Ряды Фурье для периодических и непериодических функций (стр. 2 )

Пример 1. Найти ряд Фурье 2π − периодической функции , которая задается на отрезке равенством .

Решение. График функции изображен на рисунке 6:

Рис. 6.

Эта функция непрерывна в любой точке ℝ и кусочно-непрерывно дифференцируема, т. к. имеет в точках ℤ) разрыв первого рода, а в остальных точках − непрерывна. Следовательно, условия теоремы Дирихле выполнены при , и рассматриваемую функцию можно разложить в ряд Фурье (1.1), сходящийся в любой точке ℝ к .

Учитывая четность функции , ее коэффициенты вычисляем по формулам (2.2):

;

По формуле (2.1) находим:

ℝ.

Ответ: при ℝ.

Пример 2. Функцию , заданную на интервале , разложить в ряд Фурье по синусам.

Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию , график которой изображен на рисунке 7.

Рис. 7.

Эта функция 2π-периодическая, нечетная. По формулам (2.4) вычисляем:

,
где ℕ.

Следовательно, согласно теореме Дирихле получаем по формуле (2.3):

.

Ответ: .

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию , где .

Решение. Рассмотрим 2π − периодическую функцию , определенную на ℝ и совпадающую с на интервале (рисунок 8).

Рис. 8.

Функция является 2π – периодической, кусочно-непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой. Причем функции и терпят разрывы первого рода в точках вида ℤ. Следовательно, ряд Фурье, составленный для функции , совпадает при с функцией . Поэтому учитывая нечетность функции и формулы (2.4) при , получаем:

.

Значит, по формуле (2.3) находим искомое разложение:

.

Ответ:

Пример 4. Функцию , заданную на отрезке , разложить в ряд Фурье по косинусам.

Решение. Рассмотрим Т−периодическую (Т=4) четную функцию , график которой изображен на рисунке 9.

Рис. 9.

Для этой функции по формулам (2.2) находим коэффициенты ряда Фурье:

;

где ℕ.

Следовательно, согласно теореме Дирихле получаем по формуле (2.1):

.

Ответ: .

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию

а) на интервале по синусам;

б) на по косинусам;

в) на .

Решение. а) Чтобы разложить функцию на интервале только по синусам, рассмотрим ее нечетное 2π−периодическое продолжение на всю числовую ось (рисунок 10).

Рис. 10.

Найдем для этой функции коэффициенты Фурье:

где ℕ.

Следовательно, для всех справедливо равенство:

.

б) Чтобы разложить функцию на только по косинусам, рассмотрим ее четное 2π−периодическое продолжение на всю числовую ось (рисунок 11).

Рис. 11.

Найдем для этой функции коэффициенты Фурье:

,

, ℕ.

Следовательно, при для функции справедливо равенство:

.

в) Для того чтобы функцию разложить на интервале , рассмотрим ее 2π−периодическое продолжение на всю числовую ось, что графически представлено на рисунке 12.

Рис. 12.

Для этой функции вычислим коэффициенты Фурье:

,

, ℕ.

, ℕ.

Следовательно, на для функции справедливо представление:

.

Ответ: а) ;

б) ;

в) .

Пример 6. Пользуясь разложением функции в ряд Фурье на отрезке , найти сумму ряда:

а) , б) .

Решение. Функция , заданная на отрезке и продолженная четным образом, имеет ряд Фурье:

. (2.5)

Следовательно, при из выражения (2.5) находим:

.

При формула (2.5) принимает вид:
. Ответ: а) , б) .

Задачи для самостоятельного решения

Разложить в ряд Фурье функции:

1.  а) по косинусам, б) по синусам.

Ответ: а) .

б) .

2.  по косинусам.

Ответ: .

3.  на по синусам.

Ответ: .

4.  по косинусам.

Ответ: .

5.  на по синусам.

Ответ: .

6.  на по синусам.

Ответ: .
Линейные уравнения в частных производных II порядка,

свойства решений, приведение к каноническому виду

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость - производная от расстояния; аналогично, ускорение - производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

В этом разделе рассмотрим лишь частный случай дифференциальных уравнений, содержащих неизвестную функцию, зависящую от нескольких переменных, а именно линейное дифференциальное уравнение в частных производных (ЛДУрЧП) II порядка для функции 2-х переменных , которое имеет вид:

. (3.1).

Коэффициенты уравнения могут быть функциями только от x, y или постоянными, в последнем случае имеем ЛДУрЧП с постоянными коэффициентами, причем . Выражение называют главной частью уравнения (3.1), а линейную часть обычно обозначают . Рассмотрим лишь случай действительно-значных коэффициентов.

Если , то уравнение (3.1) является однородным, если − неоднородным. В случае линейное дифференциальное уравнение (3.1) приобретает вид:

(3.2).

Свойства решений

1. Если и − решения однородного ЛДУрЧП (3.2), то также являются решениями этого уравнения.

2. Если − решение однородного ЛДУрЧП (3.2), а С – постоянная, то также является решением этого уравнения.

3. Если является решением линейного неоднородного дифференциального уравнения в частных производных

,

а − решением соответствующего однородного уравнения

,

то являются решениями неоднородного ЛДУрЧП.

Метод характеристик приведения к каноническому виду.

