УДК 519.2

Омский государственный университет им. , г. Омск

Модель IS-LM в современной экономике России. Теоретико-игровой подход к решению задачи максимизации и задачи стабилизации национального дохода.

Данная работа содержит новый подход к исследованию классической модели IS-LM. На первом шаге модель рассматривается с точки зрения эконометрического моделирования с использованием реальных статистических данных, модифицируется с учётом особенностей экономики России в период с 1995 по 2006 гг. На основе полученной модифицированной теоретической модели формируются задачи максимизации национального дохода и стабилизации национального дохода. Решение сформулированных задач основано на теоретико-игровом подходе. Задачи интерпретируется как игровые ситуации между игроками «Человек» и «Природа». В работе приведены решения задачи максимизации национального дохода с двумя, с четырьмя факторами управления на 2 года и на n лет, а также задачи стабилизации национального дохода с четырьмя факторами управления на 2 года и на n лет в общем виде. Также приведены решения данных задач с использованием полученной ранее эконометрической модели.

Введение

IS-LM (инвестиции – сбережения, предпочтение ликвидности - деньги) – модель товарно-денежного равновесия. Это основная модель в макроэкономической теории. С её помощью можно найти такие сочетания рыночной ставки () и дохода (), при которых одновременно достигается равновесие на товарном и денежном рынках. Она описывает экономику в краткосрочном периоде, когда совокупный доход определяется совокупным спросом.

Несмотря на универсальность и простоту модели, она на удивление редко используется для анализа экономического положения в стране, для принятия решений государством относительно проводимой политики.

Влияние государственного вмешательства в экономические процессы на развитие экономики – один из краеугольных камней всей макроэкономической теории. С ним связаны: общие темпы экономического роста, величина государственных расходов, денежная масса, валютный курс, инфляция, и многие другие величины. Поэтому становится важной задача получения реальной модели экономики, основанной на статистических данных, по которой можно определить необходимо ли в сложившейся ситуации вмешательство государства, и если да, то выбрать наиболее эффективную макроэкономическую политику.

Следующая не менее актуальная в настоящее время тема – это использование теории выпуклых игр в процессе решения экономических задач. Аппарат теории выпуклых игр позволяет просто и оригинально решать задачи, решение которых обычными методами или невозможно, или достаточно громоздко.

Работа состояла из следующих этапов:

-  Исследование модели на основе реальных статистических данных:

-  Анализ экономического положения России в период 1995 – 2006 гг.

-  Сбор статистических рядов макроэкономических показателей
.

-  Корректировка теоретической модели с учетом собранных данных и выбор базового периода.

-  Обработка статистических данных, приведение показателей в однородный вид.

-  Оценка параметров регрессионных уравнений модели.

-  Исследование модели, как системы одновременных уравнений.

-  Формулировка задач максимизации и стабилизации национального дохода с учётом ранее полученных модификаций.

-  Решение сформулированных задач на основе теоретико-игрового подхода

-  Решение сформулированных задач на основе полученной ранее эконометрической модели.

Формулировка и решение задач максимизации и стабилизации национального дохода

Рассмотрим основное макроэкономическое тождество для открытой экономики в динамике:

, (1)

Если учесть модель Аккофа:

, (2)

Тогда, если известны два значения дохода и , то при заданных значениях и все остальные значения и могут быть вычислены по формулам (2). Следовательно, задача имеет два фактора управления

Переменными управления являются государственные расходы , причем согласно экономическому смыслу все . Предполагается, что суммарная величина государственных расходов за n лет ограничена некоторой константой . Всегда можно принять , тогда - доля государственных расходов i-го года в общей сумме. Ограничение задачи выглядит следующим образом: . Величина чистого экспорта может принимать как положительные, так и отрицательные значения, кроме того для удобства решения мы зададим верхнюю и нижнюю границы изменения суммарной величины чистого экспорта.

В качестве целевой мы рассматриваем непрерывную функцию , зависящую от выбранного плана управления и связанную с .

