«Математический анализ»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Рекомендуется для направления подготовки

230700 Прикладная информатика

Квалификация выпускника - бакалавр

Санкт-Петербург

2011 год

1. Цели и задачи дисциплины: накопление необходимого запаса сведений по математике (основные определения, теоремы, правила), а также освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать экономические задачи, помощь в усвоении математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из области будущей деятельности студентов; развитие логического и алгоритмического мышления, способствование формированию умений и навыков самостоятельного анализа исследования экономических проблем, развитию стремления к научному поиску путей совершенствования своей работы.

2. Место дисциплины в структуре ООП: дисциплина «Математический анализ» относится к циклу Б.2.2. Математический цикл, Вариативная часть. Входные знания, умения и компетенции студентов должны соответствовать дисциплине «Математика». Дисциплина «Математический анализ» является предшествующей для следующих дисциплин: «Экономическая теория», «Менеджмент», «Информатика и программирование», «Теория систем и системный анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Дискретная математика», «Физика», «Концепции современного естествознания», «Математические методы в экономике», «Методы решения оптимизационных задач в бизнесе», «Системы поддержки принятия решений», «Имитационное моделирование экономических процессов», «Управление проектами», «Теория экономических информационных систем», «Информационные технологии валютного трейдинга», «Нейроинформатика».

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

способен логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь, владеть навыками ведения дискуссии и полемики (ОК-2);способен самостоятельно приобретать и использовать в практической деятельности новые знания и умения, стремится к саморазвитию (ОК-5); способен понимать сущность и проблемы развития современного информационного общества (ОК-7);

аналитическая деятельность: способен проводить оценку экономических затрат на проекты по информатизации и автоматизации решения прикладных задач (ПК-15); способен применять методы анализа прикладной области на концептуальном, логическом, математическом и алгоритмическом уровнях (ПК-17);

научно-исследовательская деятельность: способен применять системный подход и математические методы в формализации решения прикладных задач (ПК-21).

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать: методы дифференциального и интегрального исчисления; ряды и их сходимость, разложение элементарных функций в ряд; методы решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка;

Уметь: исследовать ряды на сходимость; решать дифференциальные уравнения.

Владеть: аппаратом дифференциального и интегрального исчисления, навыками решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единиц.

Вид учебной работы	Всего часов (третий семестр)
Аудиторные занятия (всего)	72
В том числе:	-
Лекции	40
Практические занятия (ПЗ)	32
Самостоятельная работа (всего)	108
В том числе:	-
Контрольная работа № 1	18
Контрольная работа № 2	18
Контрольная работа № 3	18
Контрольная работа № 4	18
Экзамен	36
Общая трудоемкость час зач. ед.	180
4+1

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

1. Кратные интегралы

Повторные интегралы. Изменение порядка интегрирования в повторных интегралах.

Двойной и тройной интегралы. Определения и свойства. Сведение кратного интеграла к повторному. Понятие -кратного интеграла. Замена переменных в кратных интегралах. Вычисление двойных интегралов прямоугольных и полярных координатах.

2. Ряды

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Степенные ряды. Понятие о функциональных рядах. Область сходимости. Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов.

Понятие о рядах Фурье. Ортогональные системы тригонометрических функций. Ряды Фурье для периодических функций.

3. Комплексные числа.

Определение комплексных чисел. Действия с комплексными числами. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Муавра. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел. Основная теорема алгебры. Разложение на множители многочлена с вещественными коэффициентами.

4. Элементы теории дифференциальных уравнений

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Определение дифференциального уравнения. Порядок уравнения. Решения дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения. Общее решение. Фундаментальная система решений. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Нормальная система дифференциальных уравнений. Векторная запись нормальной системы. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Понятие о качественной теории дифференциальных уравнений, фазовое пространство (плоскость), фазовая траектория и скорость.

Обыкновенные разностные уравнения. Разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Методы решений разностных уравнений.

Элементы теории численных методов. Решение нелинейных уравнений методом простых итераций и методом Ньютона. Сходимость, оценка погрешности. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, численное дифференцирование и интегрирование. Оценка погрешности. Градиентные методы решения гладких экстремальных задач. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Оценка погрешности.

5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами

№ п/п	Наименование обеспе-чиваемых (последую-щих) дисциплин	№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1	2	3	4
1	Экономическая теория				*
2	Менеджмент				*
3	Информатика и программирование		*		*
4	Теория систем и системный анализ		*		*
5	Теория вероятностей и математическая статистика	*	*	*	*
6	Дискретная математика		*	*	*
7	Физика	*	*	*	*
8	Концепции современного естествознания	*	*	*	*
9	Математические методы в экономике	*	*		*
10	Методы решения оптимизационных задач в бизнесе	*	*
11	Системы поддержки принятия решений				*
12	Имитационное моделирование экономических процессов	*	*		*
13	Управление проектами
14	Теория экономических информационных систем
15	Информационные технологии валютного трейдинга
16	Нейроинформатика		*		*

5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Лекц.	Практ. зан.	СРС	Всего час.
1	Кратные интегралы	6	6	12	24
2	Ряды	8	6	20	34
3	Комплексные числа	6	6	10	22
4	Элементы теории дифференциальных уравнений	20	14	30	64

6. Лабораторный практикум не предусмотрен.

