Имитационное моделирование экономических процессов (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО «Магнитогорский государственный университет»

Имитационное моделирование

экономических процессов

Учебное пособие

Магнитогорск

2008

УДК 330.115
ББК У. в 6

Рецензенты:

доцент, канд. тех. наук

доцент, канд. физ-мат. наук

Г96 Гусева моделирование экономических процессов : учеб. пособие / . – Магнитогорск: МаГУ, 2008.– 120 с.

Пособие содержит базовый теоретический материал курса «Имитационное моделирование экономических процессов», основные методы и приемы проектирования информационных экономических моделей. Оно адресовано студентам очного и заочного отделений высших учебных заведений, получающим специальности: 080801 - прикладная информатика в экономике, 080700 – бизнес-информатика.

УДК 330.115

ББК У. в 6

ISBN- -477-9 © , 2007

© Магнитогорский государственный

университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

Методы моделирования бизнес-процессов. 4

Имитация работы объекта экономики в трех измерениях: материальные, денежные и информационные потоки. 22

Имитация основных процессов системы массового обслуживания. 35

Модели управления ресурсами (запасами) 53

Задачи оптимизации производства. 68

Финансовые модели фирмы.. 79

Имитация клиринговых процессов. 94

Список литературы.. 114

Методы моделирования бизнес-процессов

Актуальность моделирования бизнес-процессов

Сегодня у многих компаний появляется необходимость объединить информацию о собственной организационной структуре, действующих информационных системах для создания общей модели предприятия.

Такая модель дает возможность понять степень вовлечения ресурсов в решение задач фирмы, и прогнозировать развитие событий на рынке. Компаниям, стремящимся выйти на серьезный рынок, требуется международная сертификация в области качества и зрелости бизнеса. Успешное прохождение такой сертификации "по плечу" только тем организациям, бизнес которых прозрачен, а бизнес-процессы формализованы.

Описание процессов, протекающих в компании, их взаимосвязь, способы достижения стратегических и тактических целей позволяет увидеть и оценить работу компании в целом. Формализация бизнес-операций позволяет найти узкие места в деятельности предприятия и улучшить все экономические показатели предприятия:

§  увеличить объем производства и прибыль,

§  снизить издержки и численность персонала,

§  оптимизировать деятельность каждого сотрудника,

§  избежать дублирования функций.

Сегодня у многих компаний появляется необходимость объединить информацию о собственной организационной структуре, действующих информационных системах, используемых документах и создать в результате модель предприятия. Эта модель дает возможность понять степень вовлечения разного рода ресурсов в решение тех или иных задач, определить взаимодействие между ними и прогнозировать развитие событий с необходимой степенью точности.

Необходимость в услуге по моделированию бизнес-процессов появилась относительно недавно – около 20 лет назад, вслед за возникновением концепции процессного подхода к управлению предприятиями и организациями. С появлением понятия бизнес-процесса у компаний сформировалась и необходимость в их формализации, а следовательно, в описании процессов, протекающих в компании, их взаимосвязей, способов достижения стратегических и тактических целей компании, действий сотрудников по выполнению определенных бизнес-операций и их влияния на достижение целей, регламентов, необходимых для ее нормального функционирования.

Компаниям, стремящимся выйти на серьезный рынок, требуется международная сертификация в области качества и зрелости бизнеса. Успешное прохождение такой сертификации "по плечу" только тем организациям, бизнес которых прозрачен, а бизнес-процессы формализованы.

Бизнес-система – это система, которая объединяет совокупность связанных между собой бизнес-процессов, конечной целью которой является выпуск продукции или услуг.

Бизнес-процесс – это связанная совокупность различных видов деятельности, в ходе выполнения которых, потребляются ресурсы и создается продукт, имеющий ценность для потребителя.

Бизнес-модель – это структурированное графическое описание сети процессов и операций, связанных с информационными финансовыми и материальными потоками, отражающими деятельность предприятия.

Необходимость создания бизнес-моделей вызвана высокой динамичностью деловой среды. Чтобы удержаться в этом "бурном потоке", компаниям приходится постоянно "двигаться", внедрять инновации, в противном случае они довольно быстро будут вытеснены с рынка более динамичными конкурентами. Смоделировать и оценить успешность планируемых изменений, их актуальность и отдачу для компании можно с помощью инструментов имитационного моделирования.

