему вида:

Положив получим легко решаемую систему ,

откуда То есть,

11 класс

1.  Найти все целые и , для которых число положительное и простое.

Решение. Из разложения следует, что , откуда , то есть должно делиться на 3. Найдем такие числа b, которые удовлетворяют этому условию. По теореме о делении с остатком, любое целое число b может либо делиться на 3, то есть: b = 3k, либо при делении на 3 давать в остатке 1, то есть: b=3k + 1, либо при делении на 3 давать в остатке 2, то есть b=3k – 1. Тогда в первом случае , очевидно, не будет делится на 3; во втором = также не делится на 3; в третьем = не делится на 3.Следовательно числа вида с целым никогда не делятся на . Значит, таких целых и не существует.

2.  Доказать, что .

Решение. Умножив обе части на , получим равносильное нужному верное равенство:

.

3.  На сторонах и квадрата выбраны точки и так, что . Доказать, что .

Решение. Отложим на продолжении отрезка за точку такую точку , что . Тогда (по двум катетам), , и задача сводится к доказательству равенства . Но треугольник - равнобедренный и, значит .

4.  Докажите, что при и .

Решение. Рассмотрим функцию . Для нее ,

при . Значит, для всех .

5.  На сторонах и правильного шестиугольника со стороной 1 во внешнюю сторону построены квадраты и . Найти расстояние между точками и .

Решение. Пусть - центр данного шестиугольника. Тогда точка получается из точки поворотом вокруг точки на . По теореме Пифагора

.

Далее, по теореме косинусов в треугольнике находим

.

Тогда .

Задания заочной олимпиады по математике

Предлагаемые задачи адресованы учащимся 8-10 классов. Вы можете решить любое количество задач и прислать нам свои решения с пометкой «Олимпиада по математике» 8, ХКЦТТ, ХКЗФМШ. На работе укажите свой домашний адрес, класс, школу, фамилию и имя. Чтобы вам было легче сориентироваться, в скобках после условия каждой задачи указано, на какой самый младший класс она рассчитана.

1.  Какое число больше или · ? (8 класс)

2.  Докажите, что для любого натурального числа а, число а3 – 1 не является степенью двойки. (8 класс)

3.  Из некоторого четырехзначного числа вычитают число, записанное теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Может ли получиться число 10класс)

4.  Известно, что число mn+pq делится на число m p. Доказать, что mq+np тоже делится на число m – p. (8 класс)

5.  Уголком называется фигура, составленная из трех квадратов со стороной 1 в виде буквы «Г». Доказать, что прямоугольник размером 2003х2005 нельзя разбить на уголки, а прямоугольник 2005х2007 – можно. (8 класс)

6.  В языке племени АББА две буквы. Известно, что никакое слово этого языка не является началом другого слова. Может ли словарь языка этого племени содержать 3 четырехбуквенных, 10 пятибуквенных, 30 шестибуквенных и 5 семибуквенных слов?

7.  Имеется 5 гирь. Их массы равны 2000г, 2001г, 2002г, 2004г, 2007г, но надписей на гирях нет, внешне они неотличимы. Имеются весы со стрелкой, которые показывают массу в граммах. Как с помощью трех взвешиваний определить гирю в 2000г? (8 класс)

8.  В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две вершины лежат на гипотенузе, а две других – на катетах. Как площадь этого квадрата относится к площади треугольника? (8 класс)

9.  В равносторонний треугольник вписан прямоугольник (две вершины прямоугольника принадлежат одной стороне, а две других – остальным сторонам). Точка пересечения диагоналей прямоугольника совпадает с центром треугольника. Найдите отношение площади прямоугольника к площади квадрата. (9 класс)

В равнобедренный треугольник вписан квадрат так, что две вершины лежат на основании, а две других – на боковых сторонах. Оказалось, что центр квадрата совпал с точкой пересечения медиан треугольника. Как относится высота треугольника к его основанию? (10 класс).

10.  В правильный пятиугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на одной стороне, а две другие – на противоположных. Центр пятиугольника совпал с точкой пересечения диагоналей прямоугольника. Найдите угол между диагоналями прямоугольника (11 класс).

Желаем удачи!

[1] Материал подготовлен к печати

[2] Условия задач и их решения предоставлены и .