Методические указания по элементарной математике для слушателей подготовительного отделения для иностранных граждан

Днепропетровск

2010

Методические указания по элементарной математике для слушателей подготовительного отделения для иностранных граждан / авторы: , , – Днепропетровск: Национальный горный университет, 2010. – 27 с.

Укладачі: , канд. техн. наук, доц.

, ст. преподаватель

ассистент.

ответственная за выпуск заведующая кафедры высшей математики , д-р техн. наук, проф.

Учебным планом подготовительного факультета НГУ для иностранные граждане предусмотрены изучение математики в объеме 168 учебных часов. При этом учебные программы по математике включают все основные разделы школьных курсов алгебры, основ анализа и геометрии, которые излагаются в украинских школах. Иностранные студенты, которые обучаются на подготовительном факультете НГУ для иностранных граждан, изучали математику на родине не в одинаковых объемах. Из их учебных программ выпадают целые разделы, которые необходимы для овладения нашими учебными программами по математике.

Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и прогнозирования результатов обучения иностранных студентов элементарной математике в курсе программы подготовительного отделения для иностранных граждан и рассчитано на студентов-иностранцев, которые прибыли в Украину для получения высшего образования. Включает элементы теории, задачи, методические указания, собственно, решения задач, и задачи для самостоятельного решения. В данном разделе рассмотрена тема «Числовые неравенства и их свойства». Весь материал разбит на параграфы, каждый из которых посвящен отдельной теме и снабжен разобранными примерами. В конце раздела приведены задания для самостоятельной работы.

Алгебраические неравенства

§ 1. Неравенства с одной переменной

(основные понятия)

Неравенством с одной переменной называется неравенство, содержащее одну независимую переменную.

Пусть дано неравенство с одной переменной f(x) > g(x) (вместо знака > могут быть знаки <, ). Областью определения неравенства f(x) > g(x) называется пересечение областей определения функций f(x) и g(x). Решением неравенства называется всякое значение переменной, при котором исходное неравенство с переменной превращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство с переменной – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Два неравенства с одной переменной называются равносильными (эквивалентными), если решения этих неравенств совпадают. В частности, неравенства равносильны, если они не имеют решений.

При решении неравенств пользуются следующими основными теоремами о равносильности неравенств:

1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное исходному.

2. Если к обеим частям неравенства f(x) > g(x) прибавить (или вычесть) любую функцию h(x), то получится неравенство, равносильное исходному при условии, что области определения полученного и исходного неравенств совпадают.

3. Если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить (или разделить) на любую функцию h(x), сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при h(x) > 0 получается неравенство, равносильное исходному. А при h(x) < 0 равносильным исходному будет неравенство противоположного смысла (предполагается, что области определения полученного и исходного неравенств совпадают).

Таким образом, можем записать

если h(x) > 0.

если h(x) < 0.

Замечание. На практике при применении теорем 2 и 3 чаще всего вместо функции h(x) берут ее частный случай – отличную от нуля константу.

Пример. Неравенства равносильны по теореме 1.

Неравенства равносильны по теореме 2, а неравенства равносильны по теореме 3.

Неравенство равносильно неравенству по теореме 3, так как обе части неравенства можно разделить на отрицательное число (-5), изменив при этом знак ≥ на знак ≤.

§2. Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным

Линейными неравенствами с одной переменой называют неравенства вида .

Если а > 0, то неравенство .

Если а < 0, то неравенство .

Если а = 0, то неравенство принимает вид и оно верно для любого если b < 0, и не имеет решений, если

1. Решите неравенство 3x > 26.

Решение: .

Ответ: .

2. Решите неравенство –8x < 24.

Решение: .

Неравенствами, приводимыми к линейным, назовем условно следующие неравенства

3. Решите неравенство

Решение: раскроем скобки в левой и правой части неравенства

Ответ: .