Мы предлагаем использовать теоретико-игровой подход к постановке и решению задач такого типа.

Рассмотрим суть метода и способ решения оптимизационных задач. Задачу с двумя факторами управления можно рассматривать как игру двух лиц. Базовый признак любой игры – конфликт. Конфликт может проявляться не только в результате сознательных действий различных участников, но и как результат действия тех или иных «стихийных сил», случай так называемых «игр с природой». У нас именно такая игра. Пусть задача решается на n лет. Переменные задачи - значения государственных расходов и значения чистого экспорта. Переменными государственных расходов можно управлять, поэтому считаем, что первый игрок выбирает стратегии , причем делает сознательный рациональный выбор. Назовём этого игрока «Человек». Переменными чистого экспорта реально управлять нельзя, поэтому выбор второго игрока можно считать случайным, выбором природы. «Человек» на этот выбор повлиять не может. Другими словами, в рассматриваемой модели переменные чистого экспорта считаются экзогенными.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

На практике необходимо рассматривать вариант, который полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Только в этом случае найденный доход окажется гарантированным. Поэтому предполагается, что «природа» выбирает свои стратегии, стремясь уменьшить национальный доход. «Человек», в свою очередь, пытается его увеличить.

Такая игра является антагонистической, то есть выигрыш первого игрока равен проигрышу второго и определяется значением платежной функции. Основываясь на обобщённом варианте теоремы Неймана-Неша о выпуклых матричных играх, используя алгоритм нахождения оптимальных стратегий игроков в выпуклой игре [1], полученная задача решается далее.

Таким образом, описанный нами способ позволяет определять существование решения оптимизационных задач на основное макроэкономическое тождество, а также способ его отыскания.

Далее рассмотрим применение описанного выше метода для решения задач максимизации совокупного дохода за n лет и задачи стабилизации относительно тождества.

Поскольку основное макроэкономическое тождество является одним из уравнений входящих модель IS-LM, необходимо учитывать уравнения модели. Модель состоит из пяти уравнений.

Функция потребления. Показывает зависимость конечного потребления домашних хозяйств от валового внутреннего продукта. В классическом варианте она выглядит следующим образом: . Здесь , - ненулевые и стабильные коэффициенты в краткосрочном периоде. Ранее мы рассматривали функцию потребления предложеннэую Аккофом .

Второе уравнение показывает зависимость суммарных инвестиций от ставки процента. Уравнение в классическом виде: , , - ненулевые и стабильные в краткосрочном периоде коэффициенты.

Третье уравнение отражает основное макроэкономическое тождество, то есть равенство всех доходов и расходов: .

Четвёртое уравнение – функция чистого экспорта: .

Пятое уравнение – функция спроса на деньги: .

Внутренними переменными модели являются: доход , потребление , инвестиции , ставка процента . Внешними, то есть управляющими, являются: государственные расходы, денежная масса, чистый экспорт , именно эти величины и будут определять политику, проводимую государством. Все переменные рассчитываются как реальные, то есть изменяются в постоянных ценах.

Составляющие , , , - это случайные члены, которые предполагаются удовлетворяющими условиям Гаусса-Маркова.

Третье уравнение является тождеством и должно просто проверяться для каждого года.

Модель также включает коэффициенты (параметры), которые предполагаются постоянными в течение расчетного периода, но их значения неизвестны и должны быть оценены. Эти параметры: , , , , , , , , , . Одним из способов оценки данных параметров является эконометрическое моделирование. Нами были построены эконометрические оценки указанных функций, а также модели IS-LM на основе статистических данных для экономики России за период с 1996 по 2006 год.

В процессе анализа экономического положения в России в период с 1996 по 2006 года нами было выявлено, что уравнения, входящие в рассматриваемую модель принимают несколько иной вид. Что подтверждается также статистическим анализом. В частности, в функции потребления следует учитывать не текущий доход, а доход за предыдущий год. То же следует сказать и о функции чистого экспорта, и об уравнении равновесия денежного рынка. Кроме того, функция чистого экспорта зависит не от ставки процента, как принято считать в классическом варианте, а от величины валютного курса (Е) и от «нефтяных цен» (U – стоимость барреля нефти urals). Таким образом, модель IS-LM принимает вид:

Рассмотрим задачу максимизации национального дохода на последующие два года.

