Математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«МАТЕМАТИКА»

Рекомендуется для направления подготовки

080400 Управление персоналом

Квалификация выпускника - бакалавр

Санкт-Петербург

2011 год

1. Цели и задачи дисциплины: накопление необходимого запаса сведений по математике (основные определения, теоремы, правила), а также освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать профессиональные задачи, помощь в усвоении математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из области будущей деятельности студентов; развитие логического и алгоритмического мышления, способствование формированию умений и навыков самостоятельного анализа исследования профессиональных проблем, развитию стремления к научному поиску путей совершенствования своей работы.

2. Место дисциплины в структуре ООП: дисциплина «Математика» относится к циклу Б.2.1. Математический и естественнонаучный цикл, Базовая часть. Входные знания, умения и компетенции студентов должны соответствовать курсу математики общеобразовательной школы. Дисциплина «Математика» является предшествующей для следующих дисциплин: Статистика, Математические модели в принятии решений, Основы теории управления.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

владеть методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-15); иметь представление о роли и значении информации и информационных технологий в развитии современного общества и экономики знаний (ОК-16); владеть основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, навыками работы с компьютером как средством управления информацией (ОК-17); способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях и корпоративных информационных системах (ОК-18);

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: основные понятия и инструменты алгебры и геометрии, математического анализа, теории вероятностей, математической и социально-экономической статистики; основные математические модели принятия решений.

Уметь: решать типовые математические задачи, используемые при принятии управленческих решений; использовать математический язык и математическую символику при построении организационно-управленческих моделей; обрабатывать эмпирические и экспериментальные данные.

Владеть: математическими, статистическими и количественными методами решения типовых организационно-управленческих задач.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц.

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
1	2
Аудиторные занятия (всего)	126	54	72
В том числе:	-	-	-
Лекции	62	22	40
Практические занятия (ПЗ)	64	32	32
Самостоятельная работа (всего)	162	54	108
В том числе:	-	-	-
Тест 1		22
Тест 2		22
Контрольные работа №1		10
Контрольная работа №2			14
Тест 3			22
Тест 4			22
Контрольные работа №3			14
Зачет (1), экзамен (2)	36		36
Общая трудоемкость час зач. ед.	288	108	180
8	3	4+1

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

1. Элементы линейной алгебры.

Алгебра матриц. Матрицы и их классификации. Действия над матрицами. Экономические примеры. Определители 2-го и 3-го порядка. Понятие об определителях n-го порядка. Свойства определителей. Способы вычисления определителей n-го порядка. Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Способы вычисления обратной матрицы. Ранг матрицы. Элементарные преобразования и их применение для нахождения ранга матрицы.

Системы линейных уравнений. Основные понятия. Матричная и векторная формы записи системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Понятие о базисном миноре. Исследование системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Однородные системы.. Геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств.

Векторные пространства. Пространство Rn; n-мерные векторы и действия над ними. n - мерное векторное пространство. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов, критерии линейной зависимости и независимости системы векторов. Базис пространства Rn, разложение вектора по базису. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы.

2. Основы математического анализа.

Предел и непрерывность. Элементарные сведения из теории множеств.. Предел числовой последовательности. Понятие функции. Основные элементарные функции и их графики. Множество уровня. Предел функции в точке и на бесконечности. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства. Понятие непрерывной функции. Непрерывность элементарных функций. Вычисление пределов с использованием свойства непрерывности. Свойства функций, непрерывных на отрезке: существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

Дифференцирование функций. Производная функции в точке, ее геометрический, механический и экономический смысл. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций. Производные высших порядков. Дифференцируемость функции. Дифференциал и его геометрический смысл. Приложения дифференциала к приближенным вычислениям. Экономические понятия, связанные с понятием производной, эластичность функции. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула Тейлора (без доказательства). Условия возрастания и убывания функции.

Экстремумы. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Достаточные условия экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема исследования и построения графика функции.

Интегрирование функций. Первообразная функция и неопределенный интеграл, простейшие свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Правила интегрирования. Основные методы интегрирования (метод замены переменной и интегрирования по частям). Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла, теорема о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методами замены переменной и интегрирования по частям. Понятие о несобственных интегралах.

Ряды. Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Ряды с произвольными членами. Абсолютная и условная сходимости. Свойства сходящихся числовых рядов. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Степенные ряды, область и радиус сходимости. Разложение элементарных функций в степенные ряды.

3. Введение в дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Предел и непрерывность. Функция двух переменных, область определения, график, множество уровня. Функция n –переменных. Предел функции. Непрерывность функции, свойства непрерывных функций. Функции нескольких переменных в экономике.

Дифференцирование функций. Частные производные. Эластичность функций нескольких переменных. Частные производные сложной функции. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал и его геометрический смысл. Производная функции по направлению. Градиент и его свойства. Частные производные высших порядков.

Экстремумы. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума для функций двух переменных. Условный экстремум. Метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа. Задача оптимизации функции в замкнутой области. Понятие о методе наименьших квадратов. Представление о двойных интегралах.

4. Введение в теорию вероятностей.

