Методы анализа и синтеза активных электромагнитных подшипников (стр. 2 )

Одним из перспективных законов управления токами обмоток ЭМП является такой, при котором сумма токов в противоположных катушках, расположенных на одной оси, остается постоянной:

; .

В этом случае увеличение одного тока приводит к пропорциональному снижению тока в противоположной катушке. В литературе этот закон управления назван дифференциальным. В дальнейшем будем придерживаться этой терминологии. Коэффициенты сигнала по каналам управления обозначим соответственно - по оси x и по оси y.

; .

Токи ортогональных катушек в этом случае будут определяться следующими выражениями:

, , ; .

Иллюстрация этого способа управления, основанная на широтно-импульсной модуляции тока, показана на рис.3.

Анализ результатов расчетов ЭМП с разными схемами управления токами обмоток полюсов показал, что дифференциальная схема питания катушек по ортогональным осям (рис.3) является наиболее предпочтительной для системы управления радиальным ЭМП за счет линейности тяговой характеристики в центральной части рабочего диапазона при максимальной ее жесткости в этой зоне. Кроме того, в этой схеме вдвое сокращается число силовых вентилей по сравнению с независимым управлением токами всех четырех обмоток.

В третьей главе поставлена и решена задача создания математической модели ЭМП, функционально ориентированной на расчет пондеромоторных сил и параметров системы на основе численного метода расчета электромагнитного поля силовой части, учитывающей зубцово-пазовую геометрию подшипника, нелинейность магнитных свойств материалов, смещение ротора в зазоре, законы управления токами катушек и вихревые токи в сердечниках магнитопроводов. На основе аналитической математической модели разработана методика учета сил Лоренца, возникающих при вращении ротора в неоднородном магнитном поле, и оценено их влияние на работу подвеса.

Математическое описание электромагнитного поля в ЭМП в статической, квазистатической и нестационарной постановке задачи базируется на уравнениях Максвелла и системе граничных условий для диэлектрических, проводниковых и ферромагнитных сред. Ее аналитическое решение возможно лишь для некоторых частных случаев с рядом существенных допущений.

Применение численных методов расчета поля позволяет решить поставленную задачу средствами вычислительной математики. Для сокращения числа неизвестных и упрощения решения, весьма эффективным является преобразование исходных уравнений поля посредством введения векторных и скалярных потенциальных функций.

Для исследования электромагнитного поля были использованы векторный магнитный потенциал A, удовлетворяющий равенству

и скалярный магнитный потенциал , удовлетворяющий равенству

Тождества (6) и (7) определяют способ вычисления векторов магнитного поля через потенциалы.

Операция взятия , сводится к уравнениям:

Запись уравнений трехмерного электромагнитного поля через векторный магнитный потенциал A сводит уравнения для индукции и напряженности магнитного поля для анизотропных ферромагнитных сред с токами к известному уравнению Пуассона:

Разработанная для расчета магнитного поля модель РЭМП отличается от известных учетом зубцово-пазовой геометрии и физических свойств магнитопроводов, радиального и осевого смещения ротора, фактического распределения токов по пазам и закона управления токами обмоток, учетом вихревых токов в квазистационарных и нестационарных режимах работы. Результатом решения магнитостатической задачи методом конечных элементов (МКЭ) стало определение значений точечных (индукций, напряженностей, магнитных потенциалов и т. д.), интегральных (пондеромоторных сил, потоков, потокосцеплений, индуктивностей, коэффициентов передачи и т. д.) параметров и их зависимостей от законов управления токами катушек и смещения ротора.

При анализе результатов расчета для сравнения и общности электромагнитные силы были выражены в относительных единицах . За базовое значение радиального усилия при пересчете в относительные единицы (о. е.) электромагнитных сил, принято усилие, развиваемое РЭМП при максимальном токе одной катушки, например , и обесточенных остальных обмотках . Этому усилию соответствует базовое усилие на единицу площади воздушного зазора, которое в рассматриваемых далее примерах равно .

