Государственное образовательное учреждение
Невинномысский химический колледж
Рабочая программа
дисциплины «Математические методы»
для специальности 2203
3 курс
2006
Одобрена Составлена в соответствии с Госу -
Кафедрой физико - дарственными требованиями к ми-
математических дисциплин нимуму содержания и уровню
готовки выпускника по специаль -
ности 2203
Протокол №___
от “____”________2006 г.
Зав. кафедрой
____________
“___”_________2006 года
Автор:
Зам. директора по УМР
Рецензент:
_____________________
“__”__________2006год
1. Пояснительная записка
Учебная дисциплина “Математические методы” является общепрофессиональной, формирующей базовый уровень знаний для освоения других общепрофессиональных и специальных дисциплин.
1.1. Краткая характеристика дисциплины, основные знания, умения и навыки, которыми должен овладеть студент
Курс “Математические методы” рассчитан на 100 часов, в том числе практические занятия 20 часов и выполнение курсовых работ - 30 часов. Основная задача изучения курса состоит в приобретении целостного представления о математических методах решения различных задач. Эти задачи широко распространены: математические методы в принятии решений; методы исследования операций; методы экономической кибернетики; методы оптимального управления; прикладная математика в экономике и организации производства и т. д. В настоящем курсе термин математические методы и модели будет использоваться без конкретизации применения (экономика, техника, технология, гуманитарные исследования и пр.) в связи с их инвариантностью. Изучение курса дает возможность получить разносторонние знания о содержании и сущности применения математических методов к решению широкого класса задач. Эти знания дадут возможность алгоритмизировать и программно реализовать решение задач различных отраслей знаний.
Программа дисциплины состоит из 4 разделов и знакомит будущих специалистов с задачами линейного, нелинейного, динамического программирования, теорией графов, теорией игр, системами массового обслуживания и другими задачами, предусмотренными образовательным стандартом
1.2. Связь с другими дисциплинами учебного плана
Изучение курса предполагает, что студенты уже имеют навыки работы с компьютером и различными программными средами, полученные в ходе изучения дисциплины “Основы алгоритмизации и программирования”, и приобрели определенный опыт в программировании во время практики для получения первичных профессиональных навыков. Настоящий курс прежде всего базируется на ранее изученных дисциплинах математического цикла
Изучаемая дисциплина тесно связана с такими дисциплинами, как:
· «Элементы высшей математики»
· «Основы алгоритмизации и программирования»,
· «Дискретная математика
· «Численные методы»
· «Теория вероятностей и математическая статистика»
Знания и умения, полученные в ходе изучения данной дисциплины, будут в дальнейшем использоваться при изучении предметов:
· «Разработка и эксплуатация информационные системы" href="/text/category/avtomatizirovannie_informatcionnie_sistemi/" rel="bookmark">автоматизированных информационных систем».
· «Распределенные системы обработки информации»,
· «Безопасность и управление доступом в информационных системах»,
а также при выполнении дипломного проекта.
1.3.Организация итогового контроля
Для итогового контроля знаний, полученных в ходе изучения дисциплины “Математические методы” предусмотрено проведение экзамена по окончании первого семестра. Разработка и защита курсового проекта во втором семестре изучения дисциплины.
В результате изучения дисциплины студенты должны знать:
- основы теории игр;
- способы решения задач линейного программирования;
- общую характеристику задач динамического программирования;
- теорию систем массового обслуживания;
- основы имитационного моделирования
- понятия и способы прогнозирования
студенты должны уметь:
- решать задачи линейного программирования различными методами;
- составлять экономическую и геометрическую модели задач нелинейного программирования;
- составлять алгоритмы с помощью графов;
- определять характеристики систем массового обслуживания;
- решать задачи имитационного моделирования;
Методические указания.
При изучении предмета необходимо организовать самостоятельную работу студентов, выделить вопросы, рекомендуемые для самостоятельного изучения, перечень заданий для самостоятельного выполнения.
