Рабочая программа по дисциплине «Математический анализ»

Амурский государственный университет

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

_________________________

личная подпись, И. О.Ф

«__» _____________ 200___г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

для специальности: 160802 – «Космические летательные аппараты и разгонные блоки»

Виды учебной работы	Распределение по семестрам
1	2	3	4
Общая трудоемкость дисциплины	78	112	78	346
Лекции	34	51	34	34
Практические занятия	17	34	17	34
Самостоятельная работа	27	27	27	278
Вид итогового контроля	экз	экз	экз	экз

Составитель

Факультет МиИ

Кафедра ОМиИ

2009 г.

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования

Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры общей математики и информатики

« » 2009 г., протокол № .

Заведующий кафедрой

Рабочая программа одобрена на заседании УМС _______________________

__________________________________________________________________

«__» __________________ 200__г., протокол №___________

Председатель ______________________________________________________

СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО

Начальник УМУ Председатель УМС факультета

__________________ ____________________

«__» ___________ 200__г. «__»_______________ 200 __г.

СОГЛАСОВАНО

Заведующий выпускающей кафедры

_____________________

«__» ________________200 __г.

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе.

1.1.  Цели преподавания учебной дисциплины «Математический анализ»

«Математический анализ» является фундаментальной дисциплиной при осуществлении математического обучения инженеров всех специальностей, в том числе авиационного профиля.

Важнейшая задача этой дисциплины – достаточно строго в логической последовательности изложить основы классической математики, привить студентам навыки самостоятельной работы, начиная с первых дней обучения в институте, что служит основой дальнейшей исследовательской деятельности будущих специалистов.

Программа предназначена для подготовки специалистов по специальности «Космические летательные аппараты и разгонные блоки». Это накладывает на нее определенные особенности, заключающиеся в том, что выпускник должен получить высшее образование, способствующее дальнейшему развитию личности.

Математическое образование следует рассматривать как важную составляющую подготовки специалиста. Обусловлено это тем, что математические дисциплины являются не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Основными целями курса «Математический анализ» являются:

-  подготовка студента к восприятию математического аппарата специальных дисциплин, чтению специальной литературы;

-  обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и решения физико-математических задач, соответствующих его будущей специальности;

-  формирование математическое образование студента таким образом, чтобы в дальнейшем он мог творчески развивать известные методы применительно к задачам своей специальности;

-  формирование логического мышления, способности к абстрагированию, и умению «работать» с «неосязаемыми» объектами.

1.2. Задачи изучения дисциплины.

-  на примерах математических понятий и методов продемонстрировать сущность научного подхода, специфику математики, ее роль в развитии других наук;

-  научить студентов приемам исследования и решения, математически формализованных задач;

-  выработать умения анализировать полученные результаты, привить навыки самостоятельного изучения литературы по математике.

1.3. Перечень учебных дисциплин с указанием разделов, усвоение которых необходимо для изучения осознания учебных тем, вопросов курса «Математический анализ»

·  основные понятия школьного курса начал математического анализа;

·  математические модели простейших систем и процессов в естествознании;

·  математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов.

1.4. После изучения дисциплины студент должен знать и уметь использовать:

-  основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики и теории множеств, теории рядов, функционального анализа;

иметь опыт

-  обработки экспериментальных данных;

-  аналитического и численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений и систем;

-  исследования функций одной и нескольких действительных и комплексных переменных.

2. Содержание дисциплины.

2.1. Федеральный компонент. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (ГОС ВПО) математических и естественнонаучных дисциплин содержит следующие разделы: дифференциальное и интегральное исчисления, элементы теории функции и функционального анализа, теория функций комплексного переменного, дифференциальные уравнения.

2.2. Объем дисциплины и виды учебной работы.

Виды учебной работы	Всего часов	Распределение по семестрам
1	2	3	4
Общая трудоемкость дисциплины	614	78	112	78	346
Лекции	153	34	51	34	34
Практические занятия	102	17	34	17	34
Самостоятельная работа	359	27	27	27	278
Вид итогового контроля		экз	экз	экз	экз

2.3 Тематическое планирование лекционных занятий, наименование тем, содержание, объем в часах.

