Контрольная работа по математике

Контрольная работа по математике.

2 курс.1 семестр.

Образец решения задач

Задача 1. Дано: АА1 – перпендикуляр,

АВ и АС – наклонные, Ð АВС = 90°, Ð АСА1 = 30°,

АА1 = 2, ВС =3, СМ^АВ.

Найдите: СМ

Решение:

1.  Рассмотрим DСАА1:
Ð А1 = 90°, т. к. АА1^ плоскости α
Ð С = 30°, АС – гипотенуза. АС = 2, АА1=2×2=4

2.  Рассмотрим DАВС:
Ð С = 90°(по условию), по теореме Пифагора АВ2=ВС2+АС2, АВ==5

3.  В DАВС СМ – высота
Пусть ВМ = х, то АМ = 5-х
СМ2=СВ2 – ВМ2; СМ2 = 9-х2 в DСВМ
СМ2=АС2 – АМ2; СМ2 = 16-(5-х2 ) в DАСМ
9-х2=16-(5-х)2; 9-х2=16-25+10х-х2;10х=18; х=1,8
ВМ = 1,8; то АМ = 5-1,8 = 3,2
СМ2=16-(3,2)2=16-10,24=5,76; См = 2,4

Ответ: СМ = 2,4

Задача №2

Дано: MN – проекция отрезка АВ на плоскость α,

АD: DB =3:2, АМ = 8, BN = 12.

Найдите: DE

Решение:

1.  Построим АК|| MN

2.  BK= MN+NK = 12 + 8 = 20

3. 

« DADP ~ DABK

Рассмотрим DАDP и DАВК,
Ð А – общий,
ÐР = ÐК, т. к. АК || MN

4. 

DE = DP – EP = 12 – 8 = 4
Ответ: DE = 4

Задача 3. Дано: АВ – перпендикуляр к плоскости α,

АС и АD – наклонные, Ð АВС = 30°, Ð АDB = 60°,

Ð C B D= 90°,

АB = 1

Найдите: P DСAD

Решение:

1.  P = CA +CD +DC:

2.  Рассмотрим DАВD: АB^BD, т. к. АB^ α
Ð D = 60° Þ Ð A = 30°

AD= AB:sin 60° = 1 : =

3.  Рассмотрим DАВC: АB^BC, т. к. АB^ α
АB = 1 (лежит против угла в 30°) Þ АС = 2 АВ = 2

ВС = 1 × ctg 30° =

4.  DАВD: ВD = =

5.  DВCD: CD= =

6.  P =

Ответ: Р=
Задача 4. Дано: АВ – перпендикуляр,

АС и АD – наклонные, DCBD – равносторонний АВ = ВС = BD

Найдите:

Решение:

1.  Пусть ВС = BD= CD = АВ = а

2.  D АВС = DАBD т. к. АB^ α, то АB^BD и АB^BC и АВ = BD; АВ = BC Þ АC = AD

3.  по теореме Пифагора AC =

4.  P DAСD=AC +AD +CD; P DAСD=

5.  DCВD – равносторонний, т. к. ВС = CD = BD, то r =

6. 

Ответ:

Задача 5. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 34 см. высота – 32 см. Через большее основание проведена плоскость α, образующая с высотой трапеции угол в 60°. Определить проекцию боковой стороны трапеции на плоскость α.

Дано: АВCD – трапеция, BК^AD,

АD= 34 см BС = 10 см, BK= 32 см, ADÎ α, Ð BKO = 60°

Найдите: AO – проекция наклонной АВ/

Решение:

1.  Рассмотрим АBСD – трапецию D АВК: АК==12

2.  D АВK:

3.  D ВОК: BO^ αÞ BO^ KO, Ð BKO = 60°, BO= BK sin 60° = 32

4.  D АВO: BO^ α Þ BO^ AO, AO=

Ответ: AO = 20

Контрольная работа

Вариант 1

1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС и AD – наклонные,

Ð АСВ = 30°, АС =16, BD = 6.

