Программа вступительного экзамена «Математика»

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования города Москвы

«Московский городской педагогический университет»

(ГБОУ ВПО МГПУ)

УТВЕРЖДАЮ

Первый проректор

_____________

«____» _____________ 2013г

Программа вступительного экзамена

«Математика»

(бакалавриат)

Авторы:

д. ф-м. н., профессор

к. т.н., доцент ,

к. ф-м. н., доцент

Москва 2013

Содержание

I. Организационно-методические указания……………………………………… 3

II. Требования к владению материалом………………………………………………5

II.1. Общие требования………………………………………………………….5

II.2. Основные математические понятия и факты………………………………5

II.3. Основные формулы и теоремы……………………………………………...8

II.4. Основные умения и навыки………………………………………………..9

III. Критерии оценивания работ. ……………………………………………… ……10

IV. Задания для самостоятельной подготовки к экзамену………………………….11

V. Список литературы для подготовки……………………………………………. 18

I. Организационно-методические указания.

1. Вступительные испытания при приеме абитуриентов в государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный педагогический университет» по математике проводятся с целью определения способностей и возможностей поступающих абитуриентов осваивать основную программу высшего профессионального образования по направлениям подготовки, которые, в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами, содержат циклы математических дисциплин.

2. Вступительный экзамен по математике в ГБОУ ВПО «Московский государственный педагогический университет» не является дополнительным вступительным экзаменом. Он проводится для тех категорий абитуриентов, которые, по тем или иным законодательно утвержденным причинам, освобождены от прохождения общенационального единого государственного экзамена по математике в 2013 г.

3. Вступительный экзамен по математике в ГБОУ ВПО «Московский государственный педагогический университет» проводится в письменной форме. Допуск в экзаменационную аудиторию проводится по предъявлению экзаменационного листа и паспорта (или документа, заменяющего паспорт). Каждый из абитуриентов получает текст варианта экзаменационной работы, титульный лист работы, бланки чистовика и черновика работы. Длительность экзамена – 240 мин., считая с момента окончания заполнения титульных листов работы и раздачи вариантов экзаменационной работы.

4. Каждый из вариантов экзаменационной работы состоит из 6 заданий. Абитуриенту следует по каждому из решавшихся им заданий записать развернутое и, по возможности, полное решение. В отличие от ЕГЭ (задания В1-В14 Части I) краткий, пусть даже и верный, числовой ответ на вступительном экзамене по математике не будет оценен в качестве верного решения.

5. Записывать решения заданий можно в произвольном порядке. Условия заданий переписывать не обязательно: главное, чтобы в работе был указан номер соответствующего варианта экзаменационной работы. Решения следует записывать ручкой одинакового цвета, крайне желательно – черной глеевой ручкой. Чертежи и графики можно делать и от руки, и используя карандаш с циркулем и линейкой. Использование на экзамене справочных материалов, калькуляторов, карманных компьютеров, средств мобильной связи запрещено.

6. Зачеркивания в чистовике работы допускаются, но они должны быть сделаны аккуратно и четко, чтобы проверяющий мог однозначно прочесть имеющийся текст. В чистовике работы допускаются 1-2 ссылки на черновик работы в тех случаях, когда абитуриент по временным причинам не успевает переписать решение из черновика в чистовик.

7. Абитуриенту, опоздавшему на вступительный экзамен, время на его выполнение не продлевается. Покинуть аудиторию абитуриент может в любой момент, завершив, таким образом, вступительное испытание, работа в этом случае все равно будет оценена.

Для проверки работ абитуриентов страницы чистовика и черновика работы шифруются и работы проверяются без титульных листов. Работы не должны иметь никаких посторонних надписей или отметок ручками, отличного от того цвета, которым записан тест работы (черный или синий).

II. Требования к владению материалом.

1. Общие требования.

На экзамене по математике поступающий в высшее учебное заведение должен показать:

- знание основных математических определений и теорем, предусмотренных программой, умение доказывать эти теоремы;

- умение точно и сжато выражать математическую мысль в устном и письменном изложении, использовать соответствующую символику;

- владение математическими знаниями и навыками, предусмотренными программой; умение применять их при решении задач.

2. Основные математические понятия и факты

Арифметика. Алгебра и начала математического анализа.

1.  Натуральные числа (). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.

2.  Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

3.  Целые числа (). Рациональные числа (), их сложение, вычитание. Умножение, деление. Сравнение рациональных чисел.

4.  Действительные числа (). Их представление в виде десятичных дробей.

5.  Изображение чисел на координатной (числовой) прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.

6.  Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.

7.  Степени с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень натуральной степени.

8.  Логарифмы и их свойства.

9.  Одночлены и многочлены.

