Ряды Фурье для периодических и непериодических функций (стр. 3 )

.

Проверка правильности решения проводится подстановкой.

Ответ: .

Пример 2. (задача Коши) Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Искомая функция - ; характеристическое уравнение имеет вид , решением которого является одна характеристика , в качестве второй новой переменной выбираем функцию . В итоге . Применяя формулы (3.3), получим ; ; ; ; .

Подстановка указанных функций в исходное уравнение приводит к каноническому виду . Решая последнее уравнение, получим , а, следовательно, общее решение: .

Найдем частное решение:

; т. е. .

Решая данную систему, получим .

Следовательно, решением исходной задачи Коши является функция

.

Ответ: .

Пример 3. Найти канонический вид уравнения: .

Решение. Исходное уравнение является ЛДУрЧП (3.2), где . Тогда . Следовательно, данное уравнение является уравнением гиперболического типа.

Составляем уравнение характеристик: , решая которое получим . Интегрируя полученные уравнения, приходим к двум семействам вещественных характеристик: . Вводим новые независимые переменные по формулам: . Используя формулы (3.3) замены переменных в дифференциальном уравнении, имеем:

,

.

Подставив найденные значения вторых производных в рассматриваемое дифференциальное уравнение, получим: , т. е. канонический вид .

Ответ: .

Пример 4. Найти канонический вид уравнения:

.

Решение: Данное уравнение является ЛДУрЧП, где

.

Поскольку , исходное уравнение является уравнением гиперболического типа.

Составим характеристическое уравнение:

,

решая которое, получим и . Интегрируя полученные уравнения, находим два семейства действительных характеристик: .

Введем новые переменные по формулам: . Используя формулы вычисления производных сложной функции и по переменным х, у в новых переменных (3.3), получаем:

;

;

;

;

.

Подставив полученные выражения производных функции и по переменным х, у в исходное уравнение и сгруппировав подобные слагаемые, получаем равенство:

После преобразований приходим к уравнению: , т. е. . Учитывая, что в силу выполненной выше замены переменных, получаем канонический вид .

Ответ: .

Пример 5. Найти канонический вид уравнения:

.

Решение: Данное уравнение имеет вид ЛДУрЧП, для которого . Поскольку: ,то уравнение является уравнением параболического типа. Составляем характеристическое уравнение: , решая которое получаем . Следовательно, .

Выполним в данном уравнении замену переменных по формулам: (, т. е. эти функции действительно линейно независимы)

Используя формулы (3.3) вычисления частных производных сложной функции, получаем:

; ; ; .

Подставив полученные значения производных в исходное уравнение, приводим его к каноническому виду: , т. е. .

Ответ: .

Пример 6. Найти канонический вид уравнения:

.

Решение: Для данного ЛДУрЧП . Т. к. во всех точках, не лежащих на прямых и . Следовательно, в любой области, не содержащей точки, лежащие на прямых и , исходное уравнение является уравнением эллиптического типа. Составляем уравнение характеристик: , т. е. .

Интегрируя полученные уравнения как уравнения с разделяющимися переменными, получим два семейства комплексно-сопряженных характеристик: и .

Выполним в исходном уравнении замену переменных: . Используя правила (3.3) вычисления частных производных сложной функции и производя соответствующие вычисления, из исходного уравнения получим:

, т. е. .

Сокращая обе части уравнения на , находим канонический вид уравнения .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

Найти канонический вид уравнений:

1.  .

Ответ: .

2.  .

Ответ: .

3.  .

Ответ: .

4.  .

Ответ: .

5.  .

Ответ: .

6. 

Ответ: или .

7.  .

Ответ: .

8.  .

Ответ: .

9.  .

Ответ: .

10.  .

Ответ: .

11.  .

Ответ: .

Задача Штурма−Лиувилля, свойства ее решений

Задача Штурма−Лиувилля, или задача о собственных значениях, возникает при решении уравнений в частных производных методом Фурье (этот метод будет рассмотрен ниже).

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение II порядка в виде , где , λ – параметр; – непрерывно дифференцируемая на функция, а – непрерывная на функция.

Будем рассматривать краевые условия следующих типов:

а)	(I типа);
б)	(II типа);
в)	(III, смешанного типа).
г)

Поставим задачу поиска таких значений параметра λ, при которых существуют ненулевые решения дифференциального уравнения , удовлетворяющие краевым условиям одного из 4-х типов. Значения λ, при которых существуют ненулевые решения, называются собственными значениями, а соответствующие им решения – собственными функциями. Задача нахождения собственных значений и собственных функций называется задачей Штурма−Лиувилля. В зависимости от типа краевых условий задачи Штурма-Лиувилля делятся на три вида:

А) I краевая задача – задача нахождения собственных функций, удовлетворяющих краевым условиям первого типа;

Б) II краевая задача – задача нахождения собственных функций, удовлетворяющих краевым условиям второго типа;

В) III краевая задача – задача нахождения собственных функций, удовлетворяющих краевым условиям третьего (смешанного) типа.

