«Введение в логическую семантику» (стр. 5 )

Дело в том, что хотя в построениях А. Тарского речь идет о построении семантики для языков со стандартной формализацией, т. е. языков с точно заданной структурой, эти структуры могут существенно различаться. Языки могут отличаться используемыми символизмами, способами конструирования сложных выражений из составляющих, наличием или отсутствием констант и операторов определенного вида. Как считает Тарский, различия такого рода, конечно, влияют на средства метаязыка, адекватного для их описания, но не это главное при определении понятия истинности. Главное заключается в понятии логической формы, которая может быть синтаксической (зависит только от видов знаков, их последовательности и способов сочленения), и семантической (зависит от значений определенных знаков языка, т. е. логических констант, хотя и не зависит от значения конкретных дескриптивных терминов).

При построении искусственного формализованного языка прямо или косвенно принимают определенную типологию значений. Хотя синтаксические правила образования одних знаков из других это неотъемлемая характеристика языка, но они не дают возможности выявить его категориальную структуру, а главным сущностным отличием одного языка от другого является система семантических категорий, которая лежит в их основе.

Так, языки, во-первых, могут отличаться исходными категориями и способами конструирования производных. Во-вторых, они отличаются отношением между синтаксическими и семантическими категориями, т. е. тем, какие термины являются обозначающими, а какие нет. В-третьих, они могут различаться количеством обозначающих категорий.

Трудности при построении корректного определения истинного высказывания для формализованных языков различной структуры, прежде всего, связаны с многообразием семантических категорий, к которым принадлежат выражения этих языков. И в первую очередь, эти трудности зависят от того, принадлежат ли выражения и (квантифицируемые) переменные языка к конечному или бесконечному числу семантических категорий. Тарский исходит из основного принципа теории семантических категорий, согласно которому переменные языка принадлежат к тем же семантическим категориям, что и подставляемые вместо них выражения, и любое выражение языка принадлежит к одной и только одной семантической категории (т. е. имеет только один тип значения). На основании того, к каким семантическим категориям принадлежат переменные входящие в язык, А. Тарский предлагает классификацию языков, разделяя их на четыре вида:

- языки, в которых все переменные относятся к одной семантической категории (например, язык исчисления высказываний);

-языки, в которых число категорий, к которым принадлежат переменные, более одной, но конечно (например, одноместное исчисление предикатов);

- языки, в которых переменные принадлежат к бесконечному числу различных семантических категорий, но порядок этих категорий конечен (например, исчисление предикатов второго порядка);

- языки, содержащие переменные сколь угодно высокого порядка (например, язык простой теории типов).

Языки первых трех типов А. Тарский называет языками конечного порядка, а четвертого – бесконечного порядка. Проводя различие между конкретной последовательностью знаков и классом таких последовательностей, имеющих одинаковый тип, Тарский разработал свою теорию истины для языка исчисления классов, который может быть применен для любого языка первого типа. Для этого необходимо последовательность классов заменить последовательностью объектов того или иного рода, в зависимости от того, какая семантическая категория выражается переменными этого языка. Использование понятия последовательности индивидов было необходимо А. Тарскому для того, чтобы добиться однозначной трактовки предиката выполнимости, введенного для задания предиката истины. Поскольку каждая последовательность принадлежит только к одной семантической категории, Тарский определяет понятие «последовательность объектов х выполняет формулу А» как бинарное отношение на области объектов рассмотрения.

Однако уже в языках второго типа переменные принадлежат более чем к одной семантической категории, хотя число категорий еще конечно. В таких языках семантическая категория предиката выполнимости зависит не только от числа мест этого предиката, но и от семантических категорий переменных, входящих в пропозициональные формулы языка. Вообще говоря, семантическая категория любого предиката зависит не только от числа его аргументных мест, но и от семантических категорий его аргументов. Точно также обстоит дело и с семантической категорией предиката выполнимости. Таким образом, если язык содержит два вида переменных, принадлежащих к двум различным семантическим категориям, то приходится, соответственно, рассматривать, по меньшей мере, два вида последовательностей, принадлежащих к двум различным категориям. В качестве примера языка такого рода Тарский рассматривает логику бинарных отношений с кванторами по индивидным и предикатным переменным.

