Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

  • 30% recurring commission
  • Выплаты в USDT
  • Вывод каждую неделю
  • Комиссия до 5 лет за каждого referral

Российская Экономическая Школа

Курс: Теория Вероятностей и Математическая Статистика

Домашнее задание 5

Решение

Задача 1. Двумерный случайный вектор (X, Y)’ распределен равномерно в круге . Найти а) плотность совместного распределения X и Y; б) плотности частных (маржинальных) распределений ; в) условную плотность ; г) функцию регрессии Y на X.

Решение

а) Равномерность распределения означает, что

б) Обозначим для краткости Тогда

, если

если

Аналогично,

в) По определению

Тогда

при

при

г) Функция регрессии:

Задача 2. 1) Случайные величины независимы и одинаково распределены. Найти условное математическое ожидание .

2) Случайная величина имеет плотность распределения . Найти .

Решение

1) Строгое решение. Будем считать, что величины имеют плотность распределения. Пусть . Тогда можно ввести отображение по следующему правилу: . Обратное отображение .

Якобиан отображения, очевидно, равен единице, а значит,

;;

;

делаем замену переменной в верхнем интеграле. Откуда получаем . Итог:.

Нестрогое, но допустимое решение. Из соображений симметрии . Но , откуда .

2) Чтобы найти условную вероятность при условии , следует найти условную вероятность при условии при малых и перейти к пределу.

Если , то при всех. Отсюда .

Если , то

.

Если , то

.

Таким образом, .

А значит, .

Задача 3. Случайные величины независимы, . Найти распределение случайного вектора .

Решение.

Вариант 1. Обозначим . Тогда , где

. Поэтому так как , где

, то , где

Вариант 2. Обозначим , где . Тогда при имеем , откуда сразу следует выражение для матрицы ковариаций.

Задача 4. Случайная величина Y называется логарифмически нормальной с параметрами , если .

а) Найти плотность распределения сл. вел. Y.

б) Найти .

Решение

а) Очевидно, что при . Пусть . По определению

. Отсюда

.

б) Имеем

в силу свойств плотности нормального распределения.

Заметим, что из полученного результата следует неравенство . Это частный случай так называемого неравенства Йенсна: если - выпуклая функция, Х - случайная величина, то .