Подставляем полученные уравнения в основное макроэкономическое тождество:

.

Обозначив , , получим: .

Зная значения дохода в два предыдущих года: , , и задавая величины управляющих переменных: , , , , , , , мы можем определять величину дохода на последующие периоды.

Естественно предположить, что управляющие переменные имеют следующие ограничения:

Предполагаем, что суммарная величина государственных расходов не превышает единицы: , , .

Для суммарного изменения денежной массы заданы максимальное и минимальное значения.

Также предполагаем, что величина суммарного изменения валютного курса ограничена сверху значением и снизу .

Для суммарного изменения «нефтяных» цен зададим верхнюю оценку и нижнюю оценку .

Для данной ситуации имеет место следующая теорема:

Теорема 1. Максимизация национального дохода (ВВП) на последующие два года с четырьмя факторами управления, если управляющие величины государственных расходов, денежной массы, валютного курса и «нефтяных» цен ограничены следующими условиями: , , , , , , при этом известны величины дохода , за два предыдущих года, известны параметры моделей изменения функции потребления , функции чистого экспорта , инвестиционной функции и функции равновесия денежного рынка хотя бы за предыдущие два года, достигается при следующих значениях управляющих переменных:

Для задачи максимизации на n лет имеет место следующая теорема:

Теорема 2. Максимизация национального дохода (ВВП) на последующие n лет с четырьмя факторами управления, если управляющие величины государственных расходов, денежной массы, валютного курса и «нефтяных» цен ограничены следующими условиями: , , , …; ; ; , при этом известны величины дохода за предыдущие k лет, известны параметры моделей изменения функции потребления , функции чистого экспорта , инвестиционной функции и функции равновесия денежного рынка хотя бы за предыдущие k лет, достигается при следующих значениях управляющих переменных:

Задача стабилизации национального дохода состоит в максимизации наименьшего национального дохода. Для задачи стабилизации на два года с четырьмя управляющими переменными имеет место следующая теорема:

Теорема 3. Стабилизация национального дохода (ВВП) на последующие два года с четырьмя факторами управления (), если управляющие величины государственных расходов, денежной массы, валютного курса и «нефтяных» цен ограничены следующими условиями: , , , , , , при этом известны величины дохода , за два предыдущих года, известны параметры моделей изменения функции потребления , функции чистого экспорта , инвестиционной функции и функции равновесия денежного рынка хотя бы за предыдущие два года, достигается при следующих значениях управляющих переменных:

Для задачи стабилизации на n лет имеет место следующая теорема:

Теорема 4. Стабилизация национального дохода (ВВП) на последующие n лет с четырьмя факторами управления, если управляющие величины государственных расходов, денежной массы, валютного курса и «нефтяных» цен ограничены следующими условиями: , , , …; ; ; , при этом известны величины дохода за предыдущие k лет, известны параметры моделей изменения функции потребления , функции чистого экспорта , инвестиционной функции и функции равновесия денежного рынка хотя бы за предыдущие k лет, достигается при следующих значениях управляющих переменных:

Решение задачи максимизации на два года с учётом статистической модели

Далее мы рассматривали решение описанных задач максимизации национального дохода, с использованием полученной эконометрической модели IS-LM.

Параметры уравнений, участвующих в модели принимают следующие значения: , , , , , , , , , , .

Отсюда найдём: , , , .

Следовательно, основное соотношение имеет вид:

Итак, задача максимизации на два года принимает следующий вид:

Величины ограничений мы на данном этапе задавать не будем. Ранее мы подробно описывали переход к игровой ситуации, поэтому сразу перейдём к решению. Запишем платёжную функцию:

Следующий шаг - проверка выпуклости функции . Проверяем, выпуклость по . Составляем якобиан:

все главные миноры равны нулю, и необходимое условие выпуклости выполняется. Функция выпукла по .