Основные этапы моделирования бизнес-процессов:

1.  определение целей и задач моделирования;

2.  анализ бизнес-процессов (структуры, связей, функций подразделений);

3.  разработка модели реального бизнес-процесса (как есть as-is);

4.  анализ существующего бизнес-процесса и нахождение узких мест;

5.  разработка оптимизированной модели бизнес-процесса (как будет to-be);

6.  апробация и доработка модели;

7.  внедрение модели бизнес-процесса в деятельность предприятия.

Для моделирования бизнес-процессов используется несколько различных методов, основой которых являются как структурный, так и объектно-ориентированный подходы к моделированию. Однако деление самих методов на структурные и объектные является достаточно условным, поскольку наиболее развитые методы используют элементы обоих подходов.

Методы моделирования бизнес-процессов:

1.  метод функционального моделирования SADT (IDEF0);

2.  метод моделирования процессов IDEF3;

3.  моделирование потоков данных DFD;

4.  метод ARIS;

5.  метод Ericsson-Penker;

6.  метод моделирования, используемый в технологии Rational Unified Process.

·  SADT - основополагающая методология, заложившая принципы современного моделирования и послужившая основой для разработки стандарта IDEF0.

IDEF0 – методология и стандарт функционального моделирования. С помощью графического языка IDEF0, изучаемая система предстает в виде набора взаимосвязанных функциональных блоков. Моделирование средствами IDEF0, как правило, является первым этапом изучения системы.

IDEF3 - с помощью IDEF3 описывается логика выполнения действий. IDEF3 может использоваться самостоятельно и совместно с методологией IDEF0: любой функциональный блок IDEF0 может быть представлен в виде последовательности процессов или операций средствами IDEF3. Если IDEF0 описывает, что делается в системе, то IDEF3 описывает, как это делается.

·  DFD - диаграммы потоков данных (Data Flow Diagrams)[2] представляют собой иерархию функциональных процессов, связанных потоками данных. Цель такого представления — продемонстрировать, как каждый процесс преобразует свои входные данные в выходные, а также выявить отношения между этими процессами.

В соответствии с данным методом модель системы определяется как иерархия диаграмм потоков данных, описывающих асинхронный процесс преобразования информации от ее ввода в систему до выдачи потребителю. Источники информации (внешние сущности) порождают информационные потоки (потоки данных), переносящие информацию к подсистемам или процессам. Те, в свою очередь, преобразуют информацию и порождают новые потоки, которые переносят информацию к другим процессам или подсистемам, накопителям данных или внешним сущностям — потребителям информации.

Поскольку методы функционального моделирования IDEF0, IDEF3 и DFD мы подробно рассматривали в прошлом семестре, то остановимся подробнее на таких методах моделирования как ARIS, Ericsson-Penker и Rational Unified Process.

Метод ARIS

В настоящее время наблюдается тенденция интеграции разнообразных методов моделирования и анализа систем, проявляющаяся в форме создания интегрированных средств моделирования. Одним из таких средств является продукт, носящий название ARIS (Architecture of Integrated Information System), разработанный германской фирмой IDS Scheer.

Система ARIS представляет собой комплекс средств анализа и моделирования деятельности предприятия. Ее методическую основу составляет совокупность различных методов моделирования, отражающих разные взгляды на исследуемую систему. Одна и та же модель может разрабатываться с использованием нескольких методов, что позволяет использовать ARIS специалистам с различными теоретическими знаниями и настраивать его на работу с системами, имеющими свою специфику.

Методика моделирования ARIS основывается на разработанной профессором Августом Шером теории построения интегрированных ИС, определяющей принципы визуального отображения всех аспектов функционирования анализируемых компаний. ARIS поддерживает четыре типа моделей, отражающих различные аспекты исследуемой системы:

·  организационные модели, представляющие структуру системы — иерархию организационных подразделений, должностей и конкретных лиц, связи между ними, а также территориальную привязку структурных подразделений;

·  функциональные модели, содержащие иерархию целей, стоящих перед аппаратом управления, с совокупностью деревьев функций, необходимых для достижения поставленных целей;

·  информационные модели, отражающие структуру информации, необходимой для реализации всей совокупности функций системы;

·  модели управления, представляющие комплексный взгляд на реализацию бизнес-процессов в рамках системы.

