Имитационное моделирование экономических процессов (стр. 3 )

Размер и точка заказа обычно определяются из условий минимизации суммарных затрат системы управления запасами, которые можно выразить в виде функции этих двух переменных.

Суммарные затраты системы управления запасами выражаются в виде функции их основных компонент:

Суммарные затраты системы управления запасами

=

Затраты на приобретение (доставка)

+

Затраты на оформление заказа К

+

Затраты на хранение заказа

+

Потери от дефицита

Затраты на приобретение становятся важным фактором, когда цена единицы продукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда цена единицы продукции убывает с возрастанием размера заказа.

Затраты на оформление заказа представляют собой постоянные расходы, связанные с его размещением. При удовлетворении спроса в течение заданного периода времени путем размещения более мелких заказов (более часто) затраты возрастают по сравнению со случаем, когда спрос удовлетворяется посредством размещения более крупных заказов (и, следовательно реже).

Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе (затраты на переработку, амортизационные расходы, эксплуатационные расходы) обычно возрастают с увеличением уровня запаса.

Потери от дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции.

Иллюстрация зависимости четырех компонент затрат обобщенной модели управления запасами от уровня запаса показана на Рис. 14.

Рис. 14. График затрат на управление запасами

Оптимальный уровень запаса соответствует минимуму суммарных затрат.

Модель управления запасами не обязательно должна включать все четыре вида затрат, так как некоторые из них могут быть незначительными, а иногда учет всех видов затрат чрезмерно усложняет функцию суммарных затрат. На практике какую-либо компоненту затрат можно не учитывать при условии, что она не составляет существенную часть общих затрат.

Типы моделей управления запасами

Разнообразие моделей этого класса определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности).

На рисунке приведена схема классификации спроса, принимаемая в моделях управления запасами.

Детерминированный спрос может быть статическим, в том смысле, что интенсивность потребления остается неизменной во времени, или динамическим, когда спрос известен достоверно, но изменяется от времени.

Вероятностный спрос может быть стационарным, когда функция плотности вероятности спроса неизменна во времени, и нестационарным, когда функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.

В реальных условиях случай детерминированного статического спроса встречается редко. Такой случай можно рассматривать как простейший. Наиболее точно характер спроса может быть описан посредством вероятностных нестационарных распределений. Представленную классификацию можно считать представлением различных уровней абстракции описания спроса.

На первом уровне предполагается, что распределение вероятностей спроса стационарно во времени. Это означает, что для описания спроса в течение всех исследуемых периодов времени используется одна и та же функция распределения вероятностей. Это упрощение означает, что влияние сезонных колебаний спроса в модели не учитывается.

На втором уровне абстракции учитываются изменения от одного периода к другому, но при этом функции распределения не применяются, а потребности в каждом периоде описываются средней величиной спроса. Это упрощение означает, что элемент риска в управлении запасами не учитывается. Однако оно позволяет учитывать сезонные колебания спроса.

На третьем уровне упрощения исключаются как элементы риска, так и изменения спроса. Тем самым спрос в течение любого периода предполагается равным среднему значению известного (по предположению) спроса по всем рассматриваемым периодам. В результате этого упрощения спрос можно оценить его постоянной интенсивностью.

Хотя характер спроса является одним из основных факторов при построении модели управления запасами, имеются другие факторы, влияющие на выбор типа модели.

1. Запаздывания поставок или сроки выполнения заказов. После размещения заказа он может быть поставлен немедленно или потребуется некоторое время на его выполнение. Интервал времени между моментом размещения заказа и его поставкой называется запаздыванием поставки, или сроком выполнения заказа. Эта величина может быть детерминированной или случайной.

2. Пополнение запаса. Хотя система управления запасами может функционировать при запаздывании поставок, процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно или равномерно во времени. Мгновенное пополнение запаса может происходить при условии, когда заказы поступают от внешнего источника. Равномерное пополнение может быть тогда, когда запасаемая продукция производится самой организацией. В общем случае система может функционировать при положительном запаздывании поставки и равномерном пополнении запаса.