Найдите: AD

 

2. Дано: КМ– проекция отрезка АВ на плоскости a,
АМ=2, ВС:АС =1:4

Найдите: КВ

3.  Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости a, проведены наклонные АС и BD, проекции которых на плоскость соответственно равны 3 см и 9 см и лежат по разные стороны от проекции отрезка АВ. Найти расстояние между основаниями наклонных, если АВ =16 см и АС ^ АВ, ВD ^ АВ. Сделайте чертеж.

4.  Из точки пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6, и наклонная длиной 9. Найдите проекцию перпендикуляра на наклонную.

Вариант 2

1. Дано: АВ – перпендикуляр,
АС и AD – наклонные к плоскости a,
Ð АСВ = Ð АDВ =30°, СD = АВ.

Найдите: Ð САD

2. Дано: DАВС, D – точка в пространстве,
DA = DC, DO ^ (ABC)

Найдите: Ð ACB

3. Прямые АВ и CD расположены по разные стороны от плоскости a и параллельны прямой EF, лежащей в этой плоскости. Найти расстояние между прямыми АВ и CD, если они удалены от прямой EF соответственно на 17 см и 25 см, а их проекции от той же прямой – на 15 см.

Сделайте чертеж.

4.  Сторона равностороннего треугольника равна 3. Найдите расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2.

Вариант 3

1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС и AD – наклонные,

Ð АСВ = 45°, АС =16, BD = 6.

Найдите: AD

2. Дано: DE– проекция отрезка АВ на плоскости a,
АD=6, АС =12, ВЕ = 2.

Найдите: АВ

3.  В точках А и В плоскости a восстановлены к ней перпендикуляры АС =2,4 см и BD = 12 см. Через концы перпендикуляров проведены прямая DE до пересечения в точке Е с плоскостью a. Найти длину отрезка DE, если расстояние между перпендикулярами равно 28 см. Сделайте чертеж.

4.  К данной плоскости проведены две равные наклонные; угол между ними равен

60°, а угол между их проекциями – прямой. Найдите расстояние от данной точки до плоскости.

Вариант 4

1. Дано: DАВС, О – центр окружности,
АВС, ОD^(АВС),
DA+DB+DC = 3.

Найдите: 2DA + 4 DB +5 DC.

2. Дано: DАВС, Ð ACB =90°,
О – центр описанной окружности,
АМ = МC, OD ^ (ABC), АВ = 5,
АС = 3, DO = 2

Найдите: MD

3.  Даны плоскость a и DАВС. Сторона АВ параллельна плоскости a, а продолжения сторон АС и ВС пересекают плоскость a в точках D и Е. Определить DE, если АВ = 15 см и расстояние точек А и С от плоскости равны соответственно 6 см и 18 см.

4.  К данной плоскости проведены две равные наклонные; угол между ними равен

60°, а угол между их проекциями – прямой. Найдите угол между каждой наклонной и ее проекцией.

Вариант 5

1. Дано: CD – проекция отрезка АВ на плоскостьa,

АС =5, BD = 11, CD =8.

Найдите: АВ

2. Дано: СD– проекция отрезка АВ на плоскости a,
АВ= 28, АС=4, ВD =10.

Найдите: Ð 1

3.  Равнобедренная трапеция расположена на плоскости так, что основания ее параллельны плоскости. Проекция трапеции на плоскость a есть также трапеция описанная около круга. Определить угол между боковой стороной данной трапеции и перпендикуляров к плоскости a, если основания трапеции равны 2 дм и 6 дм, а боковая сторона 8 дм. Сделайте чертеж.

4.  В равнобедренном треугольнике основание и высота равны по 4. Данная точка находится на расстоянии 6 от плоскости треугольника и на равном расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.

Вариант 6

1. Дано: DАВС, О – центр вписанной окружности,
ОD^(АВС),
АС = ВС – 5, АВ =6, DО = 1, АМ = МВ.