Отметим основные свойства собственных значений и собственных функций.

Основные свойства

1. Существует счетное множество значений параметра () которым соответствуют собственные функции.

2. Собственные функции на , соответствующие различным значениям , ортогональны, т. е. при .

3. Всякая функция , удовлетворяющая краевым условиям одного из 4-х типов и имеющая непрерывные вторые производные, раскладывается в абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям , т. е. , где .

Решение задачи Штурма−Лиувилля

Рассмотрим частный случай задачи Штурма−Лиувилля при , т. е. будем решать дифференциальное уравнение вида

, (4.1)

где , а . Будем решать эту задачу для наиболее типичных краевых условий.

Требуется найти функцию нетождественно равную 0, удовлетворяющую уравнению (4.1) и граничным условиям а), б), в), г). Будем искать решение в виде . Подставляя эту функцию вместе с производными в уравнение (4.1), получаем характеристическое уравнение . Тогда общее решение примет вид: , где − произвольные постоянные, .

Рассмотрим, например, II краевую задачу (б): . Из общего решения следует ; тогда

,

.

Полученные равенства представляют собой систему линейных уравнений относительно :

.

Подставим , полученное из первого уравнения, во второе уравнение: . Чтобы последнее уравнение имело ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы . По формуле Эйлера имеем: ℤ. А следовательно , откуда . То есть , или . Полученные числа называются собственными значениями: (можем считать, что ).

Найдем собственные функции . Т. к. , то . По формуле Эйлера , поэтому . Поскольку собственные функции определяются с точностью до постоянной, то можно считать , а значит, собственные функции имеют вид: , .

По свойствам собственных функций для любой дважды дифференцируемой непрерывной функции имеем , где коэффициенты представляют собой коэффициенты разложения в ряд Фурье по косинусам.

В случае I краевой задачи (а) : собственные значения примут вид , ; а собственные функции . Аналогично разобранному случаю, для любой дважды дифференцируемой непрерывной функции имеем , где − коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам.

Для случая в) III краевой задачи имеем и . Т. е. получаем систему линейных уравнений относительно :

.

Поскольку из первого уравнения , то , а т. к. , то . Откуда , т. е. , или . В итоге , а именно , где .

Т. к. , то . Аналогично предыдущим случаям, получаем собственные функции .

Для случая г) III краевой задачи имеем и , что дает систему уравнений:

, откуда , т. е. .

Следовательно , или . Получаем, что ℤ. В итоге собственные значения примут вид , где , а собственные функции .

Задачи для самостоятельного решения:

Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля:

1.  , , .

Ответ: , .

2.  , , .

Ответ: , .

3.  , , .

Ответ: , .

4.  , , .

Ответ: , .

5.  , , .

Ответ: , .

6.  , , .

Ответ: , .

7.  , , .

Ответ: , .

8.  , , .

Ответ: , .

Метод Фурье решения смешанной задачи.

Исследуем решение простейших уравнений гиперболического и параболического типов.

А) Рассмотрим задачу решения волнового уравнения

( (5.1)

с граничными условиями

(5.2)

при начальных условиях

(), (5.3)

где - непрерывные функции, заданные на промежутке . Задача нахождения решения уравнения (5.1), удовлетворяющее указанным начальным и граничным условиям, называется смешанной задачей для волнового уравнения (5.1).

Будем искать решение уравнения (5.1) с помощью метода разделения переменных, т. е. строим решение в виде

, (5.4)

где функция зависит от одной переменной x, а функция - зависит только от переменной t.

Подставляя в уравнение (5.1) решение, записанное в виде (5.4), получим равенство:

.

Разделяем в полученном равенстве переменные (с учетом того, что ищем не тождественно равное нулю решение):

. (5.5)

Поскольку при подстановке решения в исходное уравнение полученное равенство должно выполняться при всех значениях переменных x, t, то равенство (5.5) возможно тогда и только тогда, когда обе части его равны одной и той же постоянной, которую обозначим (‒λ). После приравнивания обеих частей равенства (5.5) указанной константе, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Запишем граничные условия (5.2) в терминах новых искомых функций и :

.

Поскольку при всех t, то граничные условия для функции примут вид:

.

В итоге получаем задачу Штурма-Лиувилля:

(5.8)

Решением задачи (5.8) являются собственные числа (ℕ), каждому из которых соответствует собственная функция

(5.9)

Подставляя найденные числа в уравнение (5.7), получим линейной однородное дифференциальное уравнение для нахождения функций : , решая которое методом Эйлера, находим

. (5.10)

В итоге частные решения уравнения (5.1) принимают вид .

Идея метода Фурье состоит в том, что общее решение задачи (5.1) ищется в виде суммы частных решений :

. (5.11)