Случайные события. Предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки. Понятие случайного события. Алгебра событий. Классическое и геометрическое определения вероятности. Комбинаторика. Частота события, ее свойства, статистическая устойчивость частоты. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом. Классическое и геометрическое определения вероятности случайного события. Теорема сложения вероятностей. Условная частота, ее устойчивость. Условная вероятность события. Формула умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Приближенные формулы для вычисления вероятностей в схеме Бернулли.

Случайные величины дискретного типа. Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины (ДСВ). Ряд распределения. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Независимые случайные величины.. Математическое ожидание ДСВ, его вероятностный смысл. Свойства математического ожидания случайной величины. Дисперсия ДСВ, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Случайные величины непрерывного типа. Непрерывные случайные величины (НСВ). Функция распределения случайной величины, ее свойства. Плотность распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, мода и медиана НСВ. Равномерное распределение. Нормальное распределение. Правило трех стандартов.

Элементы теории корреляций. Системы случайных величин. Функции от случайных величин. Функциональная зависимость и корреляция. Понятие о линейной регрессии, корреляционном моменте (ковариации) и коэффициенте корреляции.

Понятие о законе больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Понятие о теореме Ляпунове.

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспечиваемых дисциплин	№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых дисциплин
1	2	3	4
1.	Статистика		*	*	*
2.	Математические модели принятия решений	*	*	*
3.	Основы теории управления	*	*	*	*

5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекц.	Практ. зан.	СРС	Всего час.
1.	Элементы линейной алгебры	12	14	22	48
2.	Основы математического анализа	10	18	32	60
3	Введение в дифференциальное исчисление функций нескольких переменных	18	12	36	66
4	Введение в теорию вероятностей	22	20	36	78

6. Лабораторный практикум не предусмотрен.

7. Практические занятия (семинары)

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тематика практических занятий (семинаров)	Трудо-емкость (час.)
1.	1	Действия над матрицами.	2
2	1	Вычисление определителей.	2
3	1	Вычисление обратной матрицы и решение матричных уравнений. Вычисление ранга матрицы.	2
4	1	Системы линейных уравнений. Формулы Крамера.	2
5	1	Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.	2
6	1	Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Разложение вектора по базису.	2
7	1	Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы.	2
8	2	Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна.	1
9	2	Пределы. Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы.	2
10	2	Техника дифференцирования. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали	3
11	2	Дифференциал функции	1
12	2	Исследование функции и построение ее графика.	3
13	2	Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.	2
14	2	Основные методы интегрирования (метод замены переменной и интегрирования по частям).	2
15	2	Вычисление определенного интеграла методами замены переменной и интегрирования по частям.	2
16	2	Контрольная работа: интегрирование функций.	2
17	3	Частные производные. Полный дифференциал. Градиент.	2
18	3	Производная по направлению. Локальный экстремум функции двух переменных.	2
19	3	Производная функции по направлению Градиент и его свойства	2
20	3	Условный и глобальный экстремум функции двух переменных.	2
21	3	Контрольная работа: градиент, производная по направлению, экстремумы функции двух переменных	2
22	3	Числовые и степенные ряды.	2
23	4	Алгебра событий.	2
24	4	Комбинаторика. Классическая вероятность.	2
25	4	Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условные вероятности.	2
26	4	Формула полной вероятности и формула Байеса.	2
27	4	Схема Бернулли.	2
28	4	Законы распределения ДСВ.	2
29	4	Числовые характеристики ДСВ.	2
30	4	Числовые характеристики НСВ. Равномерное и нормальное распределение.	2
31	4	Линейная регрессия и коэффициент корреляции.	2
32	4	Контрольная работа: линейная регрессия.	2

8. Примерная тематика курсовых работ – курсовые работы не предусмотрены.

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература

Раздел 1, 2, 3.

1.  , Демидович курс высшей математики: Учебник. – М.: Гос. Изд. физ-мат. литература,1983.

2.  С. Курс высшей математики: Учебник. – М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2004.

3.  Шипачев по высшей математике: Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2001.

4.  Минорский задач по высшей математике: Учебное пособие для ВТУЗов. – М.: Физматлит, 2006. – 336 с.

Раздел 4.

1.  Гмурман вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2006.

2.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1979.

б) дополнительная литература

1.  Математика в экономике: учебно-методическое пособие. Под ред. Н. Ш Кремера. – М.: Финстатинформ, 1999.

2.  Математический анализ для экономистов (под редакцией и ) – М.: ФИЛИН, 2000.

3.  , , Бранков в экономика. – М.: Финансы и статистика, 1998.

4.  , Никольский линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984.

5.  , Никольский и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980.

6.  Бугров математика: Задачник. – М.: Наука, 1982.

7.  Кузнецов задач по высшей математике (типовые расчеты). – М.: Высшая школа, 1983.

в) программное обеспечение не предусмотрено

г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

1.  http://www. *****/

2.  http://www. *****/

3.  http://www. *****/

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Документ-сканер, принтеры, компьютеры и пакеты программ обработки результатов тестирования.