Для построения перечисленных типов моделей используются как собственные методы моделирования ARIS, так и различные известные методы и языки моделирования, в частности, UML.

Рис. 1. ARIS-модель

На Рис. 1 видно, что связи между объектами имеют определенный смысл и отражают последовательность выполнения функций в рамках процесса. Стрелка, соединяющая Событие 1 и Функцию 1, "активирует" или инициирует выполнение Функции 1. Функция 1 "создает" Событие 2, за которым следует символ логического "И", "запускающий" выполнение Функций 2 и 3. Нотация eEPC построена на определенных правилах:

·  каждая функция должна быть инициирована событием и должна завершаться событием;

в каждую функцию не может входить более одной стрелки, "запускающей" выполнение функции, и выходить не более одной стрелки, описывающей завершение выполнения функции.

На Рис. 2 показано применение различных объектов ARIS при создании модели бизнес-процесса.

Рис. 2. Фрагмент модели бизнес-процесса

Бизнес-процесс в нотации eEPC представляет собой поток последовательно выполняемых работ (процедур, функций), расположенных в порядке их выполнения. Реальная длительность выполнения процедур в eEPC визуально не отражается. Это приводит к тому, что при создании моделей возможны ситуации, когда на одного исполнителя будет возложено выполнение двух задач одновременно. Используемые при построении модели символы логики позволяют отразить ветвление и слияние бизнес-процесса. Для получения информации о реальной длительности процессов необходимо использовать другие инструменты описания, например, графики Ганта в системе MS Project.

Основное достоинство метода ARIS заключается в его комплексности, которая проявляется во взаимосвязи между моделями различных типов. Метод ARIS позволяет описывать деятельность организации с разных точек зрения и устанавливать связи между различными моделями. Однако такой подход трудно реализуем на практике, поскольку влечет за собой большой расход ресурсов (человеческих и финансовых) в течение длительного времени. Кроме того, инструментальная среда ARIS достаточно дорогостояща и сложна в использовании.

Метод Ericsson-Penker

Метод Ericsson-Penker представляет интерес прежде всего в связи с попыткой применения языка объектного моделирования UML (изначально предназначенного для моделирования архитектуры систем ПО) для моделирования бизнес-процессов. Это стало возможным благодаря наличию в UML механизмов расширения.

Механизмы расширения UML предназначены для того, чтобы разработчики могли адаптировать язык моделирования к своим конкретным нуждам, не меняя при этом его метамодель. Наличие механизмов расширения принципиально отличает UML от таких средств моделирования, как IDEF0, IDEF1X, IDEF3, DFD и др. Перечисленные языки моделирования можно определить как сильно типизированные (по аналогии с языками программирования), поскольку они не допускают произвольной интерпретации семантики элементов моделей. UML, допуская такую интерпретацию (в основном за счет стереотипов), является слабо типизированным языком. К его механизмам расширения относятся:

·  стереотипы;

·  тегированные (именованные) значения;

·  ограничения.

Стереотип — это новый тип элемента модели, который определяется на основе уже существующего элемента. Стереотипы расширяют нотацию модели, могут применяться к любым элементам модели и представляются в виде текстовой метки или пиктограммы. Стереотипы классов — это механизм, позволяющий разделять классы на категории. Участники проекта (аналитики) могут создавать свои собственные наборы стереотипов, формируя тем самым специализированные подмножества UML (например, для описания бизнес-процессов, Web-приложений, баз данных и т. д.). Такие подмножества (наборы стереотипов) в стандарте языка UML носят название профилей языка.

Именованное значение — это пара строк "тег = значение" или "имя = содержимое", в которых хранится дополнительная информация о каком-либо элементе системы, например, время создания, статус разработки или тестирования, время окончания работы над ним и т. п.

Ограничение — это семантическое ограничение, имеющее вид текстового выражения на естественном или формальном языке (OCL — Object Constraint Language), которое невозможно выразить с помощью графической нотации UML.

Авторы метода Ericsson-Penker создали свой профиль UML для моделирования бизнес-процессов под названием Ericsson-Penker Business Extensions, введя набор стереотипов, описывающих процессы, ресурсы, правила и цели деятельности организации.

Рис. 3. Метамодель категорий бизнес-модели

Основной диаграммой UML, используемой в данном методе, является диаграмма деятельности

Рис. 4. Диаграмма деятельности

Основным элементом диаграммы является деятельность (activity). Интерпретация этого термина зависит от той точки зрения, с которой строится диаграмма (это может быть некоторая задача, которую необходимо выполнить вручную или автоматизированным способом, или операция класса). Деятельность изображается в виде закругленного прямоугольника с текстовым описанием.

Любая диаграмма деятельности должна иметь начальную точку, определяющую начало потока событий. Конечная точка необязательна. На диаграмме может быть несколько конечных точек, но только одна начальная.

На диаграмме могут присутствовать объекты и потоки объектов (object flow). Объект может использоваться или изменяться в одной из деятельностей. Показ объектов и их состояний (в дополнение к диаграммам состояний UML) помогает понять, когда и как происходит смена состояний объекта.

Объекты связаны с деятельностями через потоки объектов. Поток объектов отмечается пунктирной стрелкой от деятельности к изменяемому объекту или от объекта к деятельности, использующей объект.

UML – unified modeling language – унифицированный язык моделирования. Был создан для определения, представления, проектирования и документирования различных систем, приемник методов объектно-ориентированного анализа. Создавался в конце 1994 г. Г. Буч, Д. Рамбо, И. Якобсон. Язык визуального моделирования, независимый от систем программирования и расширяемый в плане специализации. Все мировые производители CASE-средств поддерживают UML (структурные модели, модели поведения).

Данный метод основан на использовании UML для моделирования бизнес-процессов. Авторы создали свой профиль UML.

Ресурсы (объекты, участвующие в бизнес-процессах: люди, материалы, информация), процессы (деятельность, которая изменяет состояние ресурсов), цели (выражают требуемое состояние ресурсов), бизнес-правила (условия или ограничения процессов). Основная диаграмма – это диаграмма деятельности (см. Рис. 5). Goal – это цель.

Рис. 5. Диаграмма деятельности для процесса

 

Метод моделирования Rational Unified Process – методика, основанная на объектно-ориентированном подходе, использует язык UML. Позволяет строить модели бизнес-процессов и модели бизнес-анализа.

Модель бизнес-процесса – модель, описывающая бизнес-процессы организации в терминах ролей и их потребностей.

Модель бизнес-анализа – содержит диаграммы разного типа (диаграмма классов, содержащая исполнителей и сущности)

Метод функционального моделирования позволяет оптимизировать существующие на предприятии бизнес-процессы, однако для оптимизации конкретных технологических операций функциональной модели может быть недостаточно. В этом случае целесообразно использовать имитационное моделирование.

Имитационное моделирование – это метод, позволяющий строить модели, учитывающие время выполнения операций, и обеспечивающий наиболее полные средства анализа динамики бизнес-процессов. Имитационные модели описывают не только потоки сущностей, информации и управления, но и различные метрики. Полученную модель можно «проиграть» во времени и получить статистику происходящих процессов так, как это было бы в реальности. В имитационной модели изменения процессов и данных ассоциируются с событиями. «Проигрывание» модели заключается в последовательном переходе от одного события к другому.

Связь между имитационными моделями и моделями процессов заключается в возможности преобразования модели процессов в имитационную модель. Имитационная модель дает больше информации для анализа системы, в свою очередь результаты такого анализа могут быть причиной модификации модели процессов.

Одним из наиболее эффективных инструментов имитационного моделирования является система ARENA, разработанная фирмой System Modeling Corporation. Система позволяет строить имитационные модели, проигрывать их и анализировать результаты.

Функциональные и имитационные модели тесно взаимосвязаны и эффективно дополняют друг друга. Имитационные модели дают больше информации для анализа системы, результаты которого могут быть причиной модификации модели процессов. Целесообразно сначала строить функциональную модель, а на ее основе — имитационную.

Имитация работы объекта экономики в трех измерениях: материальные, денежные и информационные потоки

Моделирование любого объекта экономики можно рассматривать как взаимодействие структурных элементов, связывающих звенья экономической системы. Между подразделениями экономической системы проходят потоки ресурсов (материальные, информационные и финансовые).

Рис. 6. Управление материальными, информационными и финансовыми потоками предприятия

Материальный поток – это находящийся в состоянии движения материальный ресурс, незавершенное производство и готовая продукция, которые перемещаются в пространстве (загрузка, разгрузка, сортировка, перевозка).