3. Период времени определяет интервал, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надежно прогнозировать, рассматриваемый период принимается конечным или бесконечным.

4. Число пунктов накопления запасов. В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса. В некоторых случаях эти пункты организованы таким образом, что один выступает в качестве поставщика для другого. Эта схема иногда реализуется на различных уровнях, так что пункт-потребитель одного уровня может стать пунктом-поставщиком на другом уровне. В таком случае говорят о системе управления запасами с разветвленной структурой.

5. Число видов продукции. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Этот фактор учитывается при условии наличия некоторой зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться одно и то же складское помещение или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные фонды.

Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Но если бы и удалось построить универсальную модель, она едва ли оказалась аналитически разрешимой. Рассмотрим модели, соответствующие некоторым системам управления запасами.

Детерминированные модели.

1.  Однопродуктовая статическая модель

Модель управления запасами простейшего типа характеризуется постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита. Такую модель можно применять в следующих типичных ситуациях:

использование осветительных ламп в здании; использование канцелярских товаров (бумага, блокноты, карандаши) крупной фирмы; использование некоторых промышленных изделий, таких как гайки и болты; потребление основных продуктов питания (например, хлеба и молока).

Необходимо найти точку восстановления.

Исходные данные: темп спроса; издержки заказа и хранения; упущенная прибыль.

Результат: оптимальный размер заказа; время между заказами; точка восстановления запаса.

На рисунке показано изменение уровня запаса во времени.

Рис. 15. График циклов изменения запасов в модели Уилсона

Входные параметры:

§  d– интенсивность потребления запаса, [ед. товара / ед. времени];

§  s – затраты на хранение запаса, [ден. ед. / ед. товара * ед. времени];

§  K – затраты на оформление заказа, [ден. ед.].

Выходные параметры:

§  Q – размер заказа, [ед. тов.];

§  t 0– период поставки, [ед. времени];

§  L – общие затраты на управление запасами в единицу времени, [ден. ед./ ед. времени];

§  – точка заказа [ед. тов.].

§  Tд – время доставки (срок выполнения заказа).

Допущения модели Уилсона

1.  Интенсивность потребления является априорно известной и постоянной величиной, .

2.  Время поставки заказа является известной и постоянной величиной.

3.  Каждый заказ поставляется в виде одной партии.

4.  Затраты на осуществление заказа К не зависят от размера заказа.

5.  Отсутствие запаса является недопустимым.

Точка заказа () - это величина, которая определяет уровень запаса (объем товаров, являющийся границей), при котором необходимо размещать новый заказ.

Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна d. Наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером Q Предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой. Уровень запаса достигает нуля спустя единиц времени после получения заказа размером Q. Чем меньше размер заказа Q, тем чаще нужно размещать заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже.

Так как затраты зависят от частоты размещения заказа и объема хранимого запаса, то величина Q выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат. Это лежит в основе построения соответствующей модели управления запасами.

Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении, s – затраты на хранение единицы заказа в единицу времени. Следовательно, суммарные затраты в единицу времени можно представить в виде:

, где - затраты на оформление заказа в единицу времени, а - затраты на хранение запасов в единицу времени

Продолжительность цикла движения заказа составляет ;

Средний уровень запаса равен Q/2.

Оптимальное значение Q получается в результате минимизации Q(L). Таким образом, в предположении, что Q – непрерывная переменная, имеем:

(1)

Откуда оптимальное выражение заказа определяется выражением:

(2)

Можно доказать, что Q* доставляет минимум затрат L(Q), показав, что вторая производная в точке Q* строго положительна.

Выражение (2) называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.

Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ у* единиц продукции через каждые единиц времени.

Оптимальные затраты: (получены путем непосредственной подстановки).

Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа (временное запаздывание) L от момента размещения заказа до его действительной поставки. Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять точку возобновления заказа.

Следующий рисунок показывает случай, когда точка возобновления заказа должна опережать на Тд. единиц времени ожидаемую поставку. В практических целях эту информацию можно просто преобразовать, определив точку возобновления заказа через уровень запаса, соответствующий моменту возобновлению.

Рис. 16. Точка заказа опережает время ожидаемой поставки

На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной точки возобновления заказа. По этой причине эту модель еще называют моделью непрерывного контроля состояния заказа. Следует заметить, что срок выполнения заказа Тд. можно всегда принять меньше продолжительности цикла t0*.

Пример. Ежедневный спрос на некоторый товар d составляет 100ед. Затраты на размещение каждого запаса (К) постоянны и равны 100 долл. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса (s) составляют 0,02долл. Определить экономичный размер партии и точку заказа при сроке выполнения заказа, равном 12 дням.

Решение: из формулы Уилсона получаем:

Оптимальная продолжительность цикла составляет:

t0*=Q*/d = 1000/100 = 10 дней.

Так как срок выполнения заказа равен 12 дням и продолжительность цикла составляет 10 дней, возобновление заказа происходит, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 12-10=2 дня. Таким образом, заказ размером Q*=1000 размещается, когда уровень запаса достигает 2*100=200ед.

Можно считать, что эффективный срок выполнения заказа равен Тд - t0* при Тд > t0*, при этом величина (Тд -t0* ) меньше t0* и равен Тд в противном, здесь Тд - заданный срок выполнения заказа.

Для рассматриваемого примера определить точку заказа в следующих случаях:

а) срок выполнения заказа Тд =15 дней. (Ответ. 500ед.);

б) Тд =23 дня. (Ответ. 300ед.);

в) Тд =8 дней. (Ответ. 800ед.);

г) Тд =10 дней. (Ответ. 0 ед.).

Модель оптимального размера заказа c возможным дефицитом продукта

Пусть p – упущенная прибыль в единицу времени, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта;

P – упущенная прибыль за период, возникающая в результате дефицита одной единицы продукта.

оптимальный размер заказа

максимальный размер запаса

 

максимальный дефицит

 

Задача. Магазин пользуется популярностью у покупателей благодаря широкому ассортименту экологически чистых продуктов. Большинство покупателей не отказываются от услуг магазина даже том случае, когда интересующий их товар отсутствует в продаже. Они оставляют заказ на товар и ждут, когда поступит новая партия. Сыр – не самый популярный из всего набора товаров, но администратор магазина регулярно заказывает этот продукт. Годовой спрос на сыр составляет 500 головок. Издержки заказа – 40 тыс. руб. за заказ. Издержки хранения – 5 тыс. руб. в год Упущенная прибыль вследствие дефицита составляет 100 тыс. руб. в год на одну головку сыра.

Определить:

Ø  Сколько головок сыра следует заказывать, чтобы не допускать дефицита и иметь при этом минимальные общие издержки?

Ø  Сколько сыра следует заказывать, если допустить возможность дефицита?

Ø  Чему равна точка восстановления запаса, если время выполнения заказа 10 дней и число рабочих дней в году 250?

Ø  Чему равен максимальный размер дефицита?

Дано:	Решение
D=500
S=5000
P=100000 (уп. прибыль)
K=40000
T=250
Tд=10	- макс. размер дефицита
Q*, Qmax, R, tв -?	t0=Q*/d; t0=91/2=45 дней tв=t0 - Tд*d
	tв=45-10=35 дней R0=91-35*2=21 шт

Задачи оптимизации производства[1]

Имитационные решения задач минимизации затрат

Доходом (выручкой) R фирмы в определенном временном перио­де (например, в определённом году) называется произведение у общего объема у выпускаемой фирмой продукции на (рыночную) цену р0 этой продукции.