При одновременном смещении ротора по оси – ex, и по оси – ey, вектор удельной результирующей электромагнитной силы содержит компоненты . Конец этого вектора при вариациях токов управления описывает годограф, представленный на рисунке 4. По этому графику можно определить область существования функции удельной электромагнитной силы и ее зависимости от смещения ротора.

Годограф представляет собой кривую, близкую к эллипсу, по оси имеющую минимум в точке, близкой к 0,5 о. е. и максимум, в точке

Для формирования математической модели ЭМП как объекта управления, необходимо знать зависимости следующих линеаризованных коэффициентов в функции сигнала управления и смещения ротора от центрального положения:

1. Коэффициент положительной обратной связи по перемещению. РЭМП обладает по своей физической сути положительной обратной связью по перемещению. Положительное смещение по оси вызывает при неизменных токах управления по этой оси, увеличение электромагнитного усилия, которое можно количественно оценить коэффициентом

Коэффициент не является постоянной величиной и зависит как от смещения ротора, так и от токов в обмотках управления (коэффициента сигнала ki.) (рис.5).

2. Коэффициент электромагнитной силы – определяется отношением приращения электромагнитной силы к приращению коэффициента сигнала (Рис.6)

Н/А (11)

3. Коэффициент ЭДС движения, определяющий величину ЭДС от скорости радиального движения ротора (Рис.7)

(12)

Аналогом этого коэффициента в электрических машинах постоянного тока является конструктивный коэффициент .

Для расчета воспользуемся линеаризованной формулой, где от дифференциалов перейдем к конечным приращениям

(13)

- приращение потокосцепления при перемещении ротора по радиусу на .

Графики приведены на рис.7.

Для синтеза математической модели ЭМП как объекта управления необходимо знать важнейшие параметры электромагнитов – индуктивности взаимные индуктивности обмоток управления, их электромагнитные постоянные времени и их зависимости от токов управления и смещения ротора. В ненасыщенных линейных системах индуктивности представляют собой постоянное отношение потокосцепления контура к току, данного контура

В магнитных системах с насыщением - величина не постоянная и в расчетах обычно линеаризуется. В этом случае расчет индуктивностей основан на определении магнитной энергии исследуемого контура.

Значение индуктивностей существенно зависит от токов обмоток и величин воздушных зазоров при смещении ротора от центрального положения.

Изменение собственных индуктивностей от токов управления и смещения ротора иллюстрирует рис. 8. На рисунке представлены графики, рассчитанные по обеим методикам – через потокосцепление – кривые и через полную энергию магнитного поля – кривые .

При условии постоянства активного сопротивления катушек кривые при различных смещениях ротора будут повторять графики индуктивностей на рис.8.

В третьей главе получено аналитическое решение для расчета сил Лоренца, возникающих от действия вихревых токов, индуцированных в магнитопроводе ротора при его вращении для заданного закона распределения магнитного потенциала в зазоре в виде конечных сумм рядов Фурье, позволяющее качественно и количественно анализировать влияние этих сил на работу ЭМП.

Здесь для комплексно сопряженных величин введен верхний индекс *,

m – порядок функции Бесселя, – номер гармоники, R – радиус ротора.

Для практических расчетов по формулам (14) – (16) значения коэффициентов и , характеризующих поле источников можно определить двумя способами: практическим измерением поля зазора при неподвижном роторе или расчетом поля для магнитостатической задачи, например, методом конечных элементов. Такой расчет нормальной составляющей поля и представление ее в виде ряда Фурье описан в третьей главе диссертационной работы.

Расчеты сил Лоренца численными методами и их сопоставление с результатами аналитических расчетов, приведенные на графиках рис. 9, показали расхождение результатов не более 7,5%.

При несимметричном магнитном поле, кроме осевой пары сил, создающей тормозной момент, появляется радиальная составляющая силы Лоренца, проекция которой на ось, совпадающую с осью максимальной Н. С., направлена на ослабление подъемной силы, а проекция на ортогональную ось зависит от направления вращения, вызывая положительную прецессию вала.