10.Многочлены с одной переменной. Корни многочленов второй степени.

11.Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Область значений. Функция, обратная данной.

12.График функции. Возрастание и убывание функции. Периодичность, чётность, нечётность.

13.Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

14.Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной , степенной , показательной , , логарифмической, тригонометрических функций (,, ), арифметического квадратного корня .

15.Уравнения. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.

16.Неравенства. Решение неравенств. Понятие о равносильных неравенствах.

17.Системы уравнений и неравенств. Решение систем. Понятие о равносильных системах уравнений и неравенств

18.Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формулы n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

19.Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).

20.Преобразование в произведение сумм , .

21.Определение производной. Ее физический и геометрический смысл. Правила нахождения производной: производная суммы, произведения, композиции функций.

22.Производные функций ,,, , , .

Геометрия

1.  Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые.

2.  Подобие треугольников, коэффициент подобия, признаки подобия треугольников, свойство отношения площадей подобных треугольников.

3.  Симметрия: осевая и центральная. Свойства симметрии.

4.  Векторы. Операции над векторами.

5.  Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.

6.  Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами прямоугольного треугольника.

7.  Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция и их свойства.

8.  Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.

9.  Центральные и вписанные углы.

10.  Вписанные и описанные четырёхугольники.

11.  Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.

12.  Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.

13.  Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.

14.  Параллельность прямой и плоскости.

15.  Угол между прямой и плоскостью. Перпендикуляр к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

16.  Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.

17.  Многогранники. Их вершины, ребра, грани, диагонали. Прямая и наклонная призма; пирамида. Правильная призма и правильная пирамида. Параллелепипеды, их виды.

18.  Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.

19.  Формула площади поверхности и объема параллелепипеда.

20.  Формулы площади поверхности и объема призмы.

21.  Формулы площади поверхности и объема пирамиды.

22.  Формулы площади поверхности и объема конуса.

23.  Формулы объема шара.

24.  Формулы площади сферы.

25.  Формулы площади поверхности и объема цилиндра.

3. Основные формулы и теоремы

Алгебра и начала математического анализа

1.  Свойства функции и ее график.

2.  Свойства функции и ее график.

3.  Свойства функции и ее график.

4.  Формула корней квадратного уравнения.

5.  Разложение квадратного трехчлена на множители.

6.  Свойства числовых неравенств.

7.  Логарифм произведения, степени, частного.

8.  Определение и свойства функций , и их графики.

9.  Определение и свойства функции и ее график.

10.  Решение уравнений вида , , .

11.  Формулы приведения.

12.  Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

13.  Тригонометрические функции двойного аргумента.

14.  Формулы преобразования сумм вида , , в произведение.

Геометрия

1.  Свойства равнобедренного треугольника.

2.  Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.

3.  Свойства точек, равноудаленных от сторон угла.

4.  Признаки и свойства параллельности прямых.

5.  Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.

6.  Признаки параллелограмма.

7.  Окружность, описанная около треугольника.

8.  Окружность, вписанная в треугольник.

9.  Измерение угла, вписанного в окружность.

10.  Признаки подобия треугольников.

11.  Теорема Пифагора.

12.  Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.

13.  Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.

14.  Признак параллельности прямой и плоскости.

15.  Признак параллельности плоскостей.

16.  Свойства параллельных плоскостей.

17.  Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

18.  Признак перпендикулярности двух плоскостей.

19.  Теорема о трех перпендикулярах.

4. Основные умения и навыки

Экзаменующийся должен уметь:

1.  Производить арифметические действия над числами, заданными в виде десятичных и обыкновенных дробей; с требуемой точностью округлять данные числа и результаты вычислений.

2.  Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные выражения, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

3.  Строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и основных тригонометрических функций.

4.  Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и приводящиеся к ним. Сюда, в частности, относятся простейшие уравнений и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции.

5.  Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений.

6.  Изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие построения на плоскости.

7.  Использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии – при решении геометрических задач.

8.  Проводить на плоскости операции над векторами (сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение векторов) и пользоваться свойствами этих операций.

9.  Пользоваться понятием производной при исследовании функций на возрастание (убывание), на экстремумы и при построении графиков функций.

III. КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ РАБОТ

Оценка на письменном экзамене по математике выставляется членами предметной комиссии по стобалльной шкале, которая переводится в аттестационную (пятибалльную) шкалу оценивания следующим образом:

Оценки по стобалльной шкале	0-40	41-60	61-80	81-100
Оценки по пятибалльной шкале	2	3	4	5

Каждый вариант состоит из шести задач, правильные решения которых оцениваются определенным числом баллов:

- по 15 баллов за верное решение каждой из первых четырех задач;

- по 20 баллов за верное решение каждой из последних двух задач.