4. Решите неравенство

Решение: после сокращения имеем

Ответ:

5. Решите неравенство

Решение: приведем левую и правую части неравенства к общему знаменателю, то есть к числу 6

Ответ:

§3. Обобщенный метод интервалов

Пусть требуется решить неравенство

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

где целые положительные числа, действительные числа, среди которых нет равных и такие, что . Неравенства подобного типа решают обобщенным методом интервалов. В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена : точка x = α делит числовую ось на две части, причем если n = 2k (n – четное), то выражение справа и слева от точки x = α сохраняет положительный знак; если n = 2k+1 (n – нечетное), то выражение справа от точки x = α положительно, а слева отрицательно.

Для решения неравенства

обобщенным методом интервалов на числовую ось наносим числа ; в промежутке справа от наибольшего из них ставим знак «+», а затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередное число меняем знак, если нечетное число, и сохраняем знак, если четное число.

Замечание. Приведенные выше рассуждения справедливы и для неравенств вида , где

Решите неравенство

Решение:

Отмечаем на числовой прямой точки

+ - +

0 2 Х

Выясним знак на каждом интервале. В окрестности точек знаки в соседних промежутках чередуются, так как выражения не имеют четного показателя степени. Множество, дающее решение исходного неравенства, заштриховано на рисунке. Множество является решением неравенства.

Ответ: .

Решите неравенство

Решение: область определения левой части неравенства Отмечаем на числовой прямой точки

+ - +

-1 0 Х

Выясним знак на каждом интервале. В окрестности точек знаки в соседних промежутках чередуются, так как выражения не имеют четного показателя степени. Множество является решением неравенства.

Ответ: .

Найти наименьшее натуральное решение неравенства

Решение: вынесем из каждой скобки общий множитель, получим

обе части неравенства разделим на тогда

Отмечаем на числовой прямой точки

+ - - +

-1 1 2 Х

Выясним знак на каждом интервале. Слева и справа от точки будет один и тот же знак « - », так как в выражении показатель степени (число 6) есть число четное. В окрестности точек знаки в соседних промежутках чередуются, так как в выражениях показатели степеней (числа 5 и 7) нечетные. Множество, дающее решение исходного неравенства, заштриховано на рисунке. Это интервалы и, учитывая знак неравенства, число . Тогда наименьшее натуральное решение исходного неравенства .

Ответ: .

Найти количество целых решений неравенства

Решение: преобразуем левую часть неравенства

Тогда Отмечаем на числовой прямой точки

+ - + +

-5Х

Выясним знак на каждом интервале. Слева и справа от точки будет один и тот же знак «+», так как в выражении показатель степени (число 2) есть число четное. В окрестности точек знаки в соседних промежутках чередуются, так как в выражениях показатели степеней нечетные. Множество, дающее решение исходного неравенства, заштриховано на рисунке. Количество целых чисел на множестве решений равно 5.

Ответ: 5.

5. Решить неравенство

Решение: преобразуем левую часть неравенства

Дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля (), тогда для любого х и, значит, парабола не пересекает ось Ох. Наносим точки х =-1, х = 1, х = 3 на числовую ось

+ - - +

-1 1 3 Х

Получаем решение, которое заштриховано на рисунке.

Ответ:

§4. Неравенства второй степени и неравенства, приводимые к неравенствам второй степени

Пусть требуется решить неравенство (аналогичные рассуждения проводятся при решении неравенств , , ). В зависимости от знака дискриминанта квадратного трехчлена рассмотрим два случая.

1) Если D < 0, a > 0, то при всех значениях х выполняется неравенство .

2) Если то для решения неравенства нужно разложить квадратный трехчлен на множители по формуле где - корни квадратного уравнения Затем разделить обе части неравенства на число а, сохранив знак неравенства, если a > 0 и изменив знак неравенства на противоположный, если a < 0. Далее рассматриваем либо неравенство , либо неравенство решая их методом интервалов.

1. Решите неравенство

Решение: по теореме Виета. Тогда Отсюда

+ - +

1 3 Х

Ответ:

2. Решите неравенство В ответ запишите длину интервала, который является решением неравенства.