В ходе изучения основ математических методов студенты должны повторить, развить и углубить основные понятия, утверждения, приемы решения задач по вопросам, изученным ранее и отраженным в программе
Данная программа составлена в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника по специальности. Преподаватель обязан систематически следить за изменениями стандартов по предмету, корректировать настоящую программу, излагать учебный материал с учетом таких изменений.
Тематический план
Наименование разделов и тем | Количество часов | |
Всего | в т. ч. практич. занятий | |
1 | 2 | 3 |
I. Математическое программирование | 42 | 12 |
1. Задачи линейного программирования | 26 | 6 |
1.1 Основные понятия и определения. Математические модели и их виды. | 2 | |
1.2 Свойства основной задачи линейного программирования .Геометрическое истолкование задачи | 4 | |
1.3 Симплекс метод решения задач линейного программирования | 6 | |
1.4 Метод искусственного базиса | 6 | |
1.5 Транспортная задача. Определение опорного плана транспортной задачи | 2 | |
1.6 Определение оптимального плана транспортной задачи: метод потенциалов | 2 | |
1.7 Определение оптимального плана транспортной задачи: метод дифференциальных рент | 4 | |
2. Задачи нелинейного программирования | 6 | 2 |
2.1 Экономическая и геометрическая интерпретации задачи нелинейного программирования | 2 | |
2.2 Метод множителей Лагранжа. | 4 | |
3. Задачи динамического программирования | 8 | 2 |
3.1 Общая характеристика задач динамического программирования и их геометрическая и экономическая интерпретация | 4 | |
3.2 Нахождение решения задач методом динамического программирования | 4 | |
II. Теоретико–графовые методы и их применение | 8 | 2 |
4.1 Оптимизационные задачи решаемые при помощи графов | 2 | |
4.2. Алгоритмы на графах. | 2 | |
4.3. Нахождение максимального и минимального пути в графе | 2 | |
4.4. Решение транспортной задачи с помощью графов | 2 | |
III. Системы массового обслуживания | 38 | 2 |
5.1. Основные понятия теории массового обслуживания. | 2 | |
5.2.Компоненты и классификация моделей массового обслуживания | 2 | |
5.3.Основные задачи, решаемые методом исследования операций. Классификация задач | 4 | |
6. Определение характеристик систем массового обслуживания. | 10 | |
6.1.Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком | 2 | |
6.2.Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания | 4 | |
6.3. Модель обслуживания машинного парка | 4 | |
7. Имитационное моделирование | 20 | 4 |
7.1. Простейшие задачи решаемые методом имитационного моделирования | 4 | |
7.2. Теоретические основы метода имитационного моделирования | 2 | |
7.3. Моделирование случайных событий с заданным законом распределения | 4 | |
7.4. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло | 2 | |
7.5. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем. | 2 | |
7.6. Имитация процессов, проходящих во времени | 2 | |
7.7. Прогнозирование. Основная идея и методы прогнозирования. | 4 | |
IV. Теория игр. | 14 | 2 |
8.1. Предмет теории игр, основные понятия. | 2 | |
8.2. Цены и оптимальные стратегии игр | 2 | |
8.3.Основная теорема теории игр | 2 | |
8.4.Простейшие методы решения задач теории игр. | 4 | |
8.5.Элементы теории принятия решений. | 2 | |
8.6.Стратегические и статистические игры | 2 | |
Итого | 100 |
Содержание предмета
Раздел 1. Математическое программирование
1. Задачи линейного программирования
1.1 Основные понятия и определения. Математические модели и их виды.