Издержками С фирмы называют общие выплаты фирмы в опре­делённом временном периоде за все виды затрат C = p1x1 + p2x2, где х1 и х2 - объемы затрачиваемых (используемых) фирмой ресурсов (факторов производства), p1 и р2 - рыночные цены на эти ресурсы (факторы производства).

Прибылью PR фирмы в определённом временном периоде назы­вается разность между полученным фирмой доходом R и ее издер­жками производства:

PR = R - С,

или

PR(x1 х2) = p0f (x1, х2) - (p1x1+ р2х2).

Последнее равенство есть выражение прибыли фирмы в терми­нах затрачиваемых (используемых) ресурсов. Напомним, что у = f(x1,x2) - производственная функция фирмы, которая выражает об­щий объем у выпускаемой фирмой продукции через объемы х1 и х2 затрачиваемых (используемых) ресурсов.

В теории фирмы принято считать, что если фирма функциони­рует в условиях чистой (совершенной) конкуренции, на рыночные цены p0, p1 и р2 она влиять не может. Фирма "соглашается "с ценами p0, p1 и р2. Случаи функционирования фирмы в условиях чистой монополии, монополистической конкуренции и олигополии специ­ально рассматриваются в рамках курса по микроэкономике.

Основная цель фирмы заключается в максимизации прибыли пу­тем рационального распределения затрачиваемых (используемых) ре­сурсов. Формально задача максимизации прибыли в определённом временном периоде имеет вид:

PR → max. Такая постановка задачи максимизации зависит от того, какой конкретно временной проме­жуток (долговременный или краткосрочный) предшествует перио­ду, в котором фирма максимизирует свою прибыль.

В случае долговременного промежутка фирма может свободно выбирать любой вектор х = (x1,x2) затрат из пространства затрат (формально из неотрицательного ортанта x1> 0, x2> 0 плоскости 0x1, х2, поэтому задача максимизации прибыли в случае долговре­менного промежутка имеет следующий вид:

p0f (x1, х2) - (p1x1+ р2х2) = PR(x1,х2) → max, при

условии, что х1>0, х2>0 (постановка задачи в терминах затрачиваемых ресурсов).

В случае краткосрочного промежутка фирма должна учитывать неизбежные лимиты на объемы затрачиваемых (используемых) ею ресурсов, которые формально могут быть записаны в виде нелиней­ного, вообще говоря, неравенства

g(x1, х2)<b.

Следова­тельно, задача максимизации прибыли для краткосрочного проме­жутка имеет вид задачи математического программирования:

p0f(x1, х2) - (p1x1+ р2х2) = PR(x1,х2) → max при условии, что

g(x1, х2)<b,

х1>0, х2>0

(постановка задачи в терминах затрачиваемых ресурсов).

Линия уровня функции С =p1x1+ р2х2, издержек производства называется изокостой (см. рис. 11.1).

В связи с тем, что по экономическому смыслу х1>0, х2>0 (ибо х1 и х2- это объемы затрачиваемых (используемых) ресурсов), строго говоря, изокоста есть отрезок прямой, попадающий в неотрица­тельный ортант плоскости Оx1х2. Таким образом, изокосты - это отрезки А0В0, А1В1, А2В2... (см. Рис. 17). Отрезки А0В0, А1В1, А2В2 параллельны. Отрезок А1В1 расположенный "северо-восточнее" от­резка A0B0, соответствует большим издержкам производства.