Указанные балльные оценки снижаются в том случае, если предложенное абитуриентом решение задачи:

- содержит арифметические или логические ошибки;

- выполнено не полностью, т. е. в представленном решении рассмотрены не все возможные случаи;

- обосновано не достаточно.

Конкретные критерии выставления баллов от 0 до 15 или от 0 до 20 зависят от содержания конкретных заданий вариантов экзаменационной работы и разрабатываются председателем предметной экзаменационной комиссии.

IV. Задания для самостоятельной подготовки.

Ниже в качестве заданий для самостоятельной подготовки приведены задачи вступительного экзамена по математике в ГОУ ВПО МГПУ в 2гг. На вступительном экзамене 2013 г. общий характер, тематическая направленность и сложность заданий будут в целом сохранены.

ВАРИАНТ 11

1.  Билет на автобус стоит 25 рублей. Какое наибольшее количество билетов можно будет купить на 80 рублей после повышения цены
билета на 16%?

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите градусную меру наименьшего положительного корня уравнения .

4.  Найдите количество целых решений неравенства .

5.  В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь этой трапеции, если длины ее боковой стороны и диагонали равны 3 и 4 соответственно.

6.  Касательная к графику функции проходит через начало координат. Найдите абсциссу точки касания.

ВАРИАНТ 12

1.  Билет на автобус стоит 35 рублей. Какое наибольшее количество билетов можно будет купить на 90 рублей после понижения цены билета на 20%?

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите градусную меру наибольшего отрицательного корня уравнения .

4.  Найдите количество целых решений неравенства .

5.  В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь этой трапеции, если длины ее большего основания и боковой стороны равны 10 и 6 соответственно.

6.  Касательная к графику функции проходит через начало координат. Найдите абсциссу точки касания.

ВАРИАНТ 14

1.  Билет на автобус стоит 20 рублей. Какое наибольшее количество билетов можно будет купить на 120 рублей после повышения цены билета на 15%?

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите градусную меру наибольшего отрицательного корня уравнения .

4.  Найдите количество целых решений неравенства .

5.  В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь этой трапеции, если длины ее большего основания и диагонали равны 15 и 12 соответственно.

6.  Касательная к графику функции проходит через начало координат. Найдите абсциссу точки касания.

ВАРИАНТ 15

1.  Сколько стоит холодильник в магазине, если он на 20% дороже телевизора, а телевизор на 30% дороже сотового телефона, стоящего 7000 рублей?

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите значение выражения .

4.  Решите неравенство .

5.  Найдите высоту ромба с площадью 24 и диагональю 8.

6.  Касательная проведена к графику функции в точке этого графика с абсциссой . Найдите координаты точки пересечения этой касательной с осью ординат.

ВАРИАНТ 21

1.  По сберегательному вкладу банк выплачивает 12% годовых. По истечении каждого года начисленная сумма прибавляется к вкладу. На этот вид вклада был открыт счет в 10000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите значение выражения .

4.  Решите уравнение .

5.  Найдите площадь ромба с острым углом 600 и меньшей диагональю .

6.  Найдите длину отрезка, отсекаемого осями координат на касательной к графику функции , проведенной в точке с абсциссой x=3.

ВАРИАНТ 22

1.  По накопительному вкладу банк выплачивает 20% годовых. По истечении каждого года начисленная сумма прибавляется к вкладу. На этот вид вклада был открыт счет в 5000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение трех лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите значение выражения .

4.  Решите уравнение .

5.  Найдите площадь ромба с тупым углом 1200 и большей диагональю .

6.  Найдите длину отрезка, отсекаемого осями координат на касательной к графику функции , проведенной в точке с абсциссой x=2.

ВАРИАНТ 23

1.  Продавец закупает на оптовой базе сотовые телефоны по цене 5000 рублей за штуку. При выставлении в торговый зал продавец делает наценку 30%. Сколько будет стоить один сотовый телефон в сезон распродаж, когда цена на все товары снижается на 20%?

2.  Найдите значение выражения .

3.  Решите систему .

4.  Решите уравнение .

5.  В трапеции ABCD боковая сторона AD перпендикулярна основаниям, а диагональ BD является биссектрисой острого угла. Найдите площадь этой трапеции, если BC=17 и AD=15.

6.  Касательная проведена к графику функции в точке его пересечения с осью абсцисс. Найдите координаты точки пересечения этой касательной с прямой .

ВАРИАНТ 24

1.  По стандартному вкладу банк выплачивает 8% годовых. По истечении каждого года начисленная сумма прибавляется к вкладу. На этот вид вклада был открыт счет в 25000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение двух лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите значение выражения .