	1 СЕМЕСТР	Кол-во часов
1.	ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. Множества. Последовательность. Конечный предел числовой последовательности. Критерий сходимости монотонной последовательности. Число е. Формулировка критерия Коши сходимости числовой последовательности. Бесконечно малые последовательности, их свойства и связь со сходящимися последовательностями. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного сходящихся последовательностей, о пределах последовательностей, связанных неравенствами. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми. Функция одной действительной переменной. Конечный предел функции одной действительной переменной. Бесконечно большие функции. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функции. Замечательные пределы. Сравнение функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их свойства. Непрерывность функций. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на интервале, отрезке. Формулировка свойств функций, непрерывных на отрезке	10
2.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Производная функции. Односторонние производные. Геометрический и механический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой. Дифференцируемость функций, необходимое условие дифференцируемости. Общие правила дифференцируемости. Производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференциал функции, его геометрический смысл, свойства, инвариантная форма записи, приложения. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование параметрически заданной функции. Теоремы о среднем Ферма, Ролля, Лагранжа, их геометрический смысл. Теорема Коши. Правила Лопиталя. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано. Разложение по формуле Маклорена функций. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Условия монотонности функции. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Выпуклость (вогнутость) графика функции, точки перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба. Асимптоты графика функции	14
3.	ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества и области. Предел функции. Непрерывность функции. Формулировка свойств функций, непрерывных в ограниченных замкнутых областях. Частные производные, дифференцируемость. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Дифференциал, его свойства. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявно заданных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной уравнением z=f(x, y) и поверхности, заданной уравнением F(x, y,z)=0. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия. Квадратичные формы. Формулировка критерия Сильвестра. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Формулировка достаточных условий.	10
	Итого за 1 семестр	34
	2 СЕМЕСТР
7	ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Методы интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных функций. Рационализирующие подстановки для интегралов от тригонометрических и иррациональных выражений. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции. Определённый интеграл. Определение. Условия существования. Свойства определённого интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом, его дифференцируемость. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. Геометрические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.	20
8	ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Интегралы, зависящие от параметра, их интегрируемость и дифференцируемость. Задачи, приводящие к понятиям кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Общая структура этих интегралов. Определения, свойства. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах. Понятие якобиана. Замена переменных в кратных интегралах. Двойной интеграл в полярных координатах, тройной - в цилиндрических и сферических координатах. Геометрические приложения кратных интегралов. Механические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов.	19
9	ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ. Скалярное поле, поверхность уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его свойства. Векторное поле. Вектор-функция скалярного аргумента. Предел. Непрерывность. Производная вектор-функции, её геометрический и кинематический смысл. Работа векторного поля. Криволинейные интегралы 2-го рода, определение, свойства, вычисление, связь с криволинейными интегралами 1-го рода Потенциальные векторные поля. Необходимые и достаточные условия потенциальности. Нахождение потенциала. Поток векторного поля. Поверхностные интегралы 2-го рода, определение, свойства, связь поверхностными интегралами 1-го рода. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция векторного поля, её свойства. Вихрь векторного поля, го свойства. Формула Стокса.	12