Следующий этап – это определение цены игры и стратегий игроков. Заметим, что непрерывна по как комбинация непрерывных функций. Множества допустимых значений и замкнуты и ограничены, поэтому функция достигает на них своих максимального и минимального значений.

Игра выпукла, поэтому согласно основной теореме о выпуклых играх второй игрок имеет оптимальную чистую стратегию. Для её нахождения вычислим .

Вначале вычислим:

Поскольку , то с учетом ограничения оптимальное решение . Учитывая коэффициент , получим следующее решение, поскольку , то с учётом ограничения оптимальное решение .

Можно записать:

Теперь вычислим , учитывая, что , .

Так как , то оптимальные стратегии второго игрока с учётом коэффициентов и принимают значения:

, .

Таким образом, цена игры составляет:

Из предыдущих вычислений видно, что в данной игре первый игрок имеет также единственную чистую оптимальную стратегию и определять существенные стратегии нет необходимости.

Итак, запишем оптимальные стратегии игроков:

Таким образом, задавая границы интервалов для управляющих переменных, можно определять какая величина национального дохода будет гарантированной, при указанных оптимальных действиях государства.

Аналогичным образом можно решить задачу стабилизации на последующие n лет. Поскольку решение практически полностью повторяет уже описанные действия, мы его приводить не будем.

Решение задачи максимизации на два года с учётом статистической модели

Задача стабилизации национального дохода, состоящая в максимизации наименьшего возможного национального дохода с учётом полученной статистической модели принимает вид:

Числовые значения границ интервалов изменения управляющих переменных мы, как и в предыдущем случае, задавать не будем.

Таким образом, платёжная функция имеет вид:

.

Проверяем выпуклость функции . Для этого необходимо проверить выпуклость функций и . Составляем якобианы:

все главные миноры равны нулю и необходимое условие выпуклости выполняется. Функция выпукла по .

все главные миноры равны нулю и необходимое условие выпуклости выполняется. Функция выпукла по .

Ранее мы показали, что минимум из двух выпуклых функций также является выпуклой функцией. Следовательно, целевая функция выпуклая.

Следующий этап – это определение цены игры и стратегий игроков. Игра выпукла, поэтому согласно основной теореме о выпуклых играх второй игрок имеет оптимальную чистую стратегию. Для её нахождения вычислим .

Вначале вычислим:

Проведём вычисления для

С учетом ограничения оптимальное решение . Если , то с учётом ограничения оптимальное решение . Можно записать:

Проведём вычисления для

Поскольку , то с учетом ограничения оптимальное решение .

, то с учётом ограничения оптимальное решение .

Можно записать:

Теперь вычислим с учётом ограничений , :

Поскольку .

Проведём вычисления для .

, следовательно, оптимальные стратегии второго игрока с учётом коэффициентов и принимают значения:

,

Таким образом, при составляет:

Проведём вычисления для

Поскольку , тогда оптимальные стратегии второго игрока с учётом коэффициентов и принимают следующие значения. ,

Таким образом, величина принимает следующие значения:

При и , :

На следующем шаге определим цену игры.

и , то, так как

В данной игре первый игрок имеет также единственную чистую оптимальную стратегию, и определять существенные стратегии нет необходимости. Итак, запишем оптимальные стратегии игроков:

Таким образом, нами рассмотрена модель IS-LM с точки зрения теоретико-игрового подхода, а также, при помощи теоретико-игрового подхода. В модель были внесены изменения, после чего был произведён её анализ: решена задача максимизации национального дохода с двумя, с четырьмя факторами управления на 2 года и на n лет, а также задача стабилизации национального дохода с четырьмя факторами управления на 2 года и на n лет в общем виде. Также проведены вычисления для данных задач с использованием эконометрической модели, полученной на основе реальных статистических данных для России в период с 1996 по 2006 гг.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Романьков в теорию игр / .-Омск : ОмГУ, 2005.