Теория вероятностей, математическая статистики и случайные процессы

Методические указания и образцы решений для выполнения контрольных заданий студентами заочного отделения.

Задание 1.

1.  Вероятность правильного оформления счета на предприятии равна 0,95. Во время проверки были взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них оформлен правильно?

Решение:

Пусть А1 ={первый счет оформлен правильно}.

А2 ={второй счет оформлен правильно}.

А ={первый счет оформлен правильно либо второй счет оформлен правильно}.

Надо найти вероятность события А=.

Тогда: P(A) =.

1.  В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Для проверки качества ремонта взята наугад пара обуви. Какова вероятность того, что эта пара отремонтирована качественно?

Решение:

А1 ={пара обуви - сапоги},

А2={ пара обуви - туфли}.

А ={пара обуви отремонтирована качественно},

. (формула полной вероятности).

Задание 2.

Дискретная величина X может принимать только два значения x1 и x2, причем x1< x2. Известна вероятность р1 возможного значения x1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(x). Найти закон распределения этой случайной величины Х, если известно, что М(Х)=1,4; D(X)=0,24; р1=0,6.

Решение: Сумма вероятностей всех возможных значений Х равна единице, поэтому вероятность р2 того, что Х примет значение х2, равна р2=1-0,6=0,4. Запишем закон распределения дискретной случайной величины Х.

Х

x1

х2

р

0,6

0,4

Для отыскания x1 и x2 составим два уравнения. Учитывая, что, по условию, М(Х)=1,4, запишем первое уравнение: М(Х)= x1 р1+ x2 р2 или 0,6x1+ 0,4x2=1,4.

По условию, D(X)=0,24 и используя формулу D(X)=M(X2) – [M(X)]2, запишем второе уравнение .

Решив систему уравнений , найдем два решения ; и ; . По условию , поэтому задаче удовлетворяют только первое решение. Таким образом закон распределения случайной величины имеет вид:

Х

1

2

р

0,6

0,4

Задание 3.

Локальная теорема Муавра - Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А произойдет k раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна , где - функция Гаусса и .

На практике формула Муавра – Лапласа используется при условии .

Имеются таблицы в которых помещены значения функции : - четная функция.

Задача 1.

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: по условию р=0,2; n=400; q=1-р=0,8

Воспользуемся Локальной теоремой Муавра – Лапласа.

. Вычислим значение .

По таблице находим . Искомая вероятность .

Задача 2.

Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не берутся)?

Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша , следовательно, вероятность проигрыша так же равна . Так как во всех партиях вероятность постоянна и безразлична, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли

, где - вероятность того, что при n испытаниях событие наступит k раз.

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

.

Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:

.

Так как < , то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три партии из шести.

Задание 4.

Вероятность того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 500+10хN проверенных изделий стандартными окажутся: а) ровно 470 + 10хN изделий, б) не более 470+10хN и не менее 395 +10хN изделий, в) не более 394 + 10хN изделий.

В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что:

а) из 400 семей 300 имеют холодильники;

б) из 400 семей от 300 до 360 (включительно) имеют холодильники;

в) из 400 семей не более 310 семей имеют холодильники;

Решение. а) Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна . Так как n=100 достаточно велико (условие ), то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа.

Вначале определим .

.

б) Используем интегральную теорему Муавра – Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b, при достаточно большом числе т приближенно равна

, где - функция Лапласа;

,

- нечетная функция.

Найдем: ,

Получим .

в) Необходимо найти .

Найдем : , .

.

Задание 5.

Дана функция распределения случайной величины

Построить график функции распределения случайной величины и найти плотность распределения f(x), математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х).

Построим график функции распределения

 

Найдем плотность распределения:

Вычислим математическое ожидание

Вычислим дисперсию случайной величины Х – D(Х):

.

Задание 6.

Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (6; 8), если Х распределена нормально .

Решение:

Воспользуемся формулой

,

где - плотность нормального распределения и

- Функция Лапласа – табулированная функция.

.