Решение: преобразуем левую и правую части неравенства

Тогда

Отмечаем на числовой оси точки

+ - +

-8 1 Х

Выясним знак на каждом интервале. В окрестности точек знаки в соседних промежутках чередуются, так как выражения и не имеют четной степени. Множество (-8; 1), являющееся решением неравенства, заштриховано на рисунке. Длина интервала (-8; 1) равна 9.

Ответ: 9.

3. Решите неравенство

Решение: перенесем из правой части неравенства в левую слагаемое 2 с противоположным знаком.

+ - +

Получаем

Ответ:

4. Решите неравенство

Решение: рассмотрим функцию Графиком этой функции является парабола с вершиной в точке (0; 25), ветви которой направлены вверх.

Изобразив схематически параболу , найдем, что при любом

Ответ:

5. Найти наименьшее целое решение неравенства

Решение: сделаем замену Тогда

Получаем .

+ - +

тогда

Возвращаемся к переменной х

+ - +

Получаем .

Наименьшим целым числом на отрезке является число -3.

Ответ: -3.

§5. Иррациональные неравенства

При решении иррациональных неравенств используются приемы, что и при решении иррациональных уравнений: возведение обеих частей неравенства в одну и туже натуральную степень, уединение радикала, введение новых переменных и т. д. При решении иррациональных неравенств можно придерживаться следующего плана:

1) найти область определения исходного неравенства,

2) решить исходное неравенство, используя перечисленные приемы,

3) из полученных решений отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства.

1. Решите неравенство

Решение: область определения левой части неравенства

Тогда исходное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств

Ответ: (-1; 3].

2. Найти длину интервала, который является решением неравенства

Решение: сделаем замену Область определения левой части неравенства Тогда

+ - +

-2 1 Y

и Тогда

Возвращаемся к переменной х. Имеем

Длина интервала равна 1.

Ответ: 1.

Рассмотрим более сложные неравенства.

Иррациональное неравенство равносильно следующей системе неравенств

Иррациональное неравенство равносильно следующей совокупности двух систем неравенств

или

Замечание. Если рассмотреть неравенство то имеем систему неравенств

Рассмотрим неравенство , для его решения имеем совокупность двух систем неравенств

или

Решить неравенство

Решение: имеем совокупность двух систем

или

Получаем

или

Имеем для первой системы

+ - +

-2 -1 1 X

Таким образом, или Запишем следующим образом

Ответ:

Решить неравенство

Решение:

Ответ:

5. Решить неравенство

Решение:

Решим неравенство

Получаем

Рассмотрим систему

Имеем

+ - +

-2 X

Тогда .

Ответ: .

6. Найти наименьшее целое решение неравенства

Решение: область определения левой части неравенства

Отмечаем на числовой прямой точки

+ - +

2 3 5 Х

Выясним знак на каждом интервале с учетом области определения. В окрестности точек знаки в соседних промежутках чередуются, так как в выражениях имеем корни нечетной степени. Множество, дающее решение исходного неравенства, имеет вид . Наименьшее целое решение неравенства

Ответ: .

§6. Неравенства с модулем

При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля функции

Неравенство вида равносильно следующей записи ,

если а > 0, если , то неравенство решений не имеет.

Неравенство вида равносильно следующей записи

если а > 0;

если а<0, то решением неравенства будет множество допустимых значений функции f(x); если а = 0, то решением неравенства будет множество х, для которых

1. Решить неравенство

Решение: имеем , тогда если .

Получаем .

Ответ: .

2. Сколько натуральных чисел являются решением неравенства ?

Решение: пусть тогда Получаем Запишем по-другому . На промежутке три натуральных числа 1, 2, 3.

Пусть тогда

Получаем Запишем по-другому . На промежутке нет натуральных чисел.

Ответ: 3.

3. Решите двойное неравенство Если решением неравенства является один промежуток, то запишите в ответе его длину, а если решением является объединение нескольких промежутков, то в ответ запишите сумму их длин.

