Юный знаток математики

Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей Псковской области

«Псковский областной центр развития одаренных детей и юношества»

Областной конкурс «Юные дарования» 2012/2013

«Юный знаток математики»

Финал

8 класс

Ответы и решения

1.

Будем складывать числа А и В столбиком. Пронумеруем разряды справа налево. Так как последние цифры чисел А и В разной чётности, то последняя цифра числа С нечетная. При этом из первого разряда обязан произойти перенос во второй разряд, иначе вторая с конца цифра в числе С также была бы нечётной. Аналогично из третьего и пятого разрядов также должен пройти перенос. Заметим, что ни в одном из этих разрядов в числе С девятка стоять не может, так как единственный способ получить одновременно и девятку, и перенос - это сложить две девятки и единицу, пришедшую из предыдущего разряда, однако в числе А нет девяток.

Если число С шестизначное, то оно не превосходит 999 999.Если же оно семизначное, то его седьмая (с конца) цифра может быть только единицей. Значит, цифры, стоящие у него на четных местах, - четные и не превышают 8, а на нечетных местах – нечетные, не большие 7. Таким образом, число С не может превышать 1 878 787. Это возможно, например, так: 1 878 787 = 886 868 + 991 919.

Ответ: 1 878 787

2.

Рома не может быть честным, т. к. тогда и Кеша честный, что невозможно. Значит Рома либо лжец, либо хитрец.

Пусть Рома лжец. Тогда Кеша хитрец (он не может быть лжецом, ибо лжец Рома, и не может быть честным, поскольку тогда его высказывание ложно). Но тогда Гоша должен быть честным, но этому противоречит его высказывание.

Отсюда следует, что Рома хитрец. Тогда Кеша, судя по его высказыванию, лжец, а для Гоши остается только возможность быть честным. Его высказывание действительно истинно. А из Роминого высказывания следует, что в данном случае он (Рома) солгал. Так, честный – Гоша, хитрец – Рома, лжец – Кеша.

Ответ: честный – Гоша, хитрец – Рома, лжец – Кеша.

3.

Одно из решений приведено ниже.

4.

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть. Получим, что исходное неравенство равносильно неравенству

.Обозначим выражение, стоящее в левой части этого неравенства, через А и преобразуем его. Получим:

Так как и

то .

5.

Достроим треугольник до параллелограмма так, чтобы медиана стала половиной диагонали. Из неравенства треугольника следует, что диагональ (равная удвоенной медиане) меньше суммы двух соседних сторон параллелограмма. А поэтому медиана будет меньше полусуммы сторон треугольника, выходящих из той же вершины, ч. т.д.