Одним из применений ЭМП является подвес ротора в высокоскоростных электрошпинделях для шлифования и фрезерования мелких деталей с высокой точностью и чистотой обработки. Кроме известных достоинств электромагнитных подшипников, отмеченных выше, в подобных устройствах перспективным является создание управляемых высокочастотных микровибраций инструмента. Эти микровибрации повышают чистоту обработки поверхностей деталей и увеличивают производительность процесса. Микровибрации создаются за счет наложения на постоянный сигнал одной или нескольких обмоток управления переменной, обычно синусоидальной, составляющей. Разработанная математическая модель расчета электромагнитного поля позволяет моделировать данный процесс. На рис.10 показан график переходного процесса при подъеме ротора со страховочных подшипников и наложении на постоянный сигнал гармонической составляющей с частотой 1кГц.

При шихтованном роторе для данной конструкции частоты до 1 кГц являются вполне допустимыми по полосе пропускания.

Для инженерных расчетов и оптимизации разработан алгоритм и программа расчета интегральных параметров РЭМП, основанные на методе проводимостей зубцовых контуров, позволяющий учесть насыщение ферромагнитных участков магнитопроводов и потоки рассеяния для различных положений оси ротора и законов управления токами катушек.

В основу такого представления положены идеи -Смоленского по расчету магнитных цепей электрических машин. Метод дополнен возможностью учета неравномерного воздушного зазора ЭМП, нелинейного насыщения отдельных зубцов и других ферромагнитных участков магнитной цепи и фактического закона управления токами магнитов.

На рис.11 показан фрагмент схемы замещения, в которой каждому участку магнитной цепи соответствует линейный или нелинейный элемент электрической цепи.

Для машинного расчета уравнения контурных токов в матричной форме представляются в виде системы уравнений

a11	a12	a13	0	0	…	0	0	0	…	0		I1		b1
0	a22	a23	a24	0	…	0	0	0	…	0		I2		b2
0	0	a33	a34	a35	…	0	0	0	…	0		I3		b3
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…		…		…
0	0	0	0	0	…	ai, i	ai, i+1	ai, i+2	…	0		Ii		bi
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	х	…	=	…	(17)
0	0	0	0	0	…	0	0	0	…	0		In-3		bn-3
0	0	0	0	0	…	0	0	0	…	a(n-2)n		In-2		bn-2
a(n-1)1	0	0	0	0	…	0	0	0	…	a(n-1)n		In-1		bn-1
an1	an2	0	0	0	…	0	0	0	…	ann		In		bn

В системе (17) согласно схеме замещения рис.11 приняты следующие обозначения:

- ток (поток) i-того контура;

;

;

;

.

Для решения системы уравнений (17) был использован метод Гаусса. Нелинейность уравнений разрешалась методом последовательных приближений с коррекцией шага итераций по уточненным значениям магнитной проводимости участков магнитной цепи.

В четвертой главе приведены методика и результаты расчета параметров осевого ЭМП на основе МКЭ для магнитостатической и нестационарных полевых задач. В магнитостатической постановке задачи проведено сравнение эффективности согласного и встречного включения катушек двухстороннего ОЭМП, которое показало предпочтительность встречного включения из-за меньших потоков рассеяния и большего полезного усилия при отрицательном смещении диска. Конструкция ОЭМП не позволяет выполнить шихтованным магнитопроводы статора и ротора. Это накладывает на расчеты параметров ОЭМП некоторые особенности, которые были учтены при их математическом моделировании в нестационарных режимах. Значительные по величине вихревые токи, наведенные в массивах статора и ротора, оказывают существенное демпфирующее действие на пондеромоторные силы магнитов. На основе математической модели ОЭМП, предметно ориентированной на определение индуктивных и активных сопротивлений контуров вихревых токов для фиксированной частоты перемагничивания, предложена методика, основанная на применении схем замещения и векторных диаграмм, позволяющая рассчитывать импедансы контура вихревых токов для всего рабочего диапазона частот, величины моментов и потерь ими вызванных.