	Итого за 2 семестр	51
3 СЕМЕСТР
10	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Задачи, приводящие к ДУ. Основные понятия и определения. Задача Коши, теорема существования и единственности ее решения. Поле направлений. Метод изоклин. Классы ДУ 1-го порядка, интегрируемых в квадратурах: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. ДУ, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра. Понятие особого решения. ДУ высшего порядка. Задача Коши. ДУ, допускающие понижение порядка. Линейные ДУ n- го порядка. Линейные однородные ДУ, свойства их решений. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского и связанные с ним условия линейной зависимости и линейной независимости решений линейных однородных ДУ Фундаментальная система решений. Структура общего решения. Линейное однородное ДУ с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные ДУ, структура его общего решения. Метод вариации постоянных. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Метод подбора частного решения.	12
11	СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Основные понятия и связь с ДУ n-го порядка. Задача Коши, условия существования и единственности ее решения. Первые интегралы, метод интегрируемых комбинаций. Линейные системы ДУ, ее матричная форма записи. Линейные однородные системы ДУ, свойства их решений. Определитель Вронского и связанные с ним условия линейной зависимости и линейной независимости решений линейной однородной системы ДУ. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейной однородной и линейной неоднородной систем ДУ. Метод вариации постоянных. Линейные системы ДУ с постоянными коэффициентами.	10
12	ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Основные определения, свойства. Необходимые признаки сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами: ограниченность частных сумм, интегральный признак, признак сравнения и его следствие, признаки Даламбера и Коши и их следствия. Числовые ряды с произвольными членами. Теорема Лейбница для знакочередующихся рядов, оценка остатка ряда. Необходимое и достаточное условие сходимости рядов с комплексными членами. Абсолютная и условная сходимость. Признак Даламбера и Коши для числовых рядов с произвольными членами. Свойства абсолютно сходящихся рядов.	6
13	ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. Последовательности и ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Степенные ряды в действительной области, их свойства. Ряды Тейлора и Маклорена. Приложение степенных рядов к приближённым вычислениям и решению задачи Коши для ДУ. Элементарные функции комплексного переменного.	6
	Итого за 3 семестр	34
	4 СЕМЕСТР
14	РЯДЫ ФУРЬЕ. Ортогональные и ортонормированные системы функций. Ряды Фурье по произвольной ортогональной системе функций. Сходимость в среднем. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. Тригонометрический ряд Фурье. Формулировка достаточных условий разложимости функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье для четных и нечётных функций. Интегрирование и дифференцирование комплекснозначных функций действительного аргумента. Ряд Фурье в комплексной форме. Интеграл Фурье в действительной форме. Интеграл Фурье для чётных и нечётных функций. Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье, его свойства. Обращение преобразования Фурье.	10
15	УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Задачи, приводящие к уравнениям с частными производными. Классификация линейных уравнений с частными производными 2-го порядка. Основные уравнения математической физики: уравнение малых поперечных колебаний струны, уравнение теплопроводности, уравнение Пуассона. Постановка задач математической физики, начальные и граничные условия. Задача Штурма-Лиувилля. Метод Фурье решения задачи о колебании ограниченной струны и задачи о распространении тепла в ограниченном стержне. Метод Фурье решения краевых задач для уравнения Лапласа в прямоугольнике и в круговых областях. Применение интеграла и преобразования Фурье к решению задачи о колебании бесконечной струны и о распространении тепла в бесконечном стержне.	14
16	ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. Примеры задач. Функционал и его вариация. Экстремум функционала, необходимое условие экстремума. Первая вариация. Уравнение Эйлера. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Функционалы с производными высшего порядка. Функционалы от функций нескольких переменных их экстремумы. Геодезические кривые. Задача с подвижными границами. Условие трансверсальности. Поле экстремалей. Некоторые приложения вариационного исчисления.	10
	Итого за 4 семестр	34
	ИТОГО	153

