МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Уравнения с частными производными
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов
направления 010100.62 – Математика
Тюменский государственный университет
2011
Баринов с частными производными. Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа для студентов направления «Математика» Института математики и компьютерных наук. Тюмень, 2011, 12 стр.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Уравнения с частными производными [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. umk. *****, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и. о. зав. кафедрой математического моделирования,
д. ф.-м. н., доцент
© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2011
1. Цели и задачи курса:
Фундаментальная подготовка в области теории уравнений c частными производными; овладение аналитическими методами математической физики; овладение современным математическим аппаратом для дальнейшего применения в различных приложениях.
Задачами курса являются:
· дать знания: основных понятий теории уравнений с частными производными, определений и свойств математических объектов в этой области, формулировок утверждений, методов их доказательств, возможных областей применения теории;
· научить методам решения задач вычислительного и теоретического характера в области уравнений с частными производными;
· показать применение аппарата и методов теории уравнений с частными производными в различных приложениях.
2. Тематический план изучения дисциплины
5 семестр. | |||||||
п/№ | Тема | Лекции, час | Семинарские занятия, час | Самостоятельная и индивидуальная работа, час | Итого часов по теме | Итого количество баллов | |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
Модуль 1. Всего часов | 12 | 6 | 16 | 34 | 0-30 | ||
1. | Уравнения с частными производными первого порядка | 12 | 6 | 16 | 34 | 0-30 | |
Модуль 2. Всего часов | 12 | 6 | 10 | 28 | 0-30 | ||
2. | Классификация линейных уравнений второго порядка | 8 | 6 | 5 | 19 | 0-20 | |
3. | Уравнения и краевые задачи математической физики | 4 | 0 | 5 | 9 | 0-10 | |
Модуль 3. Всего часов | 12 | 6 | 20 | 38 | 0-40 | ||
4. | Уравнения гиперболического типа | 12 | 6 | 20 | 38 | 0-40 | |
Итого часов за 5 семестр | 36 | 18 | 46 | 100 | 0-100 |
6 семестр. | ||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Модуль 1. Всего часов | 12 | 12 | 12 | 36 | 0-30 | |
5. | Уравнения параболического типа | 8 | 12 | 10 | 30 | 0-20 |
6. | Обобщение метода Фурье | 4 | 0 | 2 | 6 | 0-10 |
Модуль 2. Всего часов | 12 | 12 | 10 | 34 | 0-40 | |
7. | Решение методом Фурье краевых задач для уравнений эллиптического типа | 12 | 12 | 10 | 34 | 0-40 |
Модуль 3. Всего часов | 12 | 12 | 6 | 30 | 0-30 | |
8. | Функции Грина краевых задач для уравнений эллиптического типа | 8 | 8 | 4 | 20 | 0-15 |
9. | Потенциалы | 4 | 4 | 2 | 10 | 0-15 |
Итого часов за 7 семестр | 36 | 36 | 28 | 100 | 0-100 |
3. Планирование самостоятельной работы студентов
п/№ | Модуль и тема | Виды СРС | Неделя семестра | Объем часов | Количество баллов | |
Обязательные | Дополнительные | |||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
5 семестр | ||||||
Модуль 1. | ||||||
1. | Уравнения с частными производными первого порядка | решение контрольной работы; выполнение домашнего задания | работа с литературой | 1-4 | 16 | 0-30 |
Всего по модулю 1: | 16 | 0-30 | ||||
Модуль 2. | ||||||
2. | Классификация линейных уравнений второго порядка | решение контрольной работы; выполнение домашнего задания | работа с литературой | 5-8 | 5 | 0-20 |
3. | Уравнения и краевые задачи математической физики | выполнение домашнего задания | работа с литературой | 9-12 | 5 | 0-10 |
Всего по модулю 2: | 10 | 0-30 | ||||
Модуль 3. | ||||||
4. | Уравнения гиперболического типа | решение контрольной работы; выполнение домашнего задания | работа с литературой | 13-18 | 20 | 0-40 |