Он может быть представлен в виде дроби, в числителе которой располагается единицы измерения груза (штуки, тонны), а в знаменателе единицы времени.

Выделение и анализ всех операций на пути продвижения груза позволяет увидеть общий процесс продвижения продукта на рынок, а значит и эффективно управлять им в дальнейшем.

Материальный поток может быть внутренним и внешним, входящим и выходящим, однопродуктовым и много продуктовым.

По степени определенности потоки бывают детерминированными и стохастическими (если хотя бы один из параметров неизвестен, то поток считается стохастическим).

Финансовый поток - это направленное движение финансовых ресурсов, связанное с материальными, информационными и другими потоками.

Характеристиками финансового потока являются объем (определяется в сопроводительных документах), стоимость (определяется затратами на его организацию), время и направление. Различают входящие и исходящие финансовые потоки, например предоплата – входящий поток, оплата поставок – исходящий поток.

Финансовая операция – это совокупность двух или более финансовых потоков (привлечение ресурсов, вложение в производство, получение выручки - 3 потока).

Финансовые операции характеризуются рентабельностью и прибыльностью.

Информационный поток - поток сообщений любой формы (устной, электронной), соответствующий материальному или финансовому потоку, служащий для реализации управляющих функций.

Поток данных также является информационным потоком. Он определяет информацию, передаваемую через некоторое соединение от источника к приемнику. Реальный поток данных может быть информацией, передаваемой по кабелю между двумя устройствами, пересылаемыми по почте письмами, магнитными лентами или дискетами, переносимыми с одного компьютера на другой и т. д. Поток данных на диаграмме изображается линией, оканчивающейся стрелкой, которая показывает направление потока (Рис. 7). Каждый поток данных имеет имя, отражающее его содержание. Информационные потоки делятся на внутренние и внешние, регулярные, периодические и оперативные.

Рис. 7. Информационный поток данных

Понятие случайного процесса

 Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например, процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.

Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т. д.). В системе S протекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.

Примеры: 1. Система S – технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.

2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т. д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т. д.

Марковский случайный процесс

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0.

Пусть в настоящий момент t0 система находится в определенном состоянии S0. Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем и все, что было при t < t0 (предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (предсказать) будущее, т. е. что будет при t > t0? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S1 или останется в состоянии S0 и т. д.

Пример. Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t0 количество сохранившихся (не сбитых) самолетов соответственно – x0, y0. Нас интересует вероятность того, что в момент времени численный перевес будет на стороне «красных».

Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t0, а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t0 самолеты.

На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предистории» можно пренебречь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские модели (в теории массового обслуживания рассматриваются и не Марковские системы массового обслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).

В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния S1, S2, … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Рассмотрим процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем

Пример. Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:

S0 - оба станка исправны;

S1 - первый станок ремонтируется, второй исправен;

S2 - второй станок ремонтируется, первый исправен;

S3 - оба станка ремонтируются.

Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа – состояния системы.

Рис. 8. Граф состояний системы

Дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние. Для нашего примера граф состояний приведен на Рис. 8. Граф состояний системы

Примечание. Переход из состояния S0 в S3 на рисунке не обозначен, т. к. предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.

Потоки событий

 Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Примеры потоков событий:

·  поток вызовов на телефонной станции;

·  поток больных в поликлинику;

·  поток покупателей в магазине и т. д.

Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени O t – ( см. Рис. 9).

Рис. 9. Изображение потока событий на оси времени

Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.

Интенсивность потока событий () – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

В частности, интенсивность стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени и (см. Рис. 9) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет последствий.

Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Для простейшего потока с интенсивностью интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью

где - параметр показательного закона.

Для случайной величины T, имеющей показательное распределение, математическое ожидание есть величина, обратная параметру, а среднее квадратичное отклонение равно математическому ожиданию

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний

 Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т. д.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским.

Итак, на систему, находящуюся в состоянии , действует простейший поток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из состояния в состояние (на графе состояний по стрелке ).

Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности того потока событий, который переводит систему по данной дуге (стрелке). - интенсивность потока событий, переводящий систему из состояния в . Такой граф называется размеченным. Для нашего примера размеченный граф приведен (см. Рис. 10).