Решение: преобразуем двойное неравенство

пусть тогда

Учитывая, что получаем результат

Пусть тогда

Учитывая, что получаем результат

Решением двойного неравенства является объединение двух отрезков Длина первого отрезка длина второго отрезка тоже Сумма длин данных отрезков

Ответ: 4,8.

4. Решите неравенство .

Решение: имеем , тогда если а > 0.

Получаем , тогда

Ответ: .

5. Решите неравенство

Решение: область определения левой части неравенства Преобразуем правую часть неравенства, получим

Пусть тогда

Получаем

+ - +

-1 2 Х

Учитывая неравенство или, что тоже самое x > 1 и x < -1, получаем результат x > 1 и x < 2. Запишем по-другому

Пусть тогда

Получаем

+ - +

-1 2 Х

Тогда решением неравенства является множество Учитывая неравенство или получаем Ø.

Ответ: (1; 2).

§7. Показательные неравенства

Простейшее показательное неравенство – это неравенство . При решении таких неравенств используют свойства монотонности показательной функции: при она монотонно возрастающая, а при – монотонно убывающая:

Решение нестрогих показательных неравенств отличается от решения соответствующих строгих неравенств лишь включением в множество всех решений также корней соответствующего уравнения.

Неравенство вида , где ; ; , может быть разрешено путем логарифмирования обеих ее частей (оба члена неравенство положительны). При всех неравенства такого типа справедливы для любого х из области определения. Неравенства при ; ; решения не имеют. Все другие показательные неравенства сводятся к простейшим теми же способами, которыми показательные уравнения сводятся к простейшим показательным уравнениям.

1. Решить неравенство .

Решение. Сведя обе части к основанию 2, имеем простейшее неравенство. , .

Ответ: .

2. Решить неравенство .

Решение. Это - не простейшее неравенство, в него входят три слагаемых, одно из которых число, поэтому, как и в уравнении подобного типа, надо вводить вспомогательную переменную.

Сделаем подстановку и будем иметь . Корни квадратного трехчлена ; .

Итак, решение квадратного неравенства . Возвращаясь к старой переменной, получим .

Левая часть неравенства выполняется всегда, поэтому получим .

Ответ: .

3. Найти наименьшее целое х, которое удовлетворяет неравенству .

Решение. Перенесем все степени с основанием 2 в одну сторону неравенства, а степени с основанием 11 - в другую.

После приведения подобных членов имеем .

Поделим обе части неравенства на , при этом знак неравенства не изменится: выражение всегда положительно.

Наименьшее целое х из этого промежутка .

Ответ: -1.

§8. Логарифмические неравенства

Простейшие логарифмические неравенства – неравенства , или . Первое неравенство легко сводится ко второму, если воспользоваться формулой .

При решении указанных неравенств используют свойства монотонности логарифмической функции: если логарифмическая функция возрастает, а если 0 < a < 1 – убывает.

Поэтому .

Остальные логарифмические неравенства сводятся к простейшим теми же средствами, что и логарифмические уравнения.

1. Решить неравенство .

Решение. Поскольку в основании логарифма неизвестная, рассмотрим два случая: и , т. е.:

или .

Первая система: .

Эта система не имеет решений, первое и второе неравенства несовместимы.

Вторая система:

Первая система не имеет решений, а для второй применим метод интервалов.

Ответ: (2;5).

2. Решить неравенство .

Решение. Это – не простейшее неравенство, сведем его к простейшему. Для этого, сведя все логарифмы к одному основанию 9, будем иметь неравенство, равнозначное исходному: .

Учитывая, что , введем новую переменную : . Корни числителя – числа , . Воспользуемся методом интервалов:

Решение есть . Вернемся к старой переменной:

Ответ: .

3. Решить неравенство .

Решение. Чтобы упростить решение заметим, что для всех . Логарифм, основание которого больше единицы, больше нуля, если число под логарифмом больше единицы. Выражение равняется 1 при х = 3, а для всех других x больше единицы, итак, для всех x не равных нулю и трем. Тогда исходное неравенство будет эквивалентно совокупности .