Всего по модулю 3: | 20 | 0-40 | ||||
Итого за 5 семестр | 46 | 0-100 | ||||
6 семестр. | ||||||
Модуль 1. | ||||||
5. | Уравнения параболического типа | решение контрольной работы; выполнение домашнего задания | работа с литературой | 1-5 | 10 | 0-20 |
6. | Обобщение метода Фурье | выполнение домашнего задания | работа с литературой | 6 | 2 | 0-10 |
Всего по модулю 1: | 12 | 0-30 | ||||
Модуль 2. | ||||||
7. | Решение методом Фурье задач для уравнений эллиптического типа | решение контрольной работы; выполнение домашнего задания | работа с литературой | 7-12 | 10 | 0-40 |
Всего по модулю 2: | 10 | 0-40 | ||||
Модуль 3. | ||||||
8. | Функции Грина краевых задач для уравнений эллиптического типа | выполнение домашнего задания | работа с литературой | 13-15 | 4 | 0-15 |
9. | Потенциалы | выполнение домашнего задания | работа с литературой | 16-18 | 2 | 0-15 |
Всего по модулю3: | 6 | 0-30 | ||||
Итого за 7 семестр: | 28 | 0-100 | ||||
3. Содержание программы курса по темам
Тема 1. Уравнения в частных производных первого порядка.
1. Основные понятия и определения уравнений в частных производных (УЧП) 1-го порядка (линейное, нелинейное, квазилинейное, однородное и неоднородное, частное и общее решение, задача Коши).
2. Общее решение линейного однородного УЧП 1-го порядка.
3. Общее решение линейного неоднородного УЧП 1-го порядка.
4. Решение задачи Коши для УЧП 1-го порядка.
5. Решение системы двух нелинейных УЧП 1-го порядка, разрешенных относительно производных.
6. Уравнение Пфаффа и его решение.
7. Геометрическая интерпретация квазилинейного УЧП 1-го порядка и его характеристики.
Тема 2. Классификация линейных уравнений 2-го порядка.
8. Классификация линейных уравнений 2-го порядка с двумя переменными. Характеристики.
9. Приведение уравнений гиперболического типа к каноническому виду.
10. Приведение уравнений параболического типа к каноническому виду.
11. Приведение уравнений эллиптического типа к каноническому виду.
12. Классификация линейных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
13. Классификация линейных уравнений 2-го порядка от нескольких переменных.
Тема 3. Уравнения и краевые задачи математической физики. 14. Физический вывод уравнения колебания струны. Уравнение колебания упругого стержня. Гиперболические уравнения в общем виде.
15. Уравнение распространения электромагнитного поля.
16. Физический вывод уравнения распространения тепла. Уравнения параболического типа в общем виде.
17. Эллиптические уравнения как стационарные уравнения.
18. Типы краевых условий. Классификация краевых задач математической физики.
19. Корректность постановки задач математической физики. Теорема Ковалевской.
Тема 4. Уравнения гиперболического типа.
20. Решение начальной задачи методом Даламбера.
21. Физический смысл формулы Даламбера. Устойчивость решения Даламбера.
22. Задача для полуограниченной прямой. Метод продолжений.
23. Решение однородной краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье.
24. Устойчивость решения Фурье однородной задачи для волнового уравнения.
25. Физическая интерпретация решения однородной задачи для волнового уравнения.
26. Решение краевой задачи для неоднородного волнового уравнения методом Фурье.
Физический смысл решения.
27. Решение общей краевой задачи для волнового уравнения.
Тема 5. Уравнения параболического типа.
28. Решение однородной задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.
29. Равномерная сходимость решения однородной задачи для уравнения теплопроводности.
30. Решение краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности методом Фурье.
31. Решение общей краевой задачи для уравнения теплопроводности. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
32. Построение функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности на прямой. Решение неоднородной задачи на прямой.
Тема 6. Обобщение метода Фурье.
33. Обобщение метода Фурье. Свойства собственных функций.
34. Свойства оператора L(Ф) и собственных значений. Теорема Стеклова.
Тема 7. Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа методом Фурье.
35. Уравнения эллиптического типа в общем виде, примеры уравнений. Типы краевых задач для эллиптических уравнений.
36. Условие применимости метода разделения переменных для задач с уравнениями эллиптического типа. Решение задачи Дирихле для прямоугольника.
37. Решение задачи Дирихле методом Фурье (внутренней и внешней) для круга.
Тема 8. Функции Грина краевых задач для уравнений эллиптического типа.
38. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат. Гармонические функции.
Фундаментальные частные решения уравнения Лапласа.
39. Формулы Грина. Интегральная формула Грина краевых задач для уравнений эллиптического типа.
40. Условие разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа.
41. Теорема о среднем значении гармонической функции.
42. Принцип максимума. Единственность решения задачи Дирихле для гармонической функции.
43. Функция Грина для краевых задач уравнений. Функции Грина первой и второй краевой задачи для уравнения Пуассона.
44. Функция Грина задачи Дирихле для шара и круга. Формула Пуассона и Кирхгофа.
Тема 9. Потенциалы.
45. Объемный потенциал и его свойства.
46. Потенциал простого слоя и его свойства.
47. Потенциал двойного слоя и его свойства.
48. Применение потенциалов к решению краевых задач для уравнений эллиптического типа.
5. Планы практических занятий
Тема 1. Уравнения в частных производных первого порядка (6часов)
1) решение линейного однородного УЧП 1-го порядка;
2) решение линейного неоднородного УЧП 1-го порядка;
3) решение задачи Коши для УЧП 1-го порядка.
4) решение системы двух нелинейных УЧП 1-го порядка, разрешенных относительно производных;
5) решение уравнения Пфаффа.
Тема 2. Классификация линейных уравнений 2-го порядка (6часов)
1) классификация уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами; 2)уравнения с переменными коэффициентами, характеристики, области определенности типа уравнения;
3) приведение уравнений гиперболического типа к каноническому виду;
4) приведение уравнений параболического типа к каноническому виду;
5) приведение уравнений эллиптического типа к каноническому виду.
Тема 3. Уравнения и краевые задачи математической физики (0 часов)
Тема 4. Уравнения гиперболического типа (6 часов)
1) решение начальной задачи методом Даламбера;
2) решение задачи для полуограниченной прямой;
3) решение однородной краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье.
4) решение краевой задачи для неоднородного волнового уравнения методом Фурье.
5) решение общей краевой задачи для волнового уравнения.
Тема 5. Уравнения параболического типа (12 часов)
1) решение однородной задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье;
2) решение краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности методом Фурье;
3) решение общей краевой задачи для уравнения теплопроводности;
4) построение функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности;
5) решение неоднородной задачи на прямой.
Тема 6. Обобщение метода Фурье (0 часов)
Тема 7. Решение краевых задач для уравнений эллиптического типа методом Фурье (12 часов)
1) решение задач Дирихле и Неймана для прямоугольника;
2) решение внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана для круга.
Тема 8. Функции Грина краевых задач для уравнений эллиптического типа (8 часов)
1) решение задачи Дирихле в круге с помощью функции Грина;
2) построение функции Грина для задачи Неймана в круге.
Тема 9. Потенциалы (4 часа)
1)сведение задачи Дирихле к интегральному уравнению Фредгольма второго рода;
2) сведение задачи Неймана к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.
6. Примерные задания для контрольной работы
1. Найти общее решение уравнения
2. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию
.
3. Привести уравнение к каноническому виду
4. В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести его к каноническому виду
5. Решить краевую задачу для волнового уравнения
6. Решить краевые задачи для уравнения теплопроводности:
7. Решить задачу Коши:
8. Решить задачи Дирихле:
7. Контрольные вопросы к экзамену
1. Общее решение линейного однородного УЧП 1-го порядка.
2. Общее решение линейного неоднородного УЧП 1-го порядка.
3. Решение задачи Коши для УЧП 1-го порядка.
4. Решение системы двух нелинейных УЧП 1-го порядка, разрешенных относительно производных.
5. Уравнение Пфаффа и его решение.
6. Геометрическая интерпретация квазилинейного УЧП 1-го порядка и его характеристики.
7. Классификация линейных уравнений 2-го порядка с двумя переменными. Характеристики.
8. Приведение уравнений гиперболического типа к каноническому виду.
9. Приведение уравнений параболического типа к каноническому виду.
10. Приведение уравнений эллиптического типа к каноническому виду.
11. Физический вывод уравнения колебания струны.
12. Уравнение распространения электромагнитного поля.
13. Физический вывод уравнения распространения тепла.
14. Типы краевых условий. Классификация краевых задач математической физики.
15. Корректность постановки задач математической физики. Теорема Ковалевской.
16. Решение начальной задачи методом Даламбера.
17. Устойчивость решения Даламбера.
18. Решение однородной краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье.
19. Устойчивость решения Фурье однородной задачи для волнового уравнения.
20. Физическая интерпретация решения однородной задачи для волнового уравнения.
21. Решение краевой задачи для неоднородного волнового уравнения методом Фурье.
22. Решение общей краевой задачи для волнового уравнения.
23. Решение однородной задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье.
24. Равномерная сходимость решения однородной задачи для уравнения теплопроводности.
25. Решение краевой задачи для неоднородного уравнения теплопроводности методом Фурье.
26. Решение общей краевой задачи для уравнения теплопроводности.
27. Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
28. Построение функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности.
29. Решение задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности.
30. Обобщение метода Фурье. Свойства собственных функций.
31. Свойства оператора L(Ф) и собственных значений. Теорема Стеклова.
32. Уравнения эллиптического типа в общем виде, примеры уравнений. Типы краевых задач для эллиптических уравнений.
33. Условие применимости метода разделения переменных для задач с уравнениями эллиптического типа.
34. Решение задачи Дирихле методом Фурье для прямоугольника.
35. Решение задачи Дирихле методом Фурье (внутренней и внешней) для круга.
36. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат.
37. Фундаментальные частные решения уравнения Лапласа.
38. Гармонические функции и их свойства.
39. Формулы Грина. Интегральная формула Грина краевых задач для уравнений эллиптического типа.
40. Условие разрешимости задачи Неймана для уравнения Лапласа.
41. Теорема о среднем значении гармонической функции.
42. Принцип максимума. Единственность решения задачи Дирихле для гармонической функции.
43. Функции Грина первой и второй краевой задачи для уравнения Пуассона.
44. Функция Грина задачи Дирихле для шара и круга. Формула Пуассона.
45. Объемный потенциал и его свойства.
46. Потенциал простого слоя и его свойства.
47. Потенциал двойного слоя и его свойства.
48. Применение потенциалов к решению краевых задач для уравнений эллиптического типа.
8. Литература
8.1. Основная литература:
1. Михлин математической физики. СПб.: Лань, 20с.
2. , Жаринов математической физики. М.: Физматлит, 20с.
3. Агошков решения задач математической физики. М.: Физматлит, 20с.
4. , Похожаев курс математической физики. М.: МЦНМО, 2004.208с.
5. , , Тихонов задач по математической физики. М.:Физматлит, 20с.
6. , Бутакова математической физики. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2004. 80с.
8.2. Дополнительная литература:
7. и др. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 19с.
8. , Самарский математической физики. М.: Физматлит, 19с.
9. Смирнов уравнения второго порядка. Минск: Изд-во БГУ, 19с.
10. Смирнов по уравнениям математической физики. М.: Наука, 19с.
11. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 20с.
8.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. http://***** – Учебно-образовательная физико-математическая библиотека.
2. http://***** – Научная электронная библиотека.
3. http://lib. ***** – Электронная библиотека мех. - математического факультета МГУ им. .
