Математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОРОНЕЖСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

УТВЕРЖДАЮ

Декан экономического факультета

_______________

«_____»_______________2005г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

ДИСЦИПЛИНЫ

Математика

_____________________________________________________________________

для специальности 010502 Прикладная информатика (в экономике)

____________________________________________________

Программа рассмотрена на заседании кафедры прикладной математики

и экономико-математических методов,

Протокол № от «_____»_____________________2005 г.

Заведующий кафедрой _____________________

На заседании методической комиссии по образованию в области специальностей экономического профиля, протокол № от «_____»_____________2005 г.

Председатель методической комиссии факультета _______________

Воронеж 2005

1. Цели и задачи дисциплины

Государственным образовательным стандартом высшего профессионального

образования по специальности 010502 изучение дисциплины «Математика» предусмотрено в составе цикла дисциплин специализаций. Эта дисциплина ориентирована на углубленное изучение отдельных проблем.

Целью преподавания дисциплины является овладение студентами теоретических и практических основ математики и эффективное использование полученных знаний в информационных технологий в экономики.

Задачами дисциплины «Математика» являются:

ознакомить студентов с важнейшими методами классической математики: элементами векторной алгебры и аналитической геомет­рии, теорией дифференциального и интегрального исчисления функ­ции одного и нескольких переменных и их приложения, числовым и функциональным рядам; рядам Фурье, дать основные понятия теории дифференциальных уравнений и методам их решений, привести некоторые более сложные разделы дискретной математики, математической логики, нечеткой математики и исследований операций:

привить студентам практические навыки в решении задач по перечисленным разделам, обращая внимание на задачи с техническим содержанием;

дать основу для применения математических методов при изучении последующих дисциплин, выполнении курсовых работ и дипломных заданий;

развивать логическое мышление у студентов, потребность в теоретических рассуждениях и обосновании своих действий, как в самой математике, так и в её приложениях;

2. Требования к уровню освоения дисциплины

Требования к знаниям и умениям по дисциплине соответствуютТребованиям (Федеральный компонент) к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки выпускников высшей школы по циклу "Общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины", утвержденными Государственным Комитетом Российской Федерации по высшему образованию от 01.01.01 г.

В результате изучения курса студент должен:

знать и уметь использовать:-основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, аналитической геометрии, дискретной математики, дифференциальных уравнений, методы теории нечетких множеств, нечетких алгоритмов, элементы теории неопределенности.

Иметь опыт

-  употребления математической символики для выражения количественных и качественных соотношений объектов;

-  - исследования математических моделей с учетом их иерархической структуры и оценивания пределов применимости полученных результатов;

-  - использования основных приемов обработки экспериментальных данных;

-  - аналитического и численного решения алгебраических уравнений;

-  - исследования аналитического и численного решения дифференциальных уравнений.

-   

-  Иметь представление

-  - о математике как способе познания мира, общности математических понятий и представлений;

- о математическом моделировании процессов в естествознании.

3. Объем дисциплины и виды учебной работы

Проверка суммы. Исходное значение нагрузки: 612

Сумма по семестрам: 612.1 Сумма по видам работ: 612.1

Виды учебной работы	Всего часов	Семестры
1	2	3	4
Общая трудоемкость	612	144	144	144	180
Аудиторные занятия	306	72	72	72	90
Лекции	144	36	36	36	36
Практические занятия	162	36	36	36	54
Самостоятельная работа	306	72	72	72	90
Проработка материалов по конспекту лекций	69	36*0.48= 17,2	36*0.48= 17,2	36*0.48= 17,2	36*0.48= 17,2
Изучение материалов, изложенных в лекции, по учебникам	51	*1.6= 12	*1.6= 12	*1.6= 12	*1.6= 15
Подготовка к коллоквиуму (5)	80	1*16= 16	1*16= 16	1*16= 16	2*16= 32
Подготовка к аудиторной контрольной работе (8)	86	2*12*0.9= 21.6	2*12*0.9= 21.6	2*12*0.9= 21.6	2*12*0.9= 21.6
Выполнение расчетов для РГР (4)	20	1*5*1= 5	1*5*1= 5	1*5*1= 5	1*5*0.9= 5
Вид итогового контроля		Экзамен	Зачет	Зачет	Экзамен