Найдите: DМ.

2. Дано: DАВС, Ð ACB =90°,
DO ^ (ABC), DА = DВ=DC,
АО+СО+ВО =3ВС, DO = 4,
DС =8

Найдите: Ð 1 +Ð 2

3. Ромб, высота которого равна и острый угол равен 60°, лежит одной стороной на плоскости a. Проекция ромба на эту плоскость есть четырехугольник, один из углов которого равен 45°. Найти площадь этого четырехугольника и расстояние второй стороны ромба от плоскости a.

Сделайте чертеж.

4.  Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 3 и 4. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD=1. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы AB.

Вариант 7

1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС = AD – наклонные,

Ð АСВ = 60°, АС =4, BD = .

Найдите: AD

2. Дано: МN– проекция отрезка АВ на плоскости a,
АМ=6, ВN =8, АО=ОВ, ОК^ a

Найдите: ОК

3.  Определить форму сечения треугольной пирамиды плоскостью, параллельной двум скрещивающимся ребрам, если эти ребра взаимно перпендикулярны. Сделайте чертеж.

4.  Стороны треугольника относятся как10:17:21, а его площадь равна 84. Из вершины большего угла этого треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости, равный 15. Найдите расстояние от его концов до большей стороны.

Вариант 8

1. Дано: АВ – перпендикуляр к плоскости a,
АС и AD – наклонные,
Ð АСВ = Ð АDВ =30°, Ð САD = 60°,
R= ( радиус окружности, описанной
около треугольника АСD).

Найдите: АВ

2. Дано: DАВС, Ð АСВ = 90°, AО = ОВ,
DO ^ (ABC), DС = 5, DO =3.

Найдите: S– площадь круга, описанного вокруг DАВС.

3. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Через точку М, делящую сторону АВ основания в отношении 1:3, провели плоскость, параллельную стороне AD основания и боковому ребру SB. Вычислить площадь сечения, если AD = 36 см и SB = 30 см.

Сделайте чертеж.

4.К вершине А прямоугольника ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр АМ, конец М которого отстоит от других вершин на расстоянии 6, 7, и 9. Найти длину перпендикуляра АМ.

Вариант 9

 

1. Дано: АВ – перпендикуляр, АС и AD – наклонные,

Ð АСВ = 30°, АС =16, BD =6.

Найдите: AD

2. Дано: КМ– проекция отрезка АВ на плоскости a,
АМ=2, ВС:АС = 1:4

Найдите: КВ

3.  Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости проведены наклонные АС и BD, перпендикулярные отрезку АВ, проекции которых на плоскость соответственно равны 3 см и 9 см и лежат по разные стороны от проекции отрезка АВ. Найти расстояние между основаниями наклонных, если АВ = 16 см. Сделайте чертеж.

4.  Высота правильной четырехугольной пирамиды равна , апофема наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите боковые ребра.

Вариант 10

1. Дано: АВ – перпендикуляр,
АС и AD – наклонные к плоскости a,
Ð АСВ = Ð АDВ =30°, СD =АВ.

Найдите: ÐСАD

2. Дано: DАВС, D - точка в пространстве
DA=DB=DC, DO ^ (ABC),
Ð АОВ = 60°,

Найдите: Ð АСВ.

3. Прямые АВ и CD расположены по разные стороны от плоскости a и параллельны прямой EF, лежащей в этой плоскости. Найти расстояние между прямой АВ и CD, если они удалены от прямой EF соответственно на 17 см и 25 см, а их проекции от той же прямой – на 15 см.

Сделайте чертеж.

4.  В параллелограмме АВCD вершина А и D находятся на плоскости М, а В и С – вне ее. Сторона AD = 10, сторона АВ = 15, проекции диагоналей АС и DD на плоскость М соответственно равны 13,5 и 10,5. Найдите диагонали.