Студенты должны знать:
- понятие математической модели
- виды математических моделей
- понятие системы ограничений
- понятие оптимального плана
- понятие общей задачи линейного программирования
- понятие основной задачи линейного программирования
- понятие допустимого решения
- понятие целевой функции
Студенты должны уметь:
- составлять систему ограничений
- записывать задачу в форме основной задачи линейного программирования
- составлять целевую функцию
1.2 Свойства основной задачи линейного программирования. Геометрическое истолкование задачи
Студенты должны знать:
- понятие опорного плана;
- понятие вырожденного и невырожденного опорного плана
- понятие выпуклого множества;
- понятие угловой точки выпуклого множества;
- свойства основной задачи линейного программирования;
- основные теоремы множества планов;
- этапы нахождения решения задачи линейного программирования;
Студенты должны уметь:
- строить многоугольник решений;
- находить максимум и минимум функции;
Практическая работа№1. Геометрический метод решения задач ЛП
1.3 Симплекс метод решения задач линейного программирования
Студенты должны знать:
- признак оптимальности опорного плана
- алгоритм проверки оптимальности опорного плана
- понятие базиса
- понятие разрешающего элемента
- правило треугольника
Студенты должны уметь:
- находить разрешающий элемент
- строить симплекс таблицу
- находить опорный план задачи
- проверять опорный план на оптимальность
Практическая работа №2: Решение задач ЛП симплекс методом
1.4 Метод искусственного базиса
Студенты должны знать:
- понятие расширенной задачи линейного программирования ;
- понятие искусственного базиса;
- общие правила симплекс – метода;
- понятие искусственных переменных;
Студенты должны уметь:
- составлять расширенную задачу линейного программирования
- находить опорный план расширенной задачи
- проводить пересчёт симплекс таблиц
1.5 Транспортная задача. Определение опорного плана транспортной задачи
Студенты должны знать:
- понятие двойственной задачи линейного программирования;
- понятие плана транспортной задачи;
- понятие закрытой модели транспортной задачи
- метод северо-западного угла
- метод минимального элемента
Студенты должны уметь:
- находить опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла
- находить опорный план транспортной задачи методом минимального элемента
1.6 Определение оптимального плана транспортной задачи: метод потенциалов
Студенты должны знать:
- понятие цикла
- понятие сдвига по циклу пересчёта
- этапы решения задачи методом потенциалов
- правила построения опорного плана
Студенты должны уметь:
- находить опорный план методом потенциалов
1.7 Определение оптимального плана транспортной задачи: метод дифференциальных рент
Студенты должны знать:
- понятие условно оптимального распределения;
- понятие промежуточной ренты;
- этапы решения задачи методом дифференциальных рент
- понятие блокирования перевозок
Студенты должны уметь:
- находить опорный план методом дифференциальных рент
- решать транспортные задачи в Excel
Практическая работа №3: Решение транспортных задач
2. Задачи нелинейного программирования
2.1 Экономическая и геометрическая интерпретации задачи нелинейного программирования
Студенты должны знать:
- понятие гиперповерхности;
- геометрическую интерпретацию задачи нелинейного программирования;
- экономическую интерпретацию задачи нелинейного программирования
- этапы решения задач нелинейного программирования
Студенты должны уметь:
- составлять математические модели задач нелинейного программирования;
2.2 Метод множителей Лагранжа.
Студенты должны знать:
- понятие множителя Лагранжа;
- этапы определения экстремальных точек;
- понятие функции Лагранжа
Практическая работа №4: Решение задач нелинейного программирования методом множителей Лагранжа
3.1 Общая характеристика задач динамического программирования и их геометрическая и экономическая интерпретация
Студенты должны знать:
- геометрическую интерпретацию задачи динамического программирования;
- экономическую интерпретацию задачи динамического программирования;
- принцип оптимальности
- понятие оптимальной стратегии управления
Студенты должны уметь:
- составлять геометрическую и экономическую модель задач линейного программирования
3.2 Нахождение решения задач методом динамического программирования
Студенты должны знать:
- основное функциональное уравнение Беллмана
- этапы решения задачи динамического программирования
Студенты должны уметь:
- решать задачи методом динамического программирования
Практическая работа №5: Решение задач динамического программирования.