Семестр

Коэффициент проработки материалов по конспекту лекций (0.4<K<048 0.48

Коэффициент проработки материалов по учебнику (1<K<2)

Время подготовки к коллоквиуму (часов)

Коэффициент подготовки к аудиторной контрольной работе (0.5<K<1)

Коэффициент выполнения расчетов для РГР(0.5<K<1

Объем литературы для изучения лекц. материала по учебникам (стр)

Среднее число страниц РГР (А4

Среднее число часов практики на контрольную работу

4. Содержание дисциплины

4.1. Разделы дисциплины и виды занятий

№ п/п	Раздел дисциплины	Лекции	ПЗ (или С)
1	Теоретико-множественные представления основных математических понятий	2	2
2	Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии	10	10
3	Линейная алгебра	8	8
4	Теория пределов. Функции одной переменной	6	6
5	Дифференциальное исчисление функций одной переменной	10	10
6	Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных	10	10
7	Неопределенный интеграл	14	14
8	Определенный интеграл	12	12
9	Векторный анализ и элементы теории поля	14	14
10	Дифференциальные уравнения	12	12
11	Последовательности и ряды	10	10
12	Комбинаторика	6	8
13	Основы теории графов	6	10
14	Алгебра логики	6	10
15	Элементы исчисления высказываний и предикатов	6	10
16	Элементы теории нечетких множеств	6	8
17	Нечеткие алгоритмы	4	8
18	Основы теории неопределенности	2	-

4.2. Содержание разделов дисциплины

1 семестр

Раздел 1. Теоретико-множественные представления основных математических понятий - 2 час.

Множества и операции над ними, векторы, прямое произведение множеств, отношения, соответствия, функции, пространства, понятие алгебры, алгебраические структуры.

Раздел 2. Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

- 10 час.

Основные операции над векторами. Векторное, линейное и евклидово пространство. Система координат и ее преобразование. Прямая и линии второго порядка на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Поверхности второго порядка.

Раздел 3. Линейная алгебра - 8 час.

Матрицы, операции над матрицами, определители и их свойства. Системы линейных уравнений и методы их решения. Системы линейных уравнений в экономике.

Раздел 4. Функции одной переменной - 6 час.

Основные понятия числовых множеств. Свойства и классификация функций. Способы задания функций. Интерполирование функций.

Раздел 5. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- 10 час.

Понятие предела функции, бесконечно малые и бесконечно большие величины, непрерывность функции. Определение производной, основные правила дифференцирования. Основные теоремы дифференциального исчисления, правило Лопиталя, исследование функций с помощью производной. Дифференциал функции. Формула Тейлора, численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений. Экономический смысл и приложения производной, эластичность функции. Применение дифференциала и приближенных вычислениях. Понятие конечной разности, численное дифференцирование.

2 семестр

Раздел 6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных - 10 час.

Понятие функции нескольких переменных. Частные производные. Экстремум функции нескольких переменных. Формула Тейлора для функции нескольких переменных, квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Эмпирические зависимости, метод наименьших квадратов. Численное дифференцирование функций нескольких переменных.

Раздел 7. Неопределенный интеграл - 14 час

Понятие первообразной и неопределенного интеграла, его свойства. Основные правила интегрирования, методы замены переменной и интегрирования по частям. Неберущиеся интегралы.

Раздел 8. Определенный интеграл - 12 час.

Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл. Основные свойства определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы. Методы численного интегрирования. Применение определенного интеграла в экономике.