Пусть нам дан некоторый язык S и некоторое выражение этого языка А содержащего двуместный предикат, выражающий бинарное отношение R и две индивидные переменные x и y . Тогда формула А выполняется на некоторой предметной области, на которой определяются переменные и предикаты входящие в А, если и только если предметы, являющиеся значениями переменных, принадлежат рассматриваемой предметной области, как это описывается формулой А, т. е. последовательности индивидов и бинарных отношений совместно выполняют формулу А, если и только если между индивидами и имеет место отношение R .

Таким образом, для языка логики бинарных отношений понятие выполнимости рассматривается как трехместное отношение между последовательностью индивидов, последовательностью бинарных отношений и формулой рассматриваемого языка.

Аналогично реализуются эти идеи А. Тарского в теоретико-модельной семантике для языка логики предикатов первого порядка.

Здесь мы подошли к вопросу о соотношении теории истины и теории моделей. Как пишет Дж. Уоллес: «А. Тарский является родо­начальником теории моделей, также как, и теории истины, родственных теорий, но, которые, тем не менее, отличаются друг от друга» [318, 51].

Нас непосредственно будет интересовать именно та область, где формулируются условия истинности для выражений объектного языка L. Этой областью яв­ляется теория моделей или теоретико-модельная семантика исследуемого языка.

В самом широком смысле - семантика в логике - это область, предназначенная для исследования отношений между языком и неязыковой действительностью или, проще говоря, миром, о котором говорится в этом языке, т. е. семантика как бы стремится вырваться из пут языка. Главную роль в таком "отрыве" играет понятие модели. Поскольку истинность или ложность мы можем приписывать только интерпретированным предложениям, то всякий, имеющийся в языке QС предикатный символ F мыслится как обозначение некоторого d-местного отношения и возможными интерпретациями d-местного предикатного символа служат различ­ные d- местные отношения между рассматриваемыми объектами. Допустимыми интерпретациями для константных символов являются фик­сированные выделенные объекты. Поэтому модель для QС включает в себя прежде всего непустое множество D, обычно называемое универсумом. В этом универсуме всякий d-местный предикатный символ F соответствует d-местному отношению R D, а всякий индивидный символ - некоторой константе x из D. Это соответствие задается интерпретирующим отображением I, которое отображает определенные символы исследуемого языка в соответствующие отношения и константы на множестве D. И эта пара {D,I} называется моделью.

Так, в нашем случае, теоретико-модельная семантика для языка первопорядковой квантифицированной теории (QC) будет выглядеть следующим образом:

Пусть D - область, под которой понимается любое непустое множество;

p- непустое множество свободных переменных, которые будем называть параметрами.

Под D-интерпретацией p понимается любая функция Id такая, что:

1. для каждого предикатного параметра F° (степени 0) в p, Id (F°) или Т или F, где T - истинно, F - ложно.

2. для каждого предикатного параметра F (d>0) в p , Id(Fd) является

подмножеством D ;

3. для каждого индивидного параметра в , ID() член D.

Если D область, непустое множество параметров, - индивидный параметр в , ID и ID не обязательно отличные интерпретации , тогда ID считается – вариантом ID, если ID совпадает с ID в каждом элементе кроме .

Если А - правильно построенная формула, D - область, - множество параметров, которому принадлежит каждый параметр относительно ппф А, и ID является интерпретацией , тогда А - будет истинной при ID , если:

a) ID (A) = Т, если А предикатный параметр степени 0;

б) < ID(1), ID(2),… ID(D)> принадлежит ID(FD) когда А является ппф вида FD (1,2,…D) для некоторого dI ;

в) B=F при ID когда А есть ~ B;

г) B=F при ID или C=T при ID , если А есть BC;

д) B=T при ID , если А является пустой квантификацией (x)B;

е) B(/x ) = Т при каждом - варианте ID, где ранний в алфавитном порядке индивидный параметр, иной по отношению к (x)B при условии, что не является пустой квантификацией.

Правильно построенная формула А будет общезначима в стандартном смысле, если для каждой области D и при каждой интерпретации ID параметров относительно А, А является истинным при ID.