4.  Решите уравнение .

5.  Найдите площадь ромба с тупым углом 1200 и меньшей диагональю .

6.  Найдите длину отрезка, отсекаемого осями координат на касательной к графику функции , проведенной в точке с абсциссой x=9.

ВАРИАНТ 25

1.  Продавец закупает на оптовой базе ноутбуки по цене 25000 рублей за штуку. При выставлении в торговый зал продавец делает наценку 30%. Сколько будет стоить один ноутбук в сезон распродаж, когда цена на все товары снижается на 10%?

2.  Найдите значение выражения .

3.  Решите систему .

4.  Решите уравнение .

5.  В трапеции ABCD боковая сторона AD перпендикулярна основаниям, а диагональ BD является биссектрисой острого угла. Найдите площадь этой трапеции, если AD=24 и CD=25.

6.  Касательная проведена к графику функции в точке его пересечения с осью абсцисс. Найдите координаты точки пересечения этой касательной с прямой .

ВАРИАНТ 31

1.  После повышения квалификации рабочий увеличил дневную выработку с 20 до 25 деталей. На сколько процентов возросла его производительность труда?

2.  На рисунке показан график изменения температуры воздуха. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат – значение температуры в градусах. Сколько часов температура была ниже 20 градусов?

3.  Найдите значение выражения .

4.  Найдите наименьший положительный корень уравнения .

5.  Найдите площадь равнобедренной трапеции, зная что ее меньшее основание, боковая сторона и высота равны 4, 13 и 12 соответственно.

6.  Найдите наибольшее отрицательное значение функции .

ВАРИАНТ 32

1.  После повышения квалификации рабочий увеличил дневную выработку с 50 до 57 деталей. На сколько процентов возросла его производительность труда?

2.  На рисунке показан график изменения температуры воздуха. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат – значение температуры в градусах. Сколько часов температура была выше 10 градусов?

3.  Найдите значение выражения .

4.  Найдите наибольший отрицательный корень уравнения .

5.  Найдите площадь равнобедренной трапеции, зная что ее большее основание, боковая сторона и высота равны 23, 15 и 12 соответственно.

6.  Найдите наибольшее отрицательное значение функции .

ВАРИАНТ 41

1.  В классе обучаются 21 человек. Найдите количество мальчиков, если их на 10% больше, чем девочек.

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите значение выражения , если .

4.  Найдите наибольшее целое решение неравенства .

5.  В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла A пересекает сторону CD в точке E, так что CE:ED=1:2. Найдите периметр этого параллелограмма, если AB=6.

6.  Найдите наименьшее значение, которое может принимать сумма расстояний до осей координат от точки, лежащей на графике функции .

ВАРИАНТ 42

1.  В классе обучаются 34 человека. Найдите количество мальчиков, если их на 30% меньше, чем девочек.

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите значение выражения , если .

4.  Найдите наибольшее целое решение неравенства .

5.  В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла C пересекает сторону AD в точке E, так что AE:ED=3:4. Найдите периметр этого параллелограмма, если AB=8.

6.  Найдите наименьшее значение, которое может принимать сумма расстояний до осей координат от точки, лежащей на графике функции .

ВАРИАНТ 43

1.  В классе обучаются 32 человека. Найдите количество девочек, если их на 40% меньше, чем мальчиков.

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите значение выражения , если .

4.  Найдите наибольшее целое решение неравенства .

5.  В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла D пересекает сторону AB в точке E, так что AE:EB=4:5. Найдите периметр этого параллелограмма, если AB=18.

6.  Найдите наименьшее значение, которое может принимать сумма расстояний до осей координат от точки, лежащей на графике функции .

ВАРИАНТ 44

1.  Сколько стоит телевизор в магазине, если он на 20% дороже магнитофона, а магнитофон на 10% дешевле пылесоса, стоящего 8000 рублей?

2.  Решите уравнение .

3.  Найдите значение выражения .

4.  Решите неравенство .

5.  Найдите меньшую диагональ ромба с площадью 3 и высотой .

6.  Касательная проведена к графику функции в точке этого графика с абсциссой . Найдите координаты точки пересечения этой касательной с осью ординат.

V. Литература для подготовки.

Школьные учебники и задачники по математике, входящие в Федеральный перечень рекомендуемых Министерством образования и науки РФ. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под ред. 6-е изд. М.: Оникс, 2007. , , Розов по математике для поступающих в ВУЗы. избранные вопросы элементарной математики). – М.: Дрофа, 2004. Нестеренко , вступительных экзаменов по математике. М.: Физматлит, 2003. , Мирошин . Решение задач. Сдаём без проблем. 2012. М.: Эксмо, 2011.