2.3 Практические занятия, их содержание и объем в часах.

№	Тема и содержание занятия	Кол-во часов
1 семестр – 17 час
1	Комплексные числа. Различные формы записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами.	2
2	Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах. Предел числовой последовательности.	2
3	Функции одной действительной переменной, основные понятия Построение графиков функций с помощью преобразований. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.	2
4-5	Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически.	3
5-6	Приложение производной к решению задач. Точки экстремума функции. Условия монотонности функции. Экстремумы функции. Необходимое условие. Достаточные условия. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функции и построения ее графика. Формула Тейлора. Правило Лопиталя.	4
7-8	Область определения функции нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Экстремумы функций нескольких переменных. Метод наименьших квадратов. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.	4
	Итого за 1 семестр	17
2 семестр – 34 часа
1-4	Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования.	8
5-7	Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы, их основные свойства	6
8-13	Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах, двойных интегралов в полярных координатах и тройных - в цилиндрических и сферических координатах. Приложения кратных интегралов. Вычисление и приложения криволинейных и поверхностных интегралов 1-го рода	12
14	Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.	2
15-16	Векторное поле. Дифференциальные операции теории поля: дивергенция, ротор, оператор Лапласа. Оператор Гамильтона, Поток, циркуляция. Линейный интеграл в векторном поле. Криволинейные интегралы 2-го рода. Работа векторного поля. Потенциальные векторные поля. Нахождение потенциала.	4
17	Интегральные теоремы теории поля: теоремы Остроградского, Грина, Стокса	2
	Итого за 2 семестр	34
3 семестр – 17 ч
1-2	Дифференциальные уравнения первого порядка (с разделенными и разделяющимися переменными однородные, линейные, уравнения в полных дифференциалах). Частное и общее решения.	3
2-3	Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.	2
3	Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные линейные дифференциальные уравнения. Уравнения с правой частью специального вида.	2
4	Нормальная система дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения Метод исключения для решения нормальных систем. Простейшие численные методы. Системы линейных дифференциальных уравнений.	2
5-6	Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия с рядами. Методы исследования сходимости знакопостоянных и знакопеременных рядов.	4
7-8	Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Достаточные условия сходимости ряда Тейлора. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. Ряд Маклорена как частный случай ряда Тейлора. Разложение функций в ряд Маклорена	4
	Итого за 3 семестр	17
4 семестр – 34 часа
1-2	Тригонометрические ряды. Ряд Фурье. Приближенные вычисления с помощью рядов. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье в комплексной форме. Представление функции интегралом Фурье. Приложение рядов к решению задач.	4
3-7	Уравнения с частными производными, основные понятия и определения. Классификация линейных уравнений с частными производными 2-го порядка относительно функции двух переменных. Основные уравнения математической физики: уравнение малых поперечных колебаний струны, уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле, уравнение стационарной теплопроводности. Постановка задач математической физики, начальные и граничные условия. Понятие о корректности поставленной задачи.	10
8-12	Задача Штурма-Лиувилля. Метод Фурье решения начально-краевых задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Решение методом Фурье задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике и круговых областях.	10
13-17	Функционалы. Функциональные пространства. Сильный и слабый экстремум. Необходимое условие экстремума функционала. Уравнение Эйлера Задача о брахистохроне. Задача со свободными концами. Вариационная производная. Изопериметрические задачи. Задача Дидоны. Задача на условный экстремум. Геодезические кривые. Задача с подвижными концами. Условия трансверсальности. Некоторые приложения к задачам механики и ракетодинамики. Понятие о поле экстремалей. Уравнение Гамильтона-Якоби.	10
	Итого за 4 семестр	34
	ИТОГО	102

2.4 Самостоятельная работа студентов.

Самостоятельная работа студентов заключается в проработке лекционного материала, подготовке домашних заданий по каждой теме практического занятия и выполнению расчетно-графических работ. Кроме того, каждый студент готовит реферативный доклад по некоторым темам курса математики. На углубленное самостоятельное изучение выносятся следующие темы курса математики:

1.  Касательная и нормаль к графику функции.

2.  Свойства функции непрерывных в сегменте.

3.  Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

4.  Производные высших порядков.

5.  Приложение формулы Тейлора в приближенных вычислениях.

6.  Приближенное нахождение корней уравнений.

7.  Универсальная тригонометрическая подстановка..

8.  Приближенное вычисление определенных интегралов.

9.  Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

10.  Элементы теории устойчивости.

11.  Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

12.  Механические приложения кратных интегралов.

13.  Разложение функции в степенной ряд и применение рядов.

14.  Разложение функций заданных на произвольном интервале в ряд Фурье.

2.5 Промежуточные формы контроля знаний, перечень и темы.

По данному курсу предполагается оценка знаний по каждой теме лекционных и практических занятий, а также по каждой форме самостоятельной работы.

2.6 Итоговый контроль знаний.

Итоговая форма контроля знаний по дисциплине «Математический анализ» экзамен. К экзамену допускаются студенты, успешно выполнившие задания практических занятий, а также задания, предусмотренные для самостоятельной работы.

Примерные вопросы к экзамену.

1 семестр

1.  Определения функции. Способы задания.

2.  Сложная функция. Обратная функция и ее график.

3.  Предел последовательности.

4.  Предел функции.

5.  Первый и второй замечательный пределы.

6.  Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства.

7.  Эквивалентные величины и их использование в теории пределов.

8.  Основные теоремы о пределах функции.

9.  Признаки существования пределов.

10.  Непрерывность функций.

11.  Горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты функций, их уравнения.

12.  Механический и геометрический смысл производной.

13.  Таблица производных.