В качестве одного из возможных методов решения ЛДУрЧП рассмотрим метод упрощения дифференциального уравнения, осуществляемый с помощью перехода к новым координатам, в которых это уравнение будет иметь наиболее простой (так называемый канонический) вид. Отметим, что упрощение уравнений (3.1) и (3.2) состоит в упрощении его главной части . Опишем алгоритм приведения к каноническому виду.

С помощью подходящего выбора новых независимых координат получим новое уравнение, равносильное исходному. Для того чтобы сделать замену переменных в исходном уравнении, необходимо учесть то, что в новых переменных искомая функция , и воспользоваться формулами:

;

;

; (3.3)

;

.

Естественно возникает вопрос, как выбрать и , чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму?

Теорема 1. Пусть есть частное решение дифференциального уравнения I порядка:

, (3.4)

тогда соотношение есть общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

. (3.5)

Теорема 2 (обратная к теореме 1). Пусть есть общий интеграл дифференциального уравнения , тогда функция удовлетворяет уравнению (3.4).

Уравнение (3.5) называется характеристическим уравнением для уравнения (3.2), а решения уравнения (3.5) – его общие интегралы − называются характеристиками. Чтобы уравнение (3.2) приобрело канонический вид:

, (3.6)

характеристики и выбираются на основании теорем 1 и 2. Т. е. полагая и , где равенства , определяют общие интегралы уравнения (3.5), некоторые коэффициенты уравнения (3.6) станут равны нулю (, либо , либо ).

Классификация уравнений

В зависимости от коэффициентов все ЛДУрЧП делятся на 3 типа:

1) уравнение (3.2) в точке называется уравнением гиперболического типа, если

;

2) уравнение (3.2) в точке называется уравнением параболического типа, если

;

3) уравнение (3.2) в точке называется уравнением эллиптического типа, если

.

Заметим, что после деления обеих частей (3.5) на характеристическое уравнение приводится к квадратному уравнению относительно :

. (3.7)

Тип уравнения (3.2) определяет знак дискриминанта , в зависимости от которого получим три возможные ситуации:

1) Пусть , т. е. уравнение – гиперболического типа. Поскольку в этом случае дискриминант характеристического уравнения , то его решения имеют вид , что приводит к двум дифференциальным уравнениям, которые позволяют определить две действительные и различные совокупности характеристик . Полагая , путем применения формул (3.3) уравнение (3.2) приводится в координатах к каноническому виду:

а) или

б) , где .

2) Если (параболический тип уравнения), то дискриминант уравнения (3.7) равен нулю. Тогда характеристическое уравнение имеет только одно семейство характеристик , получаемое после решения дифференциального уравнения . В данном случае полагаем , а в качестве выбираем любую функцию (например, или ), лишь бы она была линейно независимой с функцией , тогда уравнение (3.2) приводится к каноническому виду: .

3) Если (эллиптический тип уравнения), то дискриминант уравнения (3.7) будет отрицательным. В этом случае решения уравнения (3.7) будут комплексными: . Решая указанные дифференциальные уравнения, получим два семейства комплексно-сопряженных характеристик: , где . Полагая и , уравнение (3.2) приводим к каноническому виду .

Замечание. Если в уравнении (3.2) , а коэффициенты A, B, C – постоянные числа, то ЛДУрЧП II порядка примет вид . Тогда в зависимости от типа уравнения можно получить общее решение следующим способом:

а) Если , то исходное уравнение является уравнением гиперболического типа и согласно методу характеристик приводится к уравнению, записанному в каноническом виде

.

Для решения полученного уравнения введем обозначение , тогда уравнение перепишется в виде . Откуда путем интегрирования по переменной ξ при фиксированном значении переменной η получим (где − произвольная функция переменной η), т. е. . После повторного интегрирования по переменной η приходим к (где − произвольная функция переменной ξ). Обозначим , в итоге получим . Возвращаясь к переменным x, y, заключаем, что , где − уравнения характеристик.

б) Если (параболический тип уравнения), то по методу характеристик , где - общий интеграл характеристического уравнения, а − любая функция, линейно независимая с (например, или ). Канонический вид в этом случае:

.

Для решения этого уравнения обозначим . Тогда , откуда , т. е. ( − произвольная функция переменной ξ). Интегрируя последнее равенство по переменной η при фиксированном значении ξ, получим ( − произвольная функция переменной ξ). Если в качестве переменной выбрана функция ,то возвращаясь к переменным x и y общее решение примет вид , где − произвольные функции своих аргументов.

в) Если (эллиптический тип уравнения), то канонический вид в данном случае: . Решение уравнений такого вида здесь приводить не будем.

Пример 1 (задача Коши). Решить уравнение с начальными условиями .

Решение: Требуется определить функцию , удовлетворяющую данному уравнению и данным начальным условиям. Здесь . В этом случае , следовательно, исходное уравнение − гиперболического типа. Характеристическое уравнение имеет вид: . Поскольку , то характеристическое уравнение приводится к квадратному уравнению относительно : . Т. к. , то .

В итоге получаем совокупность, приводящую к общим интегралам характеристического уравнения:

.

Перейдем к новым координатам , где .

Используя формулы (3.3), получим ; ; ; ; . Подставляя полученные выражения в исходное уравнение, получим каноническое уравнение . Откуда , а значит − общее решение.

Найдем частное решение. Для этого в общее решение подставим начальные условия. 1) ; т. е. ;
2) ; ; . Подставляя найденные функции в общее решение, приходим к решению данной задачи Коши