Рассмотрим множество правильно построенных формул интерпретируемого языка первого порядка.

(1) Пусть D - область, - непустое множество параметров этого языка, которому принадлежит каждый параметр принадлежащий S, и ID - интерпретация . Тогда S истинно при ID, если каждый член S истинен при ID.

(2) S являются семантически непротиворечивым в стандартном смысле, если для некоторой области D и некоторого непусто­го множества параметров, к которому принадлежит каждый параметр, относящийся к S, имеется интерпретация ID при которой S истинно; в ином случае S является семантически противоречивым в стандартном смысле.

(3) Правильно построенная формула А является семантическим следствием из S в стандартном смысле, если SU{~A} является семантически противоречивым в стандартном смысле.

Семантическую непротиворечивость можно определить другим образом:

(4) Правильно построенная формула А истинна в модели (D, ID) , когда она истинна в отношении некоторой области D при интерпретации ID ;

5) Множество правильно построенных формул S имеет модель(D, ID), когда оно истинно для некоторой области D при интерпретации ID . То есть, по этому определению, S является семантически непротиворечивым, когда S имеет модель.

Из вышеизложенного видно, что для того, чтобы определить понятие истинного в модели <D, I> некоторого предложения А, в первую очередь, необходимо разбить А на простые составляющие и определить истинность каждой из полученных составляющих. Если А имеет вид ~ B или B C, то ясно, что ответ на вопрос об истинности или ложности предложения А будет решаться в зависимости от истинности или ложности В и C в модели.

Но такой метод определения истинности не подходит, если А имеет вид (x)B поскольку B может и не быть предложением. В этом случае считается, что значения всякой свободной в формуле А переменной пробегают множество D. Для каждого конкретного элемента 1, из множества D можно поставить вопрос о том, являются ли формула B истинной в модели, если B говорит об 1. Если его действительно так, то А истинна в модели, если же в D будет такой элемент1, при котором это не так, то А ложно в модели. Но это касается только единичного элемента из D. Но если А содержит множество переменных x1,…,xd и дана последовательность элементов 1,…, 2 в D, то стратегия определения понятия "А истинно в модели, если x1,…,xd принимают значения 1,…, 2 " заключается в том, чтобы, во-первых, ответить на этот вопрос для любой атомарной формулы B содержащей x1,…,xd и любых элементов 0,…, p из D. А затем, с помощью рекурсивной процедуры, основанной на индуктивном определении формулы, дать ответ для всех формул А и последовательности 0,…, p .

Таким образом, главным элементом интерпретируемого языка при соотнесении его с миром (моделью) является атомарное предложение. В теории моделей происходит реализация в теоретико-множественных терминах семантической концепции указания, обоснованной в теории истины А. Тарского.

Рассматриваемый объектный язык интерпретируется на непустой области объектов, и значения кванторных выражений и атомарных формул определяются в терминах связанных с понятием деногации, объекта, области интерпрета­ции, выполнимости.

Базисом определения истины является задание значений истинности атомарным предложениям, а истинность или ложность сложных высказываний определяется на основании истинности или ложности атомарных через индуктивную процедуру.

Такой подход связан с тем, что в теоретико-модельной семантике связь между синтаксисом и семантикой основана на известном принципе композициональности, суть которого восходит к работам Г. Фреге и в самом общем виде заключается в том, что значение целого является функцией от значения его частей. В теоретико-модельной семантике этот принцип реализуется в форме рекурсивного определения множеств правильных выражений для каждой синтаксической категории рассматриваемого языка, рекурсивного построения словосочетаний и простых предложений из единиц более низких уровней и сопоставления каждого синтаксического правила правилу семантической интерпретации.

Таким образом, мы видим, что теория истины реализуется через введение понятия «быть истинным высказыванием» посредством теории моделей. Ю. Гладких подчеркивает тот факт, что « Тарского предполагает тесную параллель между теорией моделей и теорией ис­тины, - а именно, понятие истины, которое определяется в теории истины, - это не что иное, как понятие истинного в модели некоторой теории высказывания». (11, с.74).

В каком смысле можно говорить о связи теории корреспон­денции с логико-семантическими построениями А. Тарского? Имеется ли такая связь вообще, и, если да, то в какой степени теория моделей (теоретико-модельная семантика) базируется на корреспондентской теории истины.

Но при рассмотрении взаимодействия теории истины и теоре­тико-модельного подхода возникает следующая проблема: в теории моделей речь идет об истинности высказываний в модели и для обоснования этого понятия выделяется непустое множество объектов, задаются отношения на этом множестве и функция интерпретации вы­ражений языка. Действительно, это уже является выходом за рамки, за пределы языка в область внеязыковых сущностей. Но если схема (Т) вместе с условиями адекватности претендует на классическое аристотелевское понятие истины, то, следовательно, речь должна идти об истинности в действительности. Отсюда вопрос: как это соотнести с понятием истинности в модели, и в этом смысле перейти от относительного понятия истины к абсолютному?

Филд [154] утверждает, что в основе определения истинности по А. Тарскому лежит список условий истинности для примитивных термов в форме:

(1) «snow» обозначает снег,

но при рассмотрении этих примитивных термов мы можем с тем же успехом начинать с формы:

(2) «snow» обозначает то, что обозначает

но в этом случае способ (2) не объясняет того, что значит быть истинным, для того чтобы это реализовать, этот подход все равно надо дополнить теорией примитивного указания, которая бы объ­ясняла значение имен. Он отмечает, что теоретико-модельная семантика объясняет семантические свойства комплексных выражений в терминах семантических свойств их примитивных компонент. В теории моделей нас интересует вопрос: Имеется ли для данного множества предложений S какой-нибудь способ выбрать денотацию исходных примитивов таким образом, чтобы каждое предложение из S стало истинным при заданной обычной семантике для логичес­ких связок. Нам необходимо знать, как истинностное значение целого предложения зависит от денотации его нелогических частей. То есть при формулировании определения истинности основная работа состоит в том, чтобы выявить, каким образом интерпретация бесконечного набора предложений может быть задана с помощью конечного набора правил оперирующих интерпретациями примитивов.

Думается, здесь надо рассмотреть основные цели, которые призвана реализовать теоретико-модельная семантика. Так, по мнению Ле-Пора [76], теоретико-модельная семантика ценна, прежде всего, как теория логического вывода, а не как теория значения. Как теория логического вывода она имеет дело с логи­ческой истинностью, исследует общезначимость рассуждений. В этом направлении главное значение имеет вопрос о множественности возможных интерпретаций или моделей языка. И для этого тре­буется понятие истинности в модели. Что касается теории значения, то она нанимается одной интерпретацией или моделью, именно той, которая является правильной или соответствующей действительности, поэтому фундаментальным понятием для нее является понятие истинности. В тоже время, несмотря на различие в назначении этих ас­пектов, они тесно связаны между собой. Задавая множество интерп­ретаций исследуемого языка, мы в то же время задаем и одну особую, действительную интерпретацию. И такое задание заставляет задавать действительный мир, что в свою очередь позволяет за­давать значение актуальной истинности. В конце концов, и сам А. Тарский описывал теоретико-модельную семантику как общую теорию, частным случаем которой является теория реальной истины. [311, 156].

На это обращает внимание и Дж. Уоллес [318], отмечая, что понятие истины относительно модели, является в некотором отно­шении более общим, чем "абсолютное понятие истины". «Р истинно» можно определить в теории моделей посредством подбора для М в «Р истинно в М» соответствующего описания модели. Такое описа­ние связано, в первую очередь, с областью рассуждения, например, модель, имеющая своей областью множество физических объектов.

Таким образом, теоретико-модельная семантика несет на себе двоякую функцию - обоснования вывода и определения значения истинности. Обоснование вывода реализуется через определение истинности атомарных формул, которые являются базисом для условий истинности сложных формул на основе рекурсивной процедуры.

Тарского было создание семантической системы, свободной от антиномий. Благодаря последовательному разграничению языка и метаязыка он первым сформулировал непротиворечивое определение понятия истины. Но он не выделял отношение между вещами и понятиями, а проводил параллель между предложениями о вещах и предложениями о предложениях.