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

В течение первого семестра изучаются следующие разделы курса: линейная алгебра, математический анализ (функция одной переменной). Первый семестр заканчивается зачетом. В процессе обучения студенты сдают два теста (по линейной алгебре и по математическому анализу), и пишут контрольную работу по математическому анализу. Максимальное число баллов за контрольную работу равно 20, за тест – 40. Максимальное число баллов, которое можно получить за работу в семестре, равно 100. Минимальное число баллов, при котором тест или контрольная работа считаются сданными, равно 22 для теста и 11 для контрольной работы. Для получения зачета необходимо набрать в итоге не менее 55 баллов. Во втором семестре изучается математический анализ (функции нескольких переменных) и элементы теории вероятностей и математической статистки. Второй семестр заканчивается экзаменом. В течение второго семестра проводятся два теста (по математическому анализу и по теории вероятностей) и пишется две контрольных работы (по математическому анализу и математической статистике). Максимальное число баллов за тест равно 38, за контрольную работу – 12. Минимальное число баллов за тест равно 20, за первую контрольную работу – 8, за вторую – 7. За работу в семестре можно получить от 55 до 100 баллов. Максимальное число баллов, которое можно получить на экзамене, также равно 100. Итоговая оценка (в баллах) вычисляется по формуле , где – баллы, полученные за работу в семестре, а – за экзамен. Набранное итоговое количество баллов переводится в оценку согласно следующей таблице:

Итоговое количество баллов	оценка
до 55	неудовлетворительно
от 55 до 70	удовлетворительно
от 70 до 85	хорошо
от 85	отлично

Примеры задач и вопросов теста №1.

Требуется ответить да или нет на предлагаемые вопросы.

Дана система линейных уравнений с неизвестными. Пусть ранг матрицы этой системы равен , а ранг расширенной матрицы системы равен . Правильными утверждениями являются…

если система имеет хотя бы одно решение, то

если и , то система имеет бесконечное множество решений

если , то система не имеет решений

если , то система имеет хотя бы одно решение

Требуется выбрать правильные ответы.

Некоторый элемент определителя равен 2, его алгебраическое дополнение равно 5. Если этот элемент определителя увеличить на 3, то новый определитель будет больше исходного…

А. на 15 Б. на 3 В. на 6 Г. в 15 раз

Требуется вычислить значение.

Даны матрица и два вектора и . Найти значение параметра , при котором векторы и перпендикулярны.

Примеры задач и вопросов теста №2.

Ответы ДА, НЕТ

Дан график производной некоторой функции :

Справедливо утверждение:

на промежутке функция возрастает

на промежутке график функции имеет точку перегиба

в точке функция имеет максимум

на промежутке функция убывает

Выбор одного ответа.

Пусть функция определена и ограничена в некоторой окрестности точки , а функция является бесконечно большой при . Тогда при функция будет…

А. бесконечно малая Б. бесконечно большая В. может не иметь предела

Г. может иметь ненулевой предел

Числовой ответ.

Для функции выписана формула Тейлора по степеням . Найти значение коэффициента при .

Примеры задач и вопросов теста №3.

Ответы ДА, НЕТ

Пусть , Тогда верны следующие утверждения:

Точка является точкой минимума функции .

Функция не имеет точек максимума.

Точка является стационарной точкой функции .

Длина вектора - градиента функции в точке больше 1.

Выбор одного ответа.

Дан график функции на отрезке:

Тогда любая ее первообразная на этом отрезке принимает наименьшее значение в А. точке 1 Б. в точке В. в точке 0 Г. в точках 1 и одновременно

Числовой ответ.

Для функции значение интеграла равно…

Примеры задач и вопросов теста №4.

Ответы ДА, НЕТ

Пусть и - случайные события, имеющие ненулевые вероятности.

Верно утверждение:

если , то .

если , то .

если события и несовместны, то они независимы.

Выбор одного ответа.

Производится серия независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью может появиться событие . Вероятность того, что при четырех испытаниях событие появится ровно три раза, принадлежит промежутку …

А. Б. В. Г.

Числовой ответ.

В ящике 3 белых, 4 черных и красных шаров. Вероятность вытащить случайным образом белый шар равна 0.2. Тогда вероятность вытащить красный шар равна…

Ответы ДА, НЕТ

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины имеет вид:

	0	1
-1	0.12	0.28
1	0.18	0.42

Тогда верны следующие утверждения:

Случайные величины и независимы.

.

.

.

Выбор одного ответа.

Пусть - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием , дисперсией . Пусть - функция Лапласа. Тогда вероятность попадания в интервал равна …

А. . Б. . В. . Г. .

Числовой ответ.

Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

Найти .

Примеры задач контрольной работы №1.

Задача №1. Вычислить интеграл: .

Задача №2. Вычислить интеграл: .

Задача №3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Примеры задач контрольной работы №2 по математическому анализу.

Задача №1. Вычислите в точке .

Задача №2. Найдите производную функции в точке в направлении вектора .

Задача №3. Найти экстремумы функции: .

Примеры задач контрольной работы №3 по математической статистике.

Задача №1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Задача №2. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема :

Задача №3. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки .

Разработчики:

СПбГУЭФ доцент

СПбГУЭФ профессор

Эксперты:

ЭМИ РАН директор

СПбГМТУ профессор