3 семестр

Раздел 9. Векторный анализ и элементы теории поля - 14 час.

Векторные функции скалярного аргумента. Скалярные и векторные поля. Криволинейные, поверхностные и объемные интегралы. Градиент, дивергенция, ротор.

Раздел 10. Дифференциальные уравнения - 12 час.

Основные определения и классификация дифференциальных уравнений. Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Задача Коши. Методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные методы решения..

Раздел 11. Последовательности и ряды - 10 час.

Числовые ряды, основные понятия, сходимость ряда. Степенные ряды, область сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов в приближенных вычислениях.

4 семестр

Раздел 12. Комбинаторика - 8 час.

Правила суммы, произведения. Размещения, перестановки, сочетания. Разбиения, полиномиальная формула. Формула включений и исключений.

Раздел 13. Основы теории графов - 10 час.

Основные понятия и определения. Матрицы смежности и инциденций. Поиск маршрута на графе. Оптимизация пути в нагруженных орграфах

Раздел 14. Алгебра логики - 10 час.

Высказывания. Их истинность, ложность. Связь высказываний и логические функции. Булева алгебра. Эквивалентность. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.

Раздел 15. Элементы исчисления высказываний и предикатов - 6 час.

Высказывания, предикаты, логические связки, основные правила вывода. Метод резолюций. Операции навешивания кванторов.

Раздел 16. Элементы теории нечетких множеств - 10 час.

Понятие нечеткого подмножества, операции над нечеткими множествами. Нечеткие графы, нечеткие отношения, композиция нечетких отношений.

Раздел 17. Нечеткие алгоритмы - 8 час.

Численные, логические и нечеткие алгоритмы. Эмпирические свойства алгоритмов. Алфавитные операторы и алгоритмы. Слова в ассоциативном исчислении.

Раздел 18. Основы теории неопределенности - 2 час.

Количество информации о непрерывной случайной величине при заданных требованиях к верности воспроизведения.

4.3. Практические занятия.

1 семестр

1. Тестовый контроль знаний студентов, операции над множествами– 2 час.

2.  Решение задач на темы:

- сложение векторов, умножение вектора на скаляр, прямоугольные координаты точки и вектора в пространстве - 1 час.

- скалярное и векторное произведение векторов - 2 час.

- уравнение прямой в различной форме - 3 час.

- линии второго порядка - 2 час.

- прямая и плоскость в пространстве - 2 час.

3.  Решение задач на темы:

- операции над матрицами - 2 час.

- вычисление определителей и обратных матриц - 2 час.

- решение систем линейных уравнений - 2 час.

- системы линейных уравнений в экономике - 2 час.

4.  Решение задач на темы:

- нахождение пределов - 2 час.

- первый и второй замечательные пределы 2 час.

- непрерывность функции - 2 час.

5.  Решение задач на темы:

- производные степенных и тригонометрических функций, производная сложной функции - 1 час.

- производная показательной и логарифмической функций, производная неявной функции - 1 час.

- производные высших порядков, правило Лопиталя - 2 час.

- исследование функций - 2 час.

- формула Тейлора - 2 час.

- вычисление эластичности в экономических примерах - 2 час.

2 семестр

1. Решение задач на темы:

- частные производные и производные высших порядков - 2 час.

- формула Тейлора для функции нескольких переменных - 2 час.

- нахождение экстремума функции нескольких переменных - 2 час.

- решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона - 2 час.

- метод наименьших квадратов -2 час.

2.  Решение задач на темы:

- простейшие интегралы - 2 час.

- метод замены переменной - 2 час.

- метод интегрирования по частям - 2 час.

- интегрирование рациональных функций, - 4 час.

- интегрирование тригонометрических функций, - 2 час.

- интегрирование иррациональных функций, - 2 час.

3.  Решение задач на темы:

- вычисление определенного интеграла, - 4 час.

- вычисление несобственных интегралов, - 2 час.

