«Точность – достоинство королей или Построение «иррациональных» отрезков» (стр. 1 )

Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2012

Точные науки (от 14 до 17 лет)

«Точность – достоинство королей

или

Построение «иррациональных» отрезков»

Автор: Саитгареева Алина, 15 лет

ученица 8 класса

Руководитель работы:

,

учитель математики,

НРМОБУ «Сингапайская СОШ»

п. Сингапай Нефтеюганского района

ХМАО-Югра

2012 год

.

Введение

Актуальность. Как построить отрезок, длина которого выражена натуральным числом, знает каждый ученик начальной школы. В средней школе с расширением понятия числа возникает необходимость построения отрезков, длина которых выражена иррациональным числом. В учебнике «Алгебра – 8 класс» приведен пример построения отрезка, длина которого равна √2. Способ же построения других «иррациональных» отрезков (словосочетания «иррациональные отрезки» мы будем употреблять вместо фразы «отрезки, длина которых выражена иррациональным числом») не был описан ни в учебнике алгебры, ни в учебнике геометрии. Как, например, построить отрезок АB длины √83? Можно построить приближённо: АB≈9,1. Данный ответ не является точным, а проблема заключается в построении «точного» отрезка длины √83 или любого другого отрезка, длина которого выражена иррациональным числом.

Гипотеза: мы предполагаем, что можно найти и описать способы построения отрезков, длина которых выражена иррациональным числом.

Цель: найти и описать способы построения отрезков, длина которых выражена иррациональным числом.

Для реализации цели и проверки гипотезы мы поставили следующие задачи:

1.Изучить литературу по теме исследования.

2.Выявить различные способы построения отрезков.

3.Описать закономерности.

4. Провести эксперимент с целью апробации описанных способов построения отрезков среди учащихся НРМОБУ «Сингапайская СОШ».

Методы: анализ, синтез, обобщение, эксперимент.

Теоретическая значимость работы: в работе описаны различные способы построения отрезков, длина которых выражена иррациональным числом.

Практическая значимость работы: данные нашей работы можно применять при возникновении необходимости в построении отрезков, длина которых выражена иррациональным числом.

Новизна: обобщены способы построения отрезков, длина которых выражена иррациональным числом.

Глава I. Теоретическая часть

1. Что называется отрезком?

Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками, которые называются концами отрезка. 

 

2. Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть которое не может быть представленным в виде дроби , где m — целое число, n —натуральное число.

3. Построение отрезка, равного √2.

Пусть отрезок ОК равен диагонали квадрата, стороной которого служит единичный отрезок (рис.1) Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат (рис.2). Из рисунка 2 видно, что площадь этого квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Так как отрезок ОК равен стороне нового квадрата, то длина отрезка ОК равна числу, квадрат которого равен 2. При десятичном измерении отрезка ОК получится бесконечная десятичная дробь, которая не является периодической. Это объясняется тем, что среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.

Рис.1 Рис.2

4. Построение прямоугольного треугольника.

Построение прямоугольного треугольника лучше всего начать с построения прямого угла. Для этого построим две пересекающиеся прямые. Возьмём прямую а и на ней точку М. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. Затем построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках: P и Q. Проведём прямую QР через точку М (см. рис. 3). Эта прямая перпендикулярна к данной прямой а. Значит, угол PMB - прямой, а треугольник BMP – прямоугольный.

Также в своей работе мы используем теорему о среднем пропорциональном отрезке: высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Глава II. Практическая часть

1.  Построение «иррациональных» отрезков

На основе анализа литературы мы пришли к выводу о том, что иррациональные отрезки проще всего строить, образуя прямоугольный треугольник. Для выявления закономерностей нами была составлена таблица зависимости значения гипотенузы от длины катетов. По вертикали и горизонтали в первой строчке и в первом столбике таблицы дана длина катетов от 1 до 10, а на их пересечении - длина гипотенузы (Таблица №1). Мы взяли такие значения катетов, потому что 1) данный интервал позволяет проследить некоторую закономерность и 2) при этих значениях отрезок гипотенузы получается в пределах 14 см, что легко изобразить в обычной школьной тетради.

Таблица№1. Таблица зависимости значения гипотенузы от длины катетов

Катеты	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	√2	√5	√10	√17	√26	√37	√50	√65	√82	√101
2	√5	√8	√13	√20	√29	√40	√53	√68	√85	√104
3	√10	√13	√18	√25	√34	√45	√58	√73	√90	√109
4	√17	√20	√25	√32	√41	√52	√65	√80	√97	√116
5	√26	√29	√34	√41	√50	√61	√74	√89	√106	√125
6	√37	√40	√45	√52	√61	√72	√85	√100	√117	√136
7	√50	√53	√58	√65	√74	√85	√98	√113	√130	√149
8	√65	√68	√73	√80	√89	√100	√113	√128	√145	√164
9	√82	√85	√90	√97	√106	√117	√130	√145	√162	√181
10	√101	√104	√109	√116	√125	√136	√149	√164	√181	√200

Значения гипотенузы мы вычисляли по теореме Пифагора, а именно:

с=√А²-b², где А-гипотенуза; b, c-катеты

Чтобы вывести общую формулу по данной таблице, мы попытались изобразить полученные значения на графике. Так как у нас три измерения (два катета и гипотенуза), две из которых - независимые величины, а одна (гипотенуза) – зависимая, то графики следует изобразить в пространстве. На оси абсцисс и ординат отложим значения катетов, а оси аппликат – значения гипотенузы. В результате получим такой график:

По графику видно, что общий способ можно описать только для каждой строчки таблицы.

- Для первой строчки применима формула А=n2 +1, где А – квадрат гипотенузы, 1 – номер строки (один из катетов), а n – число, квадрат которого дополняет 1 до значения квадрата гипотенузы. Например: 37=6²+1.

- Для второй строчки применима формула А=n2 +2², где А также квадрат гипотенузы, 2 – номер строки (один из катетов), а n – число, квадрат которого дополняет 2² до значения квадрата гипотенузы.

- Аналогично для третьей и к-той строки формулы А=n2 +3², А=n2 +к².

Таблица симметрична относительно серой диагональной линии, поэтому достаточно рассматривать только одну её половину.

Итак, при построении отрезков, длина которых выражена иррациональным числом, необходимо подобрать два числа, которые являются квадратами некоторых натуральных чисел n и k, и в случае решения данной задачи числа n и k будут являться катетами прямоугольного треугольника. Общую формулу определить не удается, так как мы имеем дело с трёхмерной таблицей.

Однако не все числа можно представить в виде суммы квадратов натуральных чисел.

Второй способ построения отрезков иррациональной длины заключается в нахождении квадрата натурального числа, получаемого при вычислении разности квадрата гипотенузы и квадрата одного из катетов. Значение катета и гипотенузы выражены натуральными числами от 1 до 20, что позволит найти и описать необходимые закономерности и изобразить данные отрезки в тетради. Так как значение гипотенузы больше значения катета, то в таблице №2 синим цветом обозначены клеточки, в которых это условие не выполняется.

Таблица №2. Таблица зависимости значения одного из катетов от гипотенузы и длины другого катета

Г и п о т е н у з а

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

√3

√8

√15

√24

√35

√48

√63

√80

√99

√120

√143

√168

√195

√224

√255

√288

√323

√360

√399

2

К А Т Е Т

√5

√12

√21

√32

√45

√50

√77

√96

√117

√140

√165

√194

√221

√252

√285

√320

√357

√396

3

√7

√16

√27

√40

√55

√72

√91

√112

√135

√160

√189

√216

√247

√280

√315

√352

√391

4

√9

√20

√33

√48

√65

√84

√105

√128

√153

√182

√209

√240

√273

√308

√245

√384

5

√11

√24

√39

√56

√75

√96

√119

√144

√173

√200

√231

√264

√299

√336

√375

6

√13

√28

√45

√64

√85

√108

√133

√162

√189

√220

√253

√288

√325

√364

7

√15

√32

√51

√72

√95

√120

√149

√176

√207

√240

√275

√312

√351

8

√17

√36

√57

√80

√105

√132

√161

√192

√225

√260

√297

√336

9

√19

√40

√63

√88

√117

√144

√175

√208

√243

√280

√319

10

√21

√44

√69

√98

√125

√156

√289

√224

√261

√300

11

√23

√48

√77

√104

√135

√161

√203

√240

√279

12

√25

√54

√81

√112

√145

√180

√217

√256

13

√27

√56

√87

√120

√155

√192

√231

14

√29

√60

√93

√128

√165

√204

15

√31

√64

√99

√136

√175

16

√33

√68

√105

√144

17

√35

√72

√111

18

√37

√76

19

√39

Значения второго катета мы вычисляли по теореме Пифагора, а именно: