Сборник задач по математическому анализу функции нескольких переменных (стр. 4 )

8.83. Пусть функция дифференцируема. Докажите, что при и найдите .

8.84. Пусть функция дифференцируема и . Докажите, что при (). Найдите .

8.85. Известно, что при (, ). Докажите, что функция дифференцируема и найдите .

8.86. Пусть функция дифференцируема. Докажите, что при и найдите .

8.87. Пусть функция дифференцируема, и все ее частные производные первого порядка положительны. Докажите, что при и найдите .

8.88. Пусть функция дифференцируема. Докажите, что при и найдите .

8.89. Пусть функция дифференцируема, и все ее частные производные первого порядка отрицательны. Докажите, что при и найдите .

8.90. Используя определение дифференциала, найдите частные производные и , если и .

8.91. Дана дифференцируемая функция двух переменных . Известно, что , , , где А(2; 6), B(2.03; 6,02), C(2,02; 5.97). Заменяя приращение функции дифференциалом, найдите приближенно частные производные точке в A.

8.92. Пусть функция имеет непрерывные частные производные 2-го порядка в точке , и . Докажите, что при и найдите .

8.93. Пусть функция имеет положительные непрерывные частные производные 2-го порядка в точке , и . Докажите, что при и найдите .

8.94. Функция имеет отрицательные непрерывные частные производные 2-го порядка в точке , и . Докажите, что функция имеет локальный максимум при .

8.95. Известно, что при . Найдите производную функции в точке по направлению вектора .

8.96. Известно, что при . Найдите производную функции в точке по направлению вектора .

8.97. Известно, что при . Найдите производную функции в точке по направлению вектора .

8.98. Известно, что при . Найдите производную функции в точке по направлению вектора .

8.99. Известно, что при . Найдите производную функции в точке по направлению вектора .

8.100. Известно, что при . Найдите производную функции в точке по направлению вектора .

8.101. Найдите производную функции , по направлению в точке , если .

8.102. Найдите производную функции , по направлению в точке , если .

8.103. Градиент функции задан на оси : . Найдите в точках оси производные функции по направлению оси и исследуйте функцию на условный экстремум на линии условия .

8.104. Градиент функции задан на оси : . Найдите в точках оси производные функции по направлению оси и исследуйте функцию на условный экстремум на линии условия .

8.105. Исследуйте, используя “окаймленный” гессиан, точку A на условный экстремум, если в этой точке первый дифференциал функции Лагранжа L(A,λ) равен нулю, а второй: d 2 L(A,λ) = 7(dx)2 – 4dxdy – 5(dy)2 – 2dxdλ+ 6dydλ.

8.106. Исследуйте точку A на условный экстремум, если в этой точке первый дифференциал функции Лагранжа L(A,λ) равен нулю, а второй:

d 2 L(A,λ) = 2(dx)2 – 20dxdy – 5(dy)2 + 4dxdλ – 10dydλ.

8.107. На линии условия φ(x; y) = 2x + y – 1 = 0 в семи точках даны градиенты функции двух переменных f(P) = f(x; y): в точке A(-3;7) градиент равен (3;1), в точке B(-2;5) – (2;1), в C(-1;3) – (3;1), в D(0;1) – (4;2), в E(1;-1) – (1;1), в F(2;-3) – (6;3), в G(3;-5) – (3;1). Все точки “подозрительные” на условный экстремум находятся среди указанных. Найдите эти точки и исследовать их на условный экстремум.

Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

8.108.

а)

б)

в)

г) , если из соотношения следует, что

Решите задачу Коши

8.109.

а) , , если .

б) , , если , .

в) , , если .

8.110. Найдите общее решение однородного дифференциального уравнения , если

а)

б)

8.111. Проверьте, что общее решение линейного дифференциального уравнения имеет вид , где – частное решение исходного уравнения, а – общее решение уравнения .

8.112. Используя результат предыдущей задачи, найдите общее решение линейного дифференциального уравнения

а)

б)

8.113. При каких значениях и функция является общим решением уравнения ?

8.114. Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка

8.115. Найдите решение задачи Коши: , , , если .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. , , и др. Сборник задач по математике. М.: Наука, 1986.

2. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1997.

3. , и др. Высшая математика. Решебник. М.: Физико-математическая литература, 2001.

4. Самовол математического анализа для политологов.

Ч. I, Ч. II. Учебное пособие. М.: ГУ-ВШЭ, 2001.

5. Сборник задач по математическому анализу. Т.1-3, Под ред. , М.:Физматлит, 2003.

6. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное пособие. Под ред. . М.: ИНФРА-М, 2005.

7. Шипачев по высшей математике. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001.

Ответы

2.49. . 2.50. . 2.51. 2. 2.52. -1. 2.53. , . 2.54. , . 2.55. , . 2.56. , . 2.57. , . 2.58. . 2.59. -3/25. 2.60. 27/5. 2.61. . 2.62. . 2.63. . 2.64. . 2.65. . 2.66. . 2.67. . 2.68. . 2.69. . 2.70. . 2.71. 26. 2.72. 7. 2.73. . 2.74. .

3.1 , .

3.2 , . 3.3. а) . 3.3. б) . 3.3. в) . 3.3. г) .

3.3. г) . 3.10. а) (2; 0). 3.10. б) (0; 0), (1; 1).

3.10. в) (7; 2; 1). 3.11. а) , . 3.11. б) , . 3.12. 0. 3.13. 24/5. 3.14. 0. 3.15. , . 3.16. , .

3.17. , . 3.18. , . 3.19. , .

3.20. , . 3.21. , . 3.22. . 3.23. . 3.24. . 3.25. а) , , . 3.25. б) . 3.25. в) . 3.25. г) . 3.25. д) . 3.25. е) . 3.25. ж) . 3.25. з) .

4.1. 1,2. 4.2. 1,9. 4.3. 1,00. 4.4. 4,998. 4.5. 1,92. 4.6. 1,055. 4.7. 2,95. 4.8. 0,97. 4.9. Диагональ уменьшится на 3 мм, площадь уменьшится на 140 см2. 4.10. Вырастет на 1%. 4.11. 1,375%.

4.12. .

4.13. .

4.14. . 4.15. , .

4.16. .

4.17. .

4.18. .

4.19. .

4.20. .

5.1. (1; 2) – max. 5.2. (0; 3)- max. 5.3. (1, 2) – нет экстремума, (-1, 2) –max. 5.4. (0, 0) –нет экстремума, (1/6, 1/6) –min. 5.5. (2, max; (2, 3)-- нет экстремума. 5.6. (0, 0) – нет экстремума, (2/3, 1/3) –min. 5.7. (3, 2) – min, (-3, -2) – max. 5.8. (-1;-2; 3) – min. 5.9. -- нет экстремума, (24;-144;-1) – min. 5.10. -- min; -- нет экстр. 5.11. -- min; -- нет экстр. 5.12. (2; 4;min; -- нет экстр.

5.13. (1;-2;min; -- нет экстр. 5.14. (7, -2, 1) – min, (7, -2, -1) – нет экстремума. 5.15 (1, 0, -2) – max, (1, 0, 2) – нет экстремума. 5.16. (2, 1, -3) – min, (2, 1, 3) – нет экстремума.

5.17. (3, 1, 2) – max, (3, 1, -2) – нет экстремума. 5.18. (2, -6, 1) – min, (0, 0, 1) – нет экстремума.

6.1. (0, 2) – min, (4/3, 2/3) – max. 6.2. (2, 1) – max. 6.3. (3, 0) – min, (1, 2) – max. 6.4. (2, 4) – max. 6.5. (1, 1), (-1, -1) – max, (-1, 1), (1, -1) – min. 6.6. (2, -3) – max, (-2, 3) – min. 6.7. (-1; 1)

(1;-1) – max, (1;;-1) – min. 6.8. (-4, -1) – max, (4, 1) – min.

6.9. (1, 1) – max, (-1, -1) – min. 6.10. (2, -3) – max, (-2, 3) – min. 6.11. (4, 1) – min, (-4, -1) – max. 6.12. (1,, -1) – max, (-1, 1)

(1, -1) – min. 6.13. (-5, 4) – min, (5, -4) – max. 6.14. (-4, 1) – min,

(4, -1) – max. 6.15. (6, 1) – min, (-6, -1) – max. 6.16. (1, 1) – min,

(-1, -1) – max. 6.17. (0, -1) – min, (0, 1) – max. 6.18. (3, 1) – min,

(-3, -1) – max. 6.19. -Δ=70 Þ A – условный минимум. 6.20. -Δ=-170 Þ A – условный максимум. 6.21. (0,-2) – условный максимум, (0,-1) – условный минимум, (0,0) – критическая точка. 6.22. (-1,0) – условный минимум, (4,0) – условный максимум, (0,0) – критическая точка. 6.23. Точка B критическая, D – условный максимум, F – условный минимум. 6.24. (-2; 1), (2;-1) – max, (1; 2), (-1;-2) – min.