7. Практические занятия (семинары)

№ п/п	№ раздела дисциплины	Тематика практических занятий (семинаров)	Трудо-емкость (час.)
1	1	Кратные интегралы.	2
2	1	Кратные интегралы.	2
3	1	Контрольная работа № 1.	2
4	2	Знакоположительные и знакочередующиеся ряды	2
5	2	Степенные ряды. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена. Ряды Фурье.	2
6	2	Контрольная работа № 2.	2
7	3	Комплексные числа в алгебраической и тригонометрической формах.	2
8	3	Показательная форма комплексного числа. Решение алгебраических уравнений.	2
9	3	Контрольная работа № 3.	2
10	4	Дифференциальные уравнения (ДУ) с разделяющимися переменными Линейные и однородные ДУ первого порядка. Задача Коши.	2
11	4	ДУ Бернулли. ДУ, допускающие понижение порядка	2
12	4	Линейные однородное ДУ с постоянными коэффициентами.	2
13	4	Линейные ДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.	2
14	4	Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами.	2
15	4	Метод вариации произвольных постоянных	2
16	4	Контрольная работа № 4.	2

8. Примерная тематика курсовых работ – курсовые работы не предусмотрены.

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

а) основная литература

1.  , Никольский и интегральное исчисление. – М.: Наука,1980.

2.  Бугров математика: Задачник. – М.: Наука, 1982.

3.  Бугров уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФКП. – М.: Наука, 1981.

4.  Высшая математика для экономистов. Под ред. , – М.: ЮНИТИ, 1998.

б) дополнительная литература

1.  Математика в экономике: учебно-методическое пособие. Под ред. Н. Ш Кремера. – М.: Финстатинформ, 1999.

2.  , , Бранков в экономика. – М.: Финансы и статистика, 1998.

3.  , Демидович курс высшей математики: Учебник. – М.: Гос. Изд. физ-мат. литература,1983.

4.  Кузнецов задач по высшей математике (типовые расчеты). – М.: Высшая школа, 1983

в) программное обеспечение не предусмотрено

г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

1.  http://www. *****/

2.  http://www. *****/

3.  http://www. *****/

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Документ-сканер, принтеры, компьютеры и пакеты программ обработки результатов тестирования.

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Дисциплина «Математический анализ» состоит из четырех разделов и изучается в течение одного семестра. Дисциплина заканчивается экзаменом. Для проверки самостоятельной работы в семестре запланированы четыре контрольных работы. Максимальное число баллов за каждую контрольную работу равно 25. Минимальное количество баллов, при котором контрольная работа считается сданной, равняется 14 для первых трех контрольных работ и 13 – для последней. За работу в семестре необходимо набрать не менее 55 баллов. Максимальное число баллов, которое можно получить на экзамене, также равно 100. Итоговая оценка (в баллах) вычисляется по формуле , где – баллы, полученные за работу в семестре, а – за экзамен. Набранное итоговое количество баллов переводится в оценку согласно следующей таблице:

итоговое количество баллов	оценка
до 55	неудовлетворительно
от 55 до 70	удовлетворительно
от 70 до 85	хорошо
от 85	отлично

Примерные задачи контрольной работы № 1.

Задача №1. Изменить порядок интегрирования .

Задача №2. Вычислить .

Задача №3. Вычислить в полярных координатах .

Примерные задачи контрольной работы № 2.

Задача №1. Исследовать степенной ряд .

Задача №2.Разложить в ряд Маклорена функцию , указать радиус сходимости.

Задача №3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию, заданную формулой .

Примерные задачи контрольной работы № 3.

1. . Найти 1) алгебраическую форму ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Изобразить и на комплексной плоскости.

2. . Найти 1) тригонометрическую форму ; 2) показательную форму ; 3) ; 4) .

3. Найти и изобразить на комплексной плоскости все значения .

4. Решить уравнения 1) ; 2) .

Примерные задачи контрольной работы № 4.

1. Решить задачу Коши

2. Найти общее решение однородного уравнения.

.

3. В какой форме следует искать частное решение неоднородного уравнения?

4. Решить задачу Коши: .

Разработчики:

СПбГУЭФ доцент

СПбГУЭФ профессор

Эксперты:

ЭМИ РАН директор

СПбГМТУ профессор