Программа дисциплины Высшая математика

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет довузовской подготовки

Программа дисциплины

Высшая математика

для направления 010400.68 "Экономика"

подготовки бакалавра для поступления в магистратуру

Автор программы:

Одобрена на заседании кафедры высшей математики на факультете экономики 28.08.2012 г.

Зав. кафедрой

Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г.

Председатель [Ф.]

Утверждена Ученым Советом факультета экономики «___»_____________ 20 г.

Ученый секретарь [Ф.]

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1.  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям слушателя факультета довузовской подготовки и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей и учебных ассистентов, ведущих дисциплину «Высшая математика», и слушателей факультета довузовской подготовки по направлению 010400.68 "Экономика", изучающих данную дисциплину.

Программа разработана в соответствии с:

·  Образовательными стандартами для бакалавриата и магистратуры факультета «Экономика» государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;

·  Рабочим учебным планом университета для направления 010400.68 "Экономика" на подготовительном отделении магистратуры, утвержденным в 2012 г.

2.  Цели освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины «Высшая математика» - подготовка слушателей факультета довузовской подготовки к поступлению в магистратуру факультета «Экономика», а также поддержка дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом для направления 010400.68 "Экономика" на подготовительном отделении магистратуры.

3.  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины слушатель подготовительного отделения должен:

·  Знать основы высшей математики, необходимые для прохождения экзамена на факультете Экономика, а также для изучения ряда дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом университета для направления 010400.68 «Экономика" на подготовительном отделении магистратуры.

·  Уметь применять методы, рассматриваемые в дисциплине, для решения экзаменационных задач при поступлении в магистратуру факультета Экономика - и задач, возникающих в дисциплинах, предусмотренных Рабочими учебными планами, отмеченными выше;

·  Владеть навыками применения современного инструментария дисциплины.

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция	Код по ФГОС / НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
Общенаучная	ОНК-1	Способность к анализу и синтезу на основе системного подхода	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-2	Способность перейти от проблемной ситуации к проблемам, задачам и лежащим в их основе противоречиям	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-4	Готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при работе в какой-либо предметной области	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-5	Готовность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их для решения соответствующий аппарат дисциплины	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-6	Способность приобретать новые знания с использованием научной методологии и современных образовательных и информационных технологий	Стандартные (лекционно-семинарские)
Общенаучная	ОНК-7	Способность порождать новые идеи (креативность)	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-1	Способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-2	Способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат	Стандартные (лекционно-семинарские)
Профессиональные	ПК-4	Способность критически оценивать собственную квалификацию и её востребованность, переосмысливать накопленный практический опыт, изменять при необходимости вид и характер своей профессиональной деятельности	Стандартные (лекционно-семинарские)

4.  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Данная дисциплина, является необязательной дисциплиной для слушателей подготовительного отделения магистратуры факультета довузовской подготовки НИУ ВШЭ для направления 010400.68 "Экономика".

Изучение данной дисциплины базируется на минимальных знаниях по следующим дисциплинам, изученным слушателями подготовительного отделения, когда они были бакалаврами своих учебных заведений:

--Математический анализ;

--Линейная алгебра.

--Дифференциальные уравнения

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

·  Знаниями основных определений и теорем перечисленных выше дисциплин;

·  Навыками решения простейших типовых задач этих дисциплин.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом университета для направления 010400.68 "Экономика" на подготовительном отделении магистратуры:

·  Микроэкономика;

·  Теория вероятностей;

·  Системный анализ.

и следующих дисциплин, предусмотренных Рабочим учебным планом НИУ ВШЭ подготовки магистра для направления 010400.68 "Экономика" (магистерская программа «Математическое моделирование»):

-- Эконометрика

-- Экономика фирмы

5.  Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоятельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1.	Системы линейных уравнений. Матрицы и действия над ними	12	4	4		4
2.	Линейные пространства	6	2	2		2
3.	Линейные операторы в линейных пространствах	6	2	2		2
4.	Теория пределов	8	2	2		4
5.	Непрерывные и дифференцируемые функции одного и нескольких переменных	28	8	8		12
6.	Обыкновенные дифференциальные уравнения	16	4	4		8
7.	Системы дифференциальных уравнений	8	2	2		4
	Итого:	84	24	24		36

6.  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год	Параметры
1 семестр
Промежуточный	Зачет	1 семестр	Зачетная работа в письменной форме на 150 мин. Итоговая оценка за зачет складывается из зачетной работы и домашнего задания; при этом результат зачетной работы является блокирующим
Итоговый	Экзамен	2 семестр	Экзаменационная работа в письменной форме на 150 мин. Итоговая оценка за экзамен складывается из экзаменационной работы, аудиторной контрольной работы и двух домашних заданий; при этом результат экзаменационной работы является блокирующим

Критерии оценки знаний, навыков

Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи, разобранные на лекциях и семинарских занятиях.

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7.  Содержание дисциплины

Раздел I. Системы линейных уравнений. Матрицы и действия над ними

Тема 1. Системы линейных уравнений

Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа. Разложение определителя по строке или столбцу. Вычисление определителей. Крамеровские системы. Формулы Крамера.

Литература:

основная: [1], гл. 1; §§ 1.2-1.3; гл. 2; §§ 2.1-2.7).

дополнительная: [7], гл. 3-4; §§ 3.0-4.5); [8], отделы I-II; §§ 1-3

Тема 2. Матрицы и действия над ними

Понятие матрицы. Операция транспонирования. Линейные операции: сложение матриц и умножение матрицы на число. Умножение матриц. Свойства операций над матрицами. Определитель произведения матриц. Присоединенная матрица. Обратная матрица; способы ее нахождения. Простейшие матричные уравнения.

Литература:

основная: [1], гл. 3; §§ 3.1-3.7;

дополнительная: [8], отдел III; § 12.

Раздел II. Линейные пространства

Тема 3. Основные понятия

Аксиоматическое определение и простейшие свойства линейного пространства. Арифметическое (координатное) пространство векторов-столбцов. Линейная комбинация векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов; их простейшие свойства. Максимальная линейно независимая подсистема. Эквивалентные конечные системы векторов. Основная теорема о линейной зависимости векторов и ее следствие об эквивалентных линейно независимых системах векторов. Базис и ранг системы векторов.

Литература:

основная: [1], гл. 4; §§ 4.1-4.3;

дополнительная: [6], гл. I; § 1.

Тема 4. Базис и размерность пространства

Базис и размерность пространства. Разложение произвольного вектора по базису. Координаты вектора в базисе; координатный столбец вектора в базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе от базиса к базису. Изоморфизм линейных пространств.

Литература:

основная: [1], гл. 4; §§ 4.4-4.7;

дополнительная: [6], гл. I; § 1.

Тема 5. Линейные подпространства

Определение и простейшие свойства линейного подпространства. Линейная оболочка системы векторов. Теорема о дополнении базиса подпространства до базиса пространства. Связь между подпространствами и однородными системами линейных уравнений. Общие уравнения подпространства..

Литература:

основная: [1], гл. 4; §§ 4.8-4.11;

дополнительная: [6], гл. I; § 1.

Раздел III. Линейные операторы в линейных пространствах

Тема 6. Линейные операторы в линейных пространствах

Определение и простейшие свойства линейного оператора. Теорема об однозначном определении линейного оператора образами базисных векторов. Матрица линейного оператора в паре базисов. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора. Их простейшие свойства. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Подобные матрицы. Действия с линейными операторами. Пространство линейных операторов и его размерность.

Литература:

основная: [1], гл. 5; §§ 5.1-5.5;

дополнительная: [6], гл. II; § 9.

Тема 7. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Собственное значение как корень характеристического многочлена линейного оператора. Собственное подпространство линейного оператора. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.

Литература:

основная: [1], гл. 5; §§ 5.6-5.8;

дополнительная: [6], гл. II; § 10.

Раздел IV. Теория пределов

Тема 8. Числовые последовательности и числовые ряды

Ограниченные числовые множества. Существование верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества. Принцип Больцано-Вейерштрасса. Определение и свойства предела числовой последовательности. Примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Критерий Коши. Критерий существования предела монотонной последовательности. Число e. Подпоследовательность и частичный предел последовательности. Числовой ряд и его сумма. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. Простейшие признаки сходимости рядов.

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Тема 9. Предел функции одного вещественного переменного

Конечный предел функции в точке. Свойства предела функции. Критерий Коши. Предел композиции функций. Первый замечательный предел. Другие типы пределов. Предел монотонной функции. Второй замечательный предел.

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Раздел V. Непрерывные и дифференцируемые функции одного и нескольких переменных

Тема 10. Непрерывные функции одной переменной

Непрерывность функции в точке и на множестве. Примеры разрывных функций одной вещественной переменной. Классификация разрывов. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций одного переменного (в т. ч. теоремы Больцано - Коши и Вейерштрасса.). Монотонность. Обратная функция.

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Тема 11. Дифференцируемые функции одной переменной

Дифференцируемая функция в точке. Дифференциал в точке. Соотношение между непрерывностью и дифференцируемостью Определение производной. Примеры вычисления производной функций вещественного переменного. Дифференцирование сложной функции. Производная обратной функции. Дифференцирование неявно заданной функции. Производные высших порядков. Примеры. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Формула и ряд Тейлора.. Оценка остаточного члена. Примеры. Необходимое условие экстремума и достаточное условие экстремума. Классификация критических точек. Пример Коши (ненулевая функция, все производные которой в начале координат равны нулю).

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Тема 12. Непрерывность и дифференцируемость функции нескольких переменных

Открытые и замкнутые множества в Rn. Компактность в Rn. Свойства компактных множеств. Непрерывные функции ; их свойства. Определение дифференцируемой в точке функции (отображения) . Производное отображение в точке (дифференциал в точке). Матрица Якоби . Частные производные как элементы матрицы Якоби. Замена переменных. Суперпозиция отображений и произведение матриц Якоби. Простейшие правила дифференцирования. Координатное представление производного отображения. Теорема о среднем. Достаточное условие дифференцируемости числовой функции нескольких переменных. Производная по вектору и градиент функции в точке.

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Тема 13. Экстремумы функций многих переменных

Частные производные высшего порядка. Формула Тейлора. Высшие дифференциалы. Экстремумы функций многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Поверхность в Rn. Касательное пространство. Условный экстремум и множители Лагранжа. Примеры. Необходимый признак условного экстремума. Достаточный признак условного экстремума.

Литература:

основная: [1], гл. 9; §§ 9.1-9.6;

дополнительная: [6], гл. I; §§ 4-7.

Раздел VI. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 14. Дифференциальные уравнения (ДУ) первого порядка

Основные понятия для ДУ первого порядка. Примеры процессов, описываемых ДУ. Методы решения некоторых ДУ первого порядка.

Литература:

основная: [15], гл.1,2; §§;

дополнительная: [16], гл. I; §§ 4-7.

Тема 15. ДУ высших порядков

Общие понятия и некоторые методы решений. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами.

Литература:

основная: [15], гл. 2; §§ 2.2-3. ;3. 1-3

дополнительная: [16], ; §§ 1-6.

Раздел VII. Системы дифференциальных уравнений

Тема 16. Линейные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Общие понятия и метод исключения. Однородные системы ДУ и общее решение. Неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами и общее решение. Устойчивость по Ляпунову решения ДУ. Классификация положений равновесия линейной однородной системы ДУ второго порядка. Линеаризация нелинейной автономной системы второго порядка и грубое исследование устойчивости.

Литература:

основная: [15], гл. ,6,,7; §§6.1-3.;7. 1-3

дополнительная: [16], §§ 14-17.

8.  Порядок формирования оценок по дисциплине

Результирующая оценка за промежуточный контроль в I семестре выставляется по следующей формуле

Оитог_I = 0,5·Озачет + 0,3·Окр + 0,2·Одз_I,

где Озачет – оценка за зачетную работу, Окр – оценка за аудиторную контрольную работу в I семестре, Одз_I – оценка за домашнее задание в I семестре; при этом сумма 0,3·Окр + 0,2·Одз в результирующей оценке за промежуточный контроль составляет так называемую накопительную часть за работу в I семестре. Оценка за зачетную работу является блокирующей.

На пересдаче слушателю не предоставляется возможность получить дополнительный балл для компенсации оценки за текущий контроль.

9.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Основная литература

[1] Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учеб. пособие – М.: Финансы и статистика, 2003.

[2] Математический анализ (в 2-х книгах), ч.1: Учебник для вузов. - 4-е изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2002.

[3] Математический анализ (в 2-х книгах), ч.2: Учебник для вузов. - 4-е изд., испр. и доп. – М.: МЦНМО, 2002.

[4] , Введение в теорию аналитических функций: Учеб. пособие – М.: Просвещение, 1977.

[5] Курс высшей алгебрые изд., стереотип. – М.: Наука, 1975

.

Дополнительная литература

[6] Лекции по линейной алгебре. - 4-е изд., доп. – М.: Наука, 1971.

[7] Задачник по линейной алгебре / Под ред. . – М.: Наука, 1975.

[8] Сборник задач по линейной алгебре. - 3-е изд., испр. и доп. – М.: Наука, 1967.

[9] Курс математического анализа (в 2-х томах), т.1: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1981.

[10] Курс математического анализа (в 2-х томах), т.2: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1981.

[11] Математический анализ. Краткий курс в современном изложении. - 2-е изд. – К.: Факт, 2004.

[12] Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х томах), т.1 / Пред. и прим. . - 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

[13] Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х томах), т.2 / Пред. и прим. . - 8-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003

[14] Сборник задач по математическому анализу: Учеб. пособие. — 13-е изд., испр. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997.

[15] Романко дифференциальных уравнений и вариационного исчисления (второе издание ФИЗМАТЛИТ Москва-С-Петербург 2002г).

[16] Филиппов задач по дифференциальным уравнениям. М. Наука 1992г.