Раздел 2. Теоретико–графовые методы и их применение
Алгоритмы на графах
4.1. Алгоритмы на графах.
Студенты должны знать:
- понятие графа
- понятие цикла
- понятие дерева
- понятие смежности
- понятие инциденций
- понятие связного графа
- понятие степени графа
Студенты должны уметь:
- составлять алгоритмы с помощью графов
4.2. Нахождение максимального и минимального пути в графе
Студенты должны знать:
- алгоритм нахождения максимального пути
- алгоритм нахождения минимального пути
Студенты должны уметь:
- решать задачи на нахождение максимального и минимального пути
4.3. Решение транспортной задачи с помощью графов
Студенты должны знать:
- понятие транспортной сети
- понятие потока по транспортной сети
- понятие пропускной способности
- методику решения транспортной задачи
Студенты должны уметь:
- решать транспортную задачу с помощью графов
Практическая работа №6. Применение теории графов к решению оптимизационных задач
Раздел 3. Системы массового обслуживания
5.1.Основные понятия теории массового обслуживания.
Студенты должны знать:
- понятие системы массового обслуживания
- понятие обслуживающего устройства
- понятие канала обслуживания
- понятие цикла функционирования
- понятие входного потока требований
- понятие дисциплина очереди
- понятие механизма обслуживания
- предмет теории массового обслуживания
- виды систем массового обслуживания
5.2.Простейшие СМО и нахождение их параметров
Студенты должны знать:
- виды систем массового обслуживания
- понятие простейшего потока
- теорему Хинчина
- показательный закон распределения времени обслуживания
- понятие коэффициента загрузки
- распределение Эрланга
Студенты должны уметь:
- находить пропускную способность вероятности отказа
- находить параметры систем массового обслуживания
Практическая работа №7: Нахождение параметров СМО
5.3.Компоненты и классификация моделей массового обслуживания
Студенты должны знать:
- понятие канала обслуживания
- примеры систем массового обслуживания
- основные компоненты систем массового обслуживания
- структуру обслуживающей системы
5.4.Основные задачи, решаемые методом исследования операций. Классификация задач
Студенты должны знать:
- понятие операции
- цель исследования операций
- понятие целевой функции
- основные элементы метода исследований операций
- понятие доверия математической модели
- основные этапы метода исследования операций
- классификацию задач
Студенты должны уметь:
- решать задачи управления запасами
- решать задачи распределения ресурсов
- решать задачи ремонта и замены оборудования
- решать задачи массового обслуживания
- решать задачи упорядочивания
- решать задачи сетевого планирования и управления
5.5.Определение характеристик систем массового обслуживания.
Студенты должны знать:
- понятие отказа системы
- граф состояний системы
- понятие и формулу нахождения вероятности отказа
- понятие относительной пропускной способности
- понятие абсолютной пропускной способности
- формулы нахождения среднего числа СМО
5.6.Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком
Студенты должны знать:
- понятие отказа системы
- понятие одноканальной модели
- понятие модели с ожиданием
- формулы Эрланга
Студенты должны уметь:
- определять вероятностные характеристики одноканальных моделей
5.7.Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания
Студенты должны знать:
- понятие интенсивности входного потока
- граф состояний многоканальной СМО
- уравнения Колмогорова
Студенты должны уметь:
- определять вероятностные характеристики многоканальных моделей
- вычислять финальные значения параметров
5.8.Модель обслуживания машинного парка
Студенты должны знать:
- понятие модели замкнутой системы
- понятие ёмкости источника требований
Студенты должны уметь:
- выбирать лучший вариант обслуживания
- вычислять вероятностные характеристики
Раздел 4. Имитационное моделирование(18)
6.1 Простейшие задачи решаемые методом имитационного моделирования
Студенты должны знать:
- понятие метода имитационного моделирования
- класс основных задач решаемых методом имитационного моделирования
- теорему Чебышева