14.  Производные суммы, разности, произведения и частного функций.

15.  Производная сложной и обратной функции.

16.  Производные основных элементарных функций.

17.  Гиперболические функции и их производные.

18.  Дифференциал, его определение, геометрический смысл и применение в приближенных вычислениях.

19.  Логарифмическое дифференцирование.

20.  Теорема Лагранжа о конечных приращениях, ее геометрический смысл

21.  Уравнения касательной и нормали

22.  Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

23.  Теорема Ролля, Коши, Лагранжа

24.  Общая схема исследования функций.

25.  Раскрытие неопределенностей различных видов.

26.  Возрастание, убывание, максимум и минимум функции.

27.  Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

28.  Асимптоты графика функции.

29.  Формула Тейлора для многочлена и произвольной функции.

30.  Комплексные числа. Изображение. Действия над ними, в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

31.  Возведение в степень и извлечение корня.

32.  Понятие и примеры функций нескольких переменных (ФНП).

33.  Область определения ФНП.

34.  Предел и непрерывность ФНП.

35.  Частное и полное приращения ФНП.

36.  Частные производные ФНП.

37.  Частные производные ФНП высших порядков.

38.  Дифференциал ФНП, применение его в приближенных вычислениях.

39.  Экстремумы ФПН.

40.  Порядок исследования функции двух переменных на экстремум.

41.  Алгоритм определения наименьшего и наибольшего значений ФПН в замкнутой области.

2 семестр

1.  Неопределенный интеграл, его свойства

2.  Интегрирование подстановкой

3.  Интегрирование по частям

4.  Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

5.  Интегрирование рациональных дробей

6.  Интегрирование тригонометрических функций

7.  Интегрирование иррациональных функций.

8.  Понятие правильной рациональной дроби.

9.  Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

10.  Интегрирование функций, содержащих тригонометрические выражения

11.  Свойства и геометрический смысл определенного интеграла

12.  Формула Ньютона-Лейбница

13.  Вычисление определенных интегралов, изменение пределов интегрирования при замене переменной

14.  Методы вычисления определенных интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона

15.  Несобственные интегралы первого и второго рода, их вычисление

16.  Правила оценки сходимости несобственных интегралов

17.  Вычисление площадей фигур в прямоугольных и полярных координатах. Другие приложения определенного интеграла

18.  Понятие, определение и свойства двойного интеграла

19.  Вычисление двойного интеграла, изменение порядка интегрирования

20.  Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла

21.  Двойной интеграл в полярных координатах

22.  Замена переменных в двойном интеграле

23.  Вычисление площади поверхности

24.  Плотность распределения вещества и двойной интеграл

25.  Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла

26.  Тройной интеграл в цилиндрических координатах

27.  Тройной интеграл в сферических координатах

28.  Замена переменных в тройном интеграле

29.  Криволинейный интеграл и его свойства

30.  Вычисление криволинейного интеграла

31.  Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

32.  Поверхностный интеграл 1-го рода и его вычисление

33.  Поверхностный интеграл 2-го рода и его вычисление

34.  Формула Грина зависимости между двойным и криволинейным интегралом

35.  Теорема Стокса

36.  Теорема Остроградского

37.  Скалярное поле.

38.  Поверхности уровня.

39.  Градиент скалярного поля

40.  Производная по направлению.

41.  Векторное поле. Векторные линии

42.  Поток векторного поля через ориентированную поверхность

43.  Вычисление потока векторного поля методом проектирования на одну координатную плоскость и на три координатные плоскости

44.  Линейный интеграл вектора, его физический смысл

3 семестр

1.  ДУ первого порядка. Общее и частное решения, их геометрический смысл

2.  Алгоритм решения линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ) первого порядка способом Бернулли и методом вариации произвольной постоянной

3.  Однородные и приводящиеся к однородным ДУ и их решение

4.  ДУ в полных дифференциалах и их решение

5.  Решение дифференциальных уравнений вида

6.  Решение ДУ второго порядка:

а) не содержащих в явном виде переменной У

б) не содержащих в явном виде переменной Х

7.  ЛДУ, их частные и общие решения

8.  Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

9.  Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

10.  Системы дифференциальных уравнений.

11.  Определение числовой последовательности, числового ряда, суммы ряда

12.  Геометрическая прогрессия и ее сходимость

13.  Необходимое условие сходимости ряда. Показать его применение на примере

14.  Свойства сходящихся рядов

15.  Достаточные условия сходимости знакопостоянных рядов:

а) первый признак сравнения;

б) второй признак сравнения;

в) признак Даламбера;

г) признак Коши;

д) интегральный признак

16.  Гармонический ряд и оценка его сходимости

17.  Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость

18.  Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда

19.  Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда

20.  Степенной ряд. Радиус и интервал сходимости степенного ряда

21.  Ряд Тейлора.

22.  Разложение функций в ряд Тейлора.

23.  Условие сходимости ряда Тейлора к порождающей функции.

24.  Применение рядов приближенных вычислениям значений функций.

25.  Вычисление определенных интегралов с помощью степенных рядов.

4 семестр

1.  Ортогональная система функций

2.  Сформулировать теорему Дирихле и условие Дирихле

3.  Написать формулу общего члена ряда Фурье

4.  Вывод формул коэффициентов ряда Фурье.

5.  Условие разложения функций в ряд Фурье.

6.  Разложение в ряд Фурье периодических функций.

7.  Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

8.  Дифференциальные уравнения в частных производных.

9.  Линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

10.  Уравнение гиперболического, параболического и эллиптического типа.

11.  Постановка краевых задач для уравнений теплопроводности, уравнения Лапласа и волнового уравнения.

12.  Метод Фурье решения краевых задач для уравнения теплопроводности.

13.  Распространение тепла в пространстве.

14.  Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа для простейших областей.

15.  Уравнение теплопроводности и диффузии.

16.  Уравнение Лапласа и Пуассона.

17.  Задачи Дирихле для прямоугольника и круга.

18.  Уравнение колебания струны и мембраны.

19.  Примеры задач вариационного исчисления.

20.  Понятие функционала.

21.  Вариация функционала.

22.  Экстремум функционала.

23.  Необходимые условия экстремума.

24.  Простейшая задача вариационного исчисления.

25.  Уравнение Эйлера.

26.  Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

27.  Функционалы с производными высшего порядка.

28.  Экстремумы функционалов, зависящих от нескольких переменных.

29.  Функционалы от функции нескольких переменных.

30.  Задача на условный экстремум.

31.  Геодезические кривые.

32.  Задача с подвижными границами.

33.  Условие трансверсальности.

34.  Поле экстремали.

35.  Решение прикладных задач вариационного исчисления.

3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

3.1.Основная литература

1.  Берман задач по курсу математического анализа. – С.-П. Профессия, 2001.

2.  , Никольский и интегральное исчисление. – М.: Дрофа, 2005

3.  , Никольский уравнения. Кратные интегралы. Ряды. – М.: Дрофа, 2005.

4.  Пискунов и интегральное исчисление для втузов. – М. Наука, 2008.

5.  , Самарский математической физики. М.: МГУ, Наука, 2004.

3.2. Дополнительная литература

1.  ,, Садовничий анализ в упражнениях и задачах (Числовые и функциональные ряды) М. Факториал, 2006.

2.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. – М. Высш. шк., 2003.

3.  Гусятников. П. Б., Резниченко алгебра в примерах и задачах.– М. Наука, 2005.

4.  Кудрявцев математического анализа. – М. Наука, 2000.

5.  Шмелев рядов в задачах и упражнениях – М. Высш. шк., 2003.

3.3 Технические и другие средства обучения

Не предусмотрены.

Балльная структура оценки за 1-й семестр

Учебный модуль	Виды контроля	Кол-во баллов	Максимальное кол-во баллов за модуль
Введение в математический анализ	Лекционный контроль	2	15
К/р «Комплексные числа»	4
К/р «Построение графиков функций с помощью преобразований»	4
К/р «Пределы»	5
Дифференциальное исчисление	Лекционный контроль	2	17
К/р «Производная»	5
РГР «Приложение производной»	10
Функции нескольких переменных	Лекционный контроль	2	13
К/р «Частные производные»	5
К/р «Экстремумы ФНП»	6
Итоговая работа за семестр	Тест	10	55
Активность и посещение занятий	5
Экзамен	40
ИТОГО			100