Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 5 )

1. Построить график и определить диапазон значений .

2. Диапазон Y разбить на M интервалов, в каждом из которых одинаковая степень неоднозначности ki, i=1,2, …, M:

.

Степень неоднозначности ki – число значений Х, соответствующих одному значению Y, или число обратных функций для данного интервала, j = 1,2, …, ki.

3. Определить обратные функции и вычислить модули производных обратных функций . В общем случае число обратных функций в i-м интервале равно ki.

4. Определить плотность вероятностей по следующей формуле:

(7.1)

Примеры

Пример 7.1. Определить плотность вероятности величины , если X - случайная величина, равномерно распределенная на интервале .

Решение.1. Построим график величины для x в интервале и определим диапазон значений Y: (рис. 7.1).

Рис. 7.1

2. В зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для Y:

3. На интервалах и обратные функции не существует.

В интервале две обратных функции:

и .

Вычислим модули производных обратных функций:

В интервале одна обратная функция , следовательно,

.

4. Так как Х равномерно распределена в интервале [-1, 2], то ее плотность вероятности равна

По формуле (7.1) получим плотность вероятности величины Y

Задача 8. Двухмерные случайные величины

Условия вариантов задачи

В задачах 8.1-8.40 (конкретные параметры приведены в табл. 8.1) двухмерный случайный вектор (Х, У) равномерно распределен внутри выделенной жирными прямыми линиями на рис. 8.1 области B. Двухмерная плотность вероятности f(x, y) одинакова для любой точки этой области B:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Рис. 8.1

Таблица 1.4

Вариант	x1	x2	x3	x4	x5	x6	y1	y2
8.1	0	0	1	1	1	1	1	2
8.2	0	2	2	2	2	2	1	2
8.3	0	0	0	2	2	4	1	2
8.4	0	2	4	4	4	4	1	2
8.5	0	0	2	3	3	4	1	2
8.6	0	0	6	6	6	6	1	2
8.7	2	0	4	5	5	6	1	2
8.8	0	0	2	2	4	4	1	2
8.9	0	0	4	2	2	0	1	2
8.10	0	0	4	4	2	2	1	2
8.11	0	2	2	3	3	4	1	2
8.12	0	1	4	5.5	5.5	6	1	2
8.13	0	2	2	4	4	6	1	2
8.14	0	4	4	5	5	6	1	2
8.15	4	0	8	10	10	12	1	2
8.16	0	0	4	5	5	6	1	2
8.17	0	0	4	4	4	4	1	2
8.18	0	3	3	3	3	3	1	2
8.19	0	0	0	2	2	4	1	2
8.20	0	2	6	6	6	6	1	2
8.21	3	0	5	6,5	6,5	8	1	2
8.22	0	0	4	4	4	6	1	2
8.23	0	0	4	2	2	0	1	2
8.24	0	0	5	5	5	5	1	2
8.25	0	4	4	6	6	8	1	2
8.26	0	4	6	7	7	8	1	2
8.27	1	0	3	2,5	2,5	4	1	2
8.28	0	2	4	4	6	6	1	2
8.29	0	2	4	4	5	6	1	2
8.30	0	1	3	5	5	7	1	2
8.31	0	0	0	1	1	2	1	2
8.32	0	2	6	5	5	4	1	2
8.33	0	0	2	1	1	0	1	2
8.34	0	2	4	5	5	6	1	2
8.35	0	2	4	2	2	0	1	2
8.36	0	4	4	4	4	4	1	2
8.37	0	0	2	4	4	6	1	2
8.38	0	0	6	6	4	4	1	2
8.39	0	2	4	6	6	8	1	2
8.40	0	2	4	5	6	7	1	2

Методические указания

Двухмерная случайная величина (Х, Y) – совокупность двух одномерных случайных величин, которые принимают значения в результате проведения одного и того же опыта. Двухмерную случайную величину (Х, Y) геометрически можно представить как случайную точку (Х, У) на плоскости хOу.