- теорему Бернулли
- центральную предельную теорему
- формулы для моделирования случайных величин
Студенты должны уметь:
- составлять модель задачи с помощью имитаций
6.2. Теоретические основы метода имитационного моделирования
Студенты должны знать:
- основу метода статистического моделирования
- понятие экспериментальной ошибки
- понятие закона распределения
- основные законы распределения
- алгоритм нахождения экспериментальной ошибки
Студенты должны уметь:
- определять экспериментальную ошибку модели
- составлять имитационную таблицу
6.3. Моделирование случайных событий с заданным законом распределения
Студенты должны знать:
- закон равномерного распределения
- закон нормального распределения
- способ получения псевдослучайных чисел
- достоинства метода псевдослучайных чисел
- понятие разыгрываемой величины
- теорему о законе распределения разыгрываемой случайной величины
- алгоритм разыгрывания случайной величины заданным законом распределения
- алгоритм разыгрывания непрерывной случайной величины
Студенты должны уметь:
- разыгрывать случайную величину заданным законом распределения
- находить формулу для разыгрывания случайной величины
- оценивать параметры разыгрываемой случайной величины
6.5. Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем.
Студенты должны знать:
- понятие сложной технической системы
- понятие случайного потока
- понятие функции восстановления
Студенты должны уметь:
- рассчитывать ведущую функцию
- рассчитывать параметры потока отказов
- моделировать массивы случайных величин Студенты должны уметь:
разыгрывать
6.6. Имитация процессов, проходящих во времени.
Студенты должны знать:
- понятие сложной технической системы
- понятие случайного потока
- понятие функции восстановления
Студенты должны уметь:
- рассчитывать ведущую функцию
6.7. Прогнозирование. Основная идея и методы прогнозирования.
Студенты должны знать:
- понятие прогнозирования
- сущность и классификацию прогнозов
- методы и приёмы прогнозирования
- классификацию прогнозов
- системы прогнозирования
- простейшие модели прогнозирования
Студенты должны уметь:
- решать задачи прогнозирования
Практическая работа№8. Задачи моделирования случайных событий
Практическая работа №9: Задачи моделирования потоков отказов
Раздел 5. Теория игр.(14)
7.1.Предмет теории игр, основные понятия.
Студенты должны знать:
- понятие конфликтной ситуации
- понятие игры
- понятие партии игры
- понятия личного и случайного хода
- понятие исхода
- понятие стратегии
- понятие функции потерь
- понятие игры с полной информацией
Студенты должны уметь:
- определять правила игры
7.2.Цены и оптимальные стратегии игр
Студенты должны знать:
- понятие цены игры
- понятие оптимальной стратегии
- понятие смешанной стратегии
- понятие чистой стратегии
- понятие седловой точки
- понятие усреднения игры
Студенты должны уметь:
- находить оптимальную стратегию игры
- составлять пространство смешанных стратегий
7.3.Основная теорема теории игр
Студенты должны знать:
- понятие S-игры
- основную теорему теории игр
- понятие минимаксной стратегии
- теорему о минимаксе
Студенты должны уметь:
- строить геометрическую иллюстрацию принципа минимакса
- находить геометрически минимаксную стратегию
7.4.Простейшие методы решения задач теории игр.
Студенты должны знать:
- понятие доминирующей и полезной стратегии
- теорему о числе полезных стратегий
- принцип нахождения оптимальных стратегий
Студенты должны уметь:
- находить оптимальные стратегии
7.5.Элементы теории принятия решений.
Студенты должны знать:
- понятие игры с природой
- максимальный критерий Вальда
- критерий минимального риска Севиджа
- критерий Гурвица
Студенты должны уметь:
- уметь решать задачи принятия решений
7.6.Стратегические и статистические игры
Студенты должны знать:
- понятие статистической игры
- понятие стратегической игры
- понятие пространства стратегий
- понятие функции потерь
- понятия допустимой и недопустимой стратегии
- принципы выбора стратегий
Студенты должны уметь:
- геометрически трактовать байесовские стратегии
Практическая работа№10. Определение оптимальной стратегии игрока.
ОРГАНИЗАЦИЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА
1. Организация лекций
Лекция является ведущей, направляющей формой учебного процесса. На лекции выносятся основные разделы курса, требующие голубого понимания и определяющие сущность изучаемой дисциплины.
Лекции проводятся в лекционных аудиториях по расписанию занятий. На лекции студент должен вести конспект, который в сочетании с рекомендованной литературой используется для подготовки к практическим занятиям, контрольным работам, экзаменам и зачетам.
2. Организация практических занятий
Практические занятия предназначены для углубления, расширения и закрепления знаний, полученных на лекциях, а также для формирования и закрепления практических навыков работы на ПК
Практические занятия проводятся с академической группой в часы, установленные расписанием занятий.
Практические занятия строятся по принципу последовательного усложнения заданий с целью углубления самостоятельной работы студентов над учебным материалом. Первое практическое занятие в семестре, как правило, посвящается определению уровня знаний студентов путем опроса или проведения контрольной работы.
На практических занятиях студент должен иметь: конспект лекций, учебную и справочную литературу, отдельную тетрадь для записей.
На практических занятиях возможны применение специальных компьютерных программ, созданными в колледже, приобретенными, но отвечающим задачам курса, систем компьютерной математики, в том числе математические возможности Excel.
4. Курсовой проект.
Выполнение курсового проекта позволяет углубить, обобщить и систематизировать полученные знания; сформировать умения и навыки самостоятельного умственного труда; провести комплексную проверку знаний и умений студентов.
Студенты получают индивидуальные задания, которые должны соответствовать объему и содержанию программы дисциплины, отвечать целям обучения, быть разнообразными и примерно одинаковыми по сложности.
При выполнении курсового проекта системный анализ предметной области, составление концептуальной, логической и физической модели данных, проектирование транзакций и интерфейса пользователей выполняется студентами в часы, отведенные для самостоятельной работы.
По итогам выполнения курсового проекта составляется общий отчет, который должен состоять из пояснительной записки объемом 10-15 страниц и практического материала.
Примерная тематика курсовых проектов:
* Задачи линейного программирования их практическое применение
* Транспортные задачи и методы их решения
* Задачи динамического программирования и способы их решения
* Системы массового обслуживания
3. Организация самостоятельных занятий
Самостоятельные занятия предназначены для самостоятельного изучения студентами тех разделов курса, по которым не предусмотрено чтение лекций, либо проводятся лекции обзорного характера.
Весь теоретический материал, изученный в процессе индивидуальных занятий, должен быть законспектирован.
Литература
1., , Математические методы. Москва «Форум – инфра - м» 2005
2. ,, Волощенко программирование. Москва «Высшая школа», 1976г-351с
3. Коршунов основы кибернетики. Москва «Энергия» 1972 г.-376с
4. Сборник задач по линейному программированию.-М.:Наука,1969.-256с
5. Абрамов программирование. Л., Изд-во Ленингр. ун-та,19с.
6. Основы исследования операций. М.:Мир,19с
7. , , Суворов задач по исследованию операций. – М.: Изд-во МГУ, 1997. – 256 с.
8. Основы исследования операций. Т.1.- М.:Мир,1972; Т.2,3, 1973.
9. Васильев методы решения экстремальных задач.-М.: Наука, 1988.
10. Вентцель операций.- М.: Наука, 1980.
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ И ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ПРЕДМЕТУ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ специальность 2курс
№ п/п | Наименование практической работы | практич | Кол- Во ч | Делен. | Треб. Оборуд. | Наличие |
1 | Геометрические методы решения задач л/п | Практ. | 2 | да | есть | |