6.25. наибольшее значение , наименьшее значение . 6.26. наибольшее значение , наименьшее значение . 6.27. наибольшее значение , наименьшее значение .

6.28. наибольшее значение , наименьшее значение . 6.29. наибольшее значение: 6, наименьшее значение: -1. 6.30. наибольшее значение 16, наименьшее значение -16/3.

6.31. наибольшее значение 11, наименьшее значение 5.

6.32. наибольшее значение , наименьшее значение . 6.33. наименьшее значение .

6.34. наибольшее значение , 6.35. наименьшее значение . 6.36. наименьшее значение .

6.37. . 6.38. . 6.39. . 6.40. . 6.41. .

7.1. 6. 7.2. 6. 7.3. 4. 7.4. 8. 7.5. 0. 7.6. 16. 7.7. 1. 7.8. 1. 7.9. 1. 7.10. 2. 7.11. 0. 7.12. 4. 7.13. 90. 7.14. -4. 7.15. 99. 7.16. 4. 7.17. 10. 7.18. . 7.19. .

7.20. . 7.21. .

7.22. . 7.23. .

7.24. . 7.25. .

7.26. . 7.27. .

7.28. .

8.1. , . 8.2. . 8.3. ; ; . 8.4. ; ; ; ; . 8.5. . 8.6. . 8.7. . 8.8. . 8.9. . 8.10. . 8.11. . 8.12. . 8.13. . 8.14. 10. 8.15. . 8.16. . 8.17. 2. 8.18. 1 8.19. 1. 8.20. . 8.21. . 8.22. 2. 8.23. , . 8.24. . 8.25. а) . 8.25. б) .

8.26. . 8.27. а)Совместна при , несовместна при . 8.27. б)Совместна при , несовместна при . 8.28. . 8.29. . 8.30. f ¢(tg π/4)×(cos π/4)-2 = f ¢(1)×2 = 10. 8.31. (f ¢(π/4)×tg π/4 + f(π/4)×(cos π/4)-2)/4 = 2. 8.32. . 8.33. 4. 8.34. –3. 8.35. Неизвестно. 8.36. . 8.37. 125. 8.38. 8748=. 8.39. . 8.40. h(x). 8.41. 2 (). 8.42. 5 () 8.43. а) yB – yA = k×( xB – xA) = 3×5 = 15. 8.43. б) 250. 8.43. в) 2. 8.44. 40. 8.45. –3. 8.46. x=2 (x=4 максимум). 8.47. x= –5 (x=3 минимум). 8.48. [180; 360]. 8.49. [60; 280]. 8.50. [180; 280]. 8.51. 12 8.52. 18. 8.53. [4; 12] ().

8.54.

.

8.55. . 8.56. =2. 8.57. =12. 8.58. а) . 8.58. б) . 8.58. в) . 8.59. . 8.60 . 8.61. –1. 8.62. 100. 8.63. 2.5. 8.64. 6. 8.65. 14. 8.66. –1. 8.67. 1, -1, -1, -2. 8.68. 600=6! –5!. 8.69. 1.3198. 8.70. 0.75. 8.71. , . 8.72. , . 8.73. , . 8.74. 6=2*3. 8.75. 12=4*3. 8.76. 3. 8.77. 13. 8.78. -2. 8.79. 5=(6+9)/3. 8.80. 3=(-6)/(-2). 8.81. . 8.82. а) . 8.82. б) . 8.82. в) . 8.82. г) . 8.83. . 8.84. . 8.85. 8.86. . 8.87. .

8.88. .

8.89. . 8.90. , . 8.91. , .

8.92. .

8.93. . 8.95. . 8.96. .

8.97. -2. 8.98. -2. 8.99. -3. 8.100. -3. 8.101. . 8.102. . 8.103. (0,-2) – максимум, (0,-1) – минимум, (0,0) – крит. точка. 8.104. (-1,0) – минимум, (4,0) – максимум, (0,0) – крит. точка. 8.105. -Δ=70 Þ A – минимум. 8.106. -Δ=-170 Þ A – максимум. 8.107. Точка B – критическая, D – условный максимум, F – условный минимум. 8.108. а) . 8.108. б) .

8.108. в) . 8.108. г).

8.109. а) . 8.109. б) .

8.109. в) . 8.110. а) .

8.110. б) . 8.112. а) .

8.112. б) . 8.113. .

8.114. . 8.115. .

Учебное издание

,

,

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии.

Учебное пособие

Редактор

Корректор

Оригинал-макет

Оформление

Лиценция

Подписано в печать. Формат

Усл. печ. .л. Тираж 500 экз.