Рис. 17. Объемы, затрачиваемых ресурсов

Следовательно, если для отрезка А2В2 издержки производства С равны величине С2, т. е. С= С2, для отрезка А1В1 издержки производства С= С1, для отрезка A0B0 издержки производства С= С0, то С0 < С1 < С2 Верно и обратное, т. е. если С0 < С1 < С2, то отрезок А2В2, соответствующий издержкам производства С2, расположен "северо-восточнее" параллельного ему отрезка A1B1, соответствующего из­держкам производства С1. Аналогично, отрезок А1В1 расположен "се­веро-восточнее" параллельного ему отрезка А0В0, соответствующего издержкам производства С0. Для отрезка А0В0 имеем следующее ана­литическое представление:

для отрезка А0В0 : С0 = р1х1 + р2 х2, где х1 ³ 0, х2 ³ 0,

для А1В1 : С1 = р1х1 + р2 х2 , где х1 ³ 0, х2 ³ 0,

для А2В2: С2 = р1 х1 + р2 х2 , где х1 ³ 0, х2 ³0.

Максимизация прибыли

Пусть q – количество реализованного товара, R(q)- функия дохода, C(q)- функция затрат на производство товара. Прибыль от реализации товара равна

PP(q) = R(q)-C(q).

Из микроэкономики известно, что для того, чтобы прибыль была максимальной, необходимо, чтобы предельный доход и предельные издержки были равны, т. е. MR(q) = MC(q). Действительно, из необходимого условия экстремума для функции прибыли следует, что PR' (q) = 0, откуда и следует указанное равенство. Точка q0, удовлетворяющая равенству PR'(q) = 0 является подозрительной на экстремум. Согласно второму достаточному условию существования экстремума, если PR''(q0)<0, то q0– точка максимума функции P(q). Данное условие выполнится, если, например, PR''(q)<0, а C''(q)>0, что согласуется с экономической теорией.

Пример 1.

Пусть доход описывается функцией R(q) = 100q-q2, а затраты C(q) = q3-37q2+169q+4000. Тогда прибыль определяется формулой

PR(q) = - q3 + 36q2- 69q - 4000.

PR'(q) = -3q2 + 72q - 69=0,

или q2-24q+23=0. Корни уравнения q1 = 1, q2 = 23.

PR''(q) = -6q+72,

PR''(1) = 66,

PR''(23) = -66<0,

следовательно, при q = 23 PRmax = 1290

Комбинация ресурсов (факторов производства), минимизирующая издержки при фиксированном (общем) объёме выпуска

Для случая долговременного промежутка рассмотрим задачу ми­нимизации издержек производства при фиксированном объеме у вы­пускаемой продукции (т. е. рассмотрим задачу 2):

p1x1+p2x2=C(x1, x2)-> min (16)

при условии, что y=f (х1, х 2)

(x1>0,х2>

Геометрически решение задачи (16), (17) представлено на (Рис. 18): нужно перемещаться по изокостам на "юго-запад" (ибо имеем задачу ми­нимизации) до тех пор, пока они продолжают иметь общие точки с изоквантой, соответствующей фиксированному объему у. Ясно, что решением задачи минимизации издержек будет общая точка (х10(у),х20(у)) изокосты и фиксированной изокванты. Эта точка ка­сания зависит от объема у (поэтому и написано(х10(у),х20(у)). Если объем у изменится, то изменится и точка (х10(у),х20(у)). Множество точек (х10(у),х20(у)), соответствующих различным объемам у выпус­каемой продукции, образуют линию L (см. Рис. 18).

Рис. 18. L - линия развития производства

Решим задачу (16), (17) формально с помощью функции Лагранжа

L(x1,х2,l) = p1x1+ p2x2 + l (y - f (x1,х2)).

Для функции Лагранжа выписываем систему уравнений

, ,

или в развернутом виде , ,

Критическая точка (х10(у),х20(у), l0(у)) функции Лагранжа, удов­летворяющая системе (18) и взятая без последней координаты l0(у), т. е. точка (х10(у),х20(у)), и есть решение задачи (16), (17) минимиза­ции издержек при данном фиксированном объеме производства у. Подставив точку (х10(у),х20(у), l0(у)), в первые два уравнения системы (18), получим два тождества. Поделив почленно первое тождество на второе, получим, очевидно, выражение (3)

(3)

(множитель l0(у) со­кратится. Получили аналитическое обоснование того, что изокоста и изокванта касают­ся в точке (х10(у),х20(у)) (см. рис. 11.9). Характер взаимосвязи между критической точкой функции Лагранжа без последней координаты и решением задачи (16), (17) минимизации может быть прокоммен­тирован здесь подобно тому, как это было сделано в разделе 4 для задачи максимизации. Критическая точка (х10(у),х20(у), l0(у)) является решением задачи минимизации издержек.

В разделе 2 в точке локального рыночного равновесия (х10,х20) был определён объём производства y0=f(х10,х20). Если в ограничении (17) положить у=у0, то несложно показать, что х10(y0)=х10, х20(y0)=х20, а также l0 (у0)=р0, т. е. множитель Лагранжа l0 (у0) равен рыночной цене р0 единицы выпускаемой продукции. Таким образом, предло­жена естественная экономическая интерпретация множителя Лаг­ранжа l0 (у0).

Подставив х10(у) и х20 в выражение С(х1,х2) = p1x1+ p2x2, полу­чим выражение для издержек

p1 х10(y) + p2 х20(y) = С(у)

как функцию объема выпускаемой продукции, а не как функ­цию

С(х1,х2) = p1x1+ p2x2 объемов затрачиваемых ресурсов. Выражение С(у) = p1 х10(y) + p2 х20(y) называется значением задачи (16), (17). Так построенная функция издержек С(у) соответ­ствует случаю долговременного промежутка. Имея выражение С(у), выпишем в явном виде представление прибыли в виде функции объемов у выпускаемой продукции:

PR(у)= p0y - С(у)

Выражение PR(y) = p0y - С(у) играет важную роль в микроэкономике.

Пусть (х10(C) , х20(C)) и у = h(C) есть решение и значение задачи максимизации (7), (11) (см. раздел 11.4).

Пусть (х10(y) , х20(y)) и С=С(у) есть решение и значение задачи минимизации (16), (17) (см. Рис. 19).

Пусть значение С в (12) равно значению С(у) задачи минимиза­ции (16), (17). Тогда значение задачи максимизации (7), (11) будет равно у.

Наоборот, пусть значение у в (17) равно значению у = h(C) задачи максимизации (7), (11). Тогда значение задачи минимизации (16), (17) равно С.

 

Рис. 19. Геометрическое решение задачи 16-17

Таким образом, наблюдается взаимная зависимость задач (7), (11) и (16), (17) (см. Рис. 19).

Задача минимизации издержек производства при фиксированном объеме у выпускаемой продукции для случая краткосрочного проме­жутка, когда фиксирован объем y* второго ресурса, имеет вид (у играет роль параметра)

p1 х1 + p2 х2# = С(х1 , х2# ) (min) (19)

при условии, что

y=f (х1 , х2) (20),

(х1³0)

Ограничимся наглядным геометрическим решением задачи (19), (20) (см. Рис. 20). Имеет место важный результат теории фирмы: при одном том же объеме у выпускаемой продукции издержки производства для случая долговременного промежутка меньше (точ­нее не больше) издержек производства для случая краткосрочного промежутка. Эти издержки производства равны друг другу, если объем у производства будет таким, что х10(y*) = х2# (Рис. 21).

Рис. 20. Геометрическое решение задачи 19-20

Рис. 21. Геометрическое решение будет таким, что х10(y*) = х2# при объеме производства y

 

Финансовые модели фирмы

Финансовые модели предназначены для прогнозирования финансового положения предприятия, определения наилучшей стратегии капиталовложений и разработки производственных планов и бюджета предприятий. В основе этих моделей лежит баланс доходов и расходов предприятия с учетом всех их статей.

Бухгалтерская модель

Отличие бухгалтерских моделей от бухгалтерского балансового отчета заключается в том, что такие модели направлены не на подсчет уже совершенных расходов и полученных доходов, а на их прогнозирование на будущий период времени.