Ряды Фурье для периодических и непериодических функций (стр. 1 )

Ряды Фурье для периодических и непериодических функций

Пусть функция определена на ℝ.

Определение. Функция называется периодической на ℝ, если существует такое , что ℝ . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Основные свойства.

1.  Если Т – период , то числа − также являются периодами.

2.  Сумма, разность, произведение, частное функций периода Т суть также периодические функции.

3.  Если функция является периодической с периодом Т, и она интегрируема на некотором отрезке длиной Т, то интегрируема на любом отрезке длиной Т и

ℝ.

4.  Если функция является нечетной на отрезке с периодом , то .

5.  Если функция является четной на отрезке с периодом , то .

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Пусть на задана произвольная функция , причем значения на концах отрезка и могут не совпадать. Если продолжить ее периодически с периодом , то получим функцию:

, ℤ.

где С совпадает со значением на концах промежутка , если ; в противном случае оно выбирается произвольно. Отметим, что если даже непрерывна на , то ее продолжение может быть разрывной функцией, если .

Понятия тригонометрической системы, тригонометрического ряда

Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Частичная сумма этого ряда − линейная комбинация первых функций основной тригонометрической системы и называется тригонометрическим многочленом степени n, если хотя бы одно из . Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общим тригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т. е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .

Ортогональность тригонометрической системы

Определение. Система функций , называется ортогональной на отрезке , если , а если при этом , то такая система называется ортонормированной.

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке , причем

1) , , ;
2) ;
3) , ;
4) , ;
5) ,

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

~.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т. е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам
(1) ;
(2) ;
(3) .

Определение. Тригонометрический ряд называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (1), (2), (3), называются коэффициентами Фурье.

Следствие теоремы. Если , то коэффициенты Фурье функции на отрезке определяются по формулам
(1*) ;
(2*) ;
(3*) .

Достаточные условия сходимости ряда Фурье к исходной функции. Условия Дирихле.

Основная задача теории тригонометрических рядов. Пусть дана некоторая периодическая функция с периодом .

1)  При каких условиях функцию можно разложить в тригонометрический ряд и при каких условиях сумма полученного ряда будет совпадать с ?

2)  В случае возможности разложения в тригонометрический ряд, как найти коэффициенты этого разложения ?

Имеет место следующая основная теорема теории тригонометрических рядов (рядов Фурье).

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т. е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

, (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1) во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2) в точках разрыва I рода функции ;
(3) на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

О разложимости непериодической функции в ряд Фурье

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , ℤ (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т. е. ), причем .

Полученную функцию раскладываем в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Заметим, что поскольку − периодическая функция, то она определяется своими значениями на любом отрезке длиной в период Т, в том числе и на отрезке , где . А значит .

Аналогично , .

Т. к. коэффициенты Фурье вычисляются по , то мы можем получаемый тригонометрический ряд назвать рядом Фурье для . При этом равенство суммы ряда Фурье и функции выполняется на отрезке .

Замечание. В качестве периода функции можно выбрать любое число, большее , в этом случае функцию необходимо доопределить произвольным образом так, чтобы она была задана на промежутке, имеющем длину, равную выбранному периоду.

Рассмотрим несколько примеров разложения.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. График функции изображен на рисунке 1:

Рис. 1

Как видим, данная функция кусочно-монотонная, причем точка - точка разрыва первого рода. Поэтому, согласно теореме о разложении, функция может быть представлена рядом Фурье. В качестве периода выбираем число . Рассмотрим вспомогательную 2π-периодическую функцию , удовлетворяющую условию , график которой изображен на рисунке 2:

Рис. 2

По формулам 1*-3* находим коэффициенты Фурье для функции :

;

Получаем тригонометрический ряд

,

который будет являться рядом Фурье для функции при .

Поскольку функция претерпевает разрыв в точке , то построенный ряд в этой точке имеет своей суммой число

.

В точках сумма данного ряда:

.

Ответ:

при .

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. График функции изображен на рисунке 3:

Рис. 3

Как видим, данная функция кусочно-монотонная, причем точка − точка разрыва первого рода. Поэтому, согласно теореме о разложении, функция может быть представлена рядом Фурье. В качестве периода выбираем число . Рассмотрим вспомогательную 4-периодическую функцию , удовлетворяющую условию , график которой изображен на рисунке 4:

Рис. 4

По формулам 1*-3* находим коэффициенты Фурье для функции :

;

Следовательно, получаем тригонометрический ряд

. (*)

Указанный ряд сходится и имеет сумму , для которой верны следующие условия:

при ;

при ;

при .

То есть рядом Фурье функции при является ряд (*).

Ответ:

при .

Задачи для самостоятельного решения:

Разложить в ряд Фурье функции:

1. 

Ответ: .

2. 

Ответ: .

3.  на .

Ответ: .

4.  на .

Ответ: .

5.  на .

Ответ: .

6.  на .

Ответ: .

7. 

Ответ: .

8. 

Ответ: .

9. 

Ответ: .

10. 

Ответ: .

11.  на .

Ответ: .

12.  на .

Ответ: .

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть − некоторая функция, определенная на , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, тогда на указанном промежутке справедливо равенство

,

где − коэффициенты Фурье функции .

Рассмотрим частный случай разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Определение. Функция , заданная на , называется: а) четной, если ; б) нечетной, если , где - область определения функции .

Лемма 1. а) Пусть функция , определенная на , − четна, тогда .

б) Пусть функция , определенная на , − нечетна, тогда .

Теорема. а) Пусть − четная периодическая функция (), определенная на , тогда , т. е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с косинусами;

б) Пусть − нечетная периодическая функция (), определенная на , тогда , т. е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с синусами.

Пусть функция задана на . Дополним эту функцию произвольным образом на так, чтобы полученная функция удовлетворяла тем же условиям, что и . Дополненную функцию можно разложить в ряд Фурье с периодом . Рассмотрим два частных случая.

а) Пусть дополнена на «четным» образом, т. е. для всех :

Рис. 5.

Тогда на получим четную функцию (рис. 5а), причем , . Эту функцию можно разложить в ряд Фурье по косинусам.

б) Если же дополнена на «нечетным» образом, т. е. для всех , причем , , тогда получаем на нечетную функцию, которую можно разложить в ряд по синусам (рис. 5б).

Итак, всякую непериодическую функцию, заданную на и удовлетворяющую определенным условиям, можно разложить в ряд Фурье тремя способами: (1) в общий ряд Фурье, (2) только по косинусам, (3) только по синусам. Первый случай был разобран в предыдущей теме.

В случае четного продолжения (сл.(2)) разложение в ряд Фурье примет вид:

~, (2.1)

где (2.2).

В случае нечетного продолжения (сл.(3)) разложение в ряд Фурье примет вид:

~, (2.3)

где (2.4).