«Точность – достоинство королей или Построение «иррациональных» отрезков» (стр. 3 )

√6	√14	√22	√30	√38	√42	√43	√46	√47	√59	√62
√66	√67	√70	√71	√78	√79	√83	√86	√92	√94	√124
√102	√103	√107	√110	√111	√114	√115	√118	√122	√123	√146
√126	√127	√129	√131	√134	√137	√138	√139	√131	√142	√166
√147	√148	√150	√151	√152	√154	√157	√158	√159	√163	√185
√167	√170	√171	√172	√174	√177	√178	√179	√183	√184	√186
√187	√188	√190	√191	√193	√197	√198	√199

Анализируя данные числа, мы пришли к выводу о том, что отрезки данной длины невозможно построить с помощью предложенных выше способов.

Для построения некоторых из них используем теорему о среднем пропорциональном.

Чтобы построить отрезок, равный , разложим число 6 на два множителя: 2 и 3. Тогда = . Начертим прямую и от точки А, принадлежащей этой прямой, отложим в разные стороны отрезки длины 2 и 3. Найдём центр этого отрезка для построения окружности радиуса 5:2=2,5. Из точки А восстановим перпендикуляр к данной прямой и найдём точку пересечения этого перпендикуляра с окружностью. По теореме о среднем пропорциональном отрезок АВ равен .

Аналогичным способом можно построить отрезок

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Таблица№5. Числа, которые неудобно построить в тетради, используя теорему о среднем пропорциональном, так как среди них есть простые и числа, один из множителей которых представлен достаточно большим числом.

√43	√47	√59	√67	√71	√79	√83	√86	√94	√103	√107
√118	√123	√127	√129	√131	√134	√137	√139	√142	√146	√148
√151	√157	√158	√159	√163	√167	√166	√172	√177	√178	√179
√183	√185	√188	√191	√193	√197	√199

Для чисел из таблицы мы можем предложить следующий способ построения отрезков данной длины.

Для построения, например, отрезка, равного √43, необходимо:

1.  Определить два слагаемых, сумма которых равна 43, при этом одно из них должно быть квадратом ближайшего к 43 числа с недостатком. По теореме Пифагора получим: ==.

2.  Далее на одной из сторон прямого угла отложить катет, равный 6. На другой стороне необходимо отложить отрезок, равный .

3.  Ищем способ, как легче построить. Можно использовать теорему о среднем пропорциональным представив число 7 в виде двух множителей 1 и 7. Однако удобней использовать теорему Пифагора, представив число 7 в виде разности квадрата гипотенузы и катета: =.

4.  Для этих построений используем дополнительный чертёж, на котором указанным выше способом по гипотенузе и катету находим отрезок равный, равный .

5.  С помощью циркуля отмечаем отрезок, равный , на другой стороне прямого угла. Проводим гипотенузу, которая в нашем случае равна .

Аналогичный способом можно построить любой отрезок, длина которого выражена иррациональным числом.

2.  Эксперимент

На следующем этапе перед нами стояла задача экспериментально проверить эффективность описанных выше способов построения «иррациональных» отрезков.

Для этого мы решили провести эксперимент в два этапа:

- на первом этапе пригласить способных к занятием математикой учащихся 8-10 классов НРМОБУ «Сингапайская СОШ» и, не объясняя способов построения отрезков «иррациональных» отрезков, предложить выполнить заданные построения;

- на втором этапе предоставить информацию по результатам исследовательской работы и повторить задание.

В эксперименте приняли участие 12 человек, из которых 7 человек (4 девочки и 3 мальчиков) из 8-х классов и 5 человек (4 девочки и 1 мальчик) из 10 класса.

Начальный этап состоялся 10 февраля 2012 года. Каждому ученику предлагалось решить 3 задания с помощью циркуля и линейки:

1. Построить отрезок, равный 5 см.

2. Построить отрезок, равный .

3. Построить отрезок, равный .

Результат 1 этапа:

№ п/п		Класс	Пол	1 задание	2 задание	3 задание
1		8а	м	+	-	-
2		8а	ж	+	-	-
3		8а	м	+	-	-
4		8а	ж	+	-	-
5		8а	м	+	-	-
6		8б	ж	+	-	-
7		8б	ж	+	-	-
8		10	ж	+	+
9		10	м	+	+	+
10		10	ж	+	-	-
11		10	ж	+	-	-
12		10	ж	+	+	+

* + - задание выполнено полностью, - - задание не выполнено