- метод прямоугольников и метод трапеций, - 2 час.

- использование определенного интеграла в экономических

приложениях, - 4 час.

3 семестр

1. Решение задач на темы:

- производные векторных функций - 2 час.

- вычисления криволинейных интегралов - 4 час.

- вычисления поверхностных интегралов - 4 час.

- вычисление тройных интегралов - 4 час.

2.  Решение задач на темы:

- дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными - 2 час.

- однородные и линейные дифференциальные уравнения первого

порядка - 2 час.

- уравнения в полных дифференциалах, - 2 час.

- дифференциальные уравнения второго порядка, случаи понижения порядка - 2 час.

- однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами - 2 час.

- неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами -2 час.

3.Решение задач на темы:

-сумма ряда -2 час.

- исследование сходимости числовых и степенных рядов - 4 час.

- разложение в степенной ряд и приближенные вычисления с заданной точностью - 4 час.

4 семестр

1. Решение комбинаторных задач на:

- правила суммы и произведения - 2 час.

- размещения и сочетания, перестановки - 4 час.

2.  Решение задач на тему:

- составление матриц смежности и инциденций - 2 час.

- оптимизация маршрутов на графах - 4 час.

-сетевое планирование 4 час.

3.  Решение задач на темы:

- логические высказывания, булевы операции 4 час.

- эквивалентные преобразования логических функций - 2 час.

- приведение к дизъюктивной нормальной форме - 2 час.

- приведение к конъюктивной нормальной форме - 2 час.

4.  Решение задач на темы:

- описание ситуаций в виде высказываний и предикатов - 2 час.

- совершенная дизъюктивной нормальной форме - 2 час.

- логический вывод 2 час.

- метод резолюций - 4 час.

5.  Решение задач на темы:

- операции над нечеткими множествами - 2 час.

- составление нечетких отношений и композиций отношений -2 час.

- нечеткая лингвистическая переменная 2 час.

- нечеткие числа 2 часа.

6.  Решение задач на нечеткий вывод - 8 час.

5. Лабораторный практикум (не предусмотрен)

6. Форма и содержание текущего, промежуточного и итогового контроля.

6.1.  Текущий контроль: рейтинг.

6.2.  Промежуточный контроль проводится в форме коллоквиумов, зачетов, расчетно-практических работ, аудиторных контрольных работ..

Контрольные работы проводятся по следующим темам:

1 семестр

6.2.1.  Векторная алгебра. Линейная алгебра.

6.2.2.  Предел. Производные.

2 семестр

6.2.3.  Вычисления неопределенных интегралов.

6.2.4.  Определенный интеграл. Площадь фигур, длина дуги, объем тел вращения.

3 семестр

6.2.5.  Дифференциальные уравнения первого порядка.

6.2.6.  Дифференциальные уравнения второго порядка.

4 семестр

6.2.7.  Комбинаторика, теория графов, алгебра логики

6.2.8.  Исчисления высказываний, предикатов, логический вывод

На коллоквиум выносятся следующие темы:

1 семестр

6.2.9.  Векторная алгебра. Линейная алгебра.

2 семестр

6.2.10.  Функции нескольких переменных.

3 семестр

6.2.11.  Кратные интегралы и элементы теории поля.

4 семестр

6.2.12.  Сетевое планирование.

Расчетно-практические работы содержат темы:

1 семестр

6.2.13.  Применение систем линейных уравнений в экономике

2 семестр

6.2.14.  Метод наименьших квадратов. Применение определенного интеграла в экономике.

3 семестр

6.2.15.  Динамические распределенные модели в экономике.

4 семестр

6.2.16.  Сетевое планирование.

6.2.17.  Доказательства с использованием метода резолюций. Нечеткие алгоритмы

2 Семестр

Зачет.

3 Семестр

Зачет

6.3. Итоговый контроль

1 Семестр

Экзамен.

4 Семестр

Экзамен.

7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.

7.1. Основная литература

1.  Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления.

2.  Высшая математика для экономистов: Учебн. пособие для вузов/ Под ред. проф. . – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. – 439 с.

3.  , , Матвеев интегрального исчисления: Учебное пособие. Воронеж. госуд. техн. акад., Воронеж, 1999. – 68 с.

4.  Курс лекций по высшей математике для экономических специальностей: Учеб. пособие / , , ; Воронеж. гос. технол. акад. Воронеж, 20с.

5.  , Осипова дискретной математики: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МАИ, 199с.

6.  Дифференциальное исчисление функции одной и многих переменных: Методические указания к контрольной работе № 2 по математике /Воронеж. гос. технол. акад.; Сост. , , . Воронеж, 20с.

7.  Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия: Методические указания к контрольной работе № 1 по математике /Воронеж. гос. технол. акад.; Сост. , , . Воронеж, 20с.

8.  Интегральное исчисление и теория поля: Методические указания к самостоятельному выполнению контрольной работы по математике /Воронеж. гос. технол. акад.; Сост. , , . Воронеж, 20с.

9.  Ряды. Дифференциальные уравнения: Методические указания к самостоятельному выполнению контрольной работы по математике /Воронеж. гос. технол. акад.; Сост. , , . Воронеж, 20с.

10.  Методические указания и контрольные задания по курсу "Выпуклые структуры в математической экономике" для студентов заочной формы обучения экономических специальностей. / Воронеж. гос. технол. акад.; Сост. профессор , доцент , ассистент , ассистент . Воронеж, 19с.

7.2  . Дополнительная литература:

1. Щипачев математика. М., Высш. шк., 19с.

2.  Пискунов и интегральное исчисление для втузов. М.: Наука, 19т.

7.3.Методические материалы преподавателю.

Основное внимание следует уделить следующим направлениям изложения курса математики:

1.  Математика, как всякая наука, имеет свою внутреннюю структуру и внутреннюю логику. Поэтому важна логическая структура курса. При изложении курса математики важно, чтобы студенты усвоили внутреннюю логику предмета, ибо только тогда они будут в состоянии овладеть методами и методологией математики, которые позволят быстрее закрепить навыки по практическому применению полученных знаний.

2.  Нужно установить оптимальный уровень логической строгости изложения предмета, позволяющий разрешить противоречие между необходимым объемом знаний с одной стороны и сокращения содержания учебных программ, вызванных уменьшением количества часов в учебных планах, с другой стороны.

3.  Все время придерживаться четкости и однозначности формулировок всех определений, основных фактов курса, теорем и их доказательств, их полноты и продуманности. Некорректные формулировки не только препятствуют математической интуиции, логике и общей научной культуре, но и ведут к неверному представлению об окружающем мире и сущности математики.

4.  Необходима четкость постановки каждой задачи, логики рассуждений, аккуратное и грамотное применение математического аппарата.

5.  Последовательное и строгое введение новых понятий и мотивированное изучение их свойств является экономным и эффективным способом обучения и, тем самым, определяет важную составляющую интенсификации обучения математике. Разъяснение новых понятий и методов следует демонстрировать на достаточном числе примеров.

6.  Необходимо развивать интуицию у студента на основе точного знания. В математике интуиция играет важную роль. Только интуитивно можно верно предугадать результат при последовательном восприятии целой цепочки причинно-следственных связей.

7.  При проведении практических занятий рекомендуется сочетать решение типовых примеров с более интересными задачами такими, что их содержание не только повторяется, но и, разворачиваясь, усложняется с повышением уровня.

8.  Самостоятельная работа на каждом уровне освоения учебного материала должна состоять не только в приобретении навыков решения типовых задач, но и в закреплении теоретического материала курса путем написания кратких докладов по изучаемым темам. Наиболее удачные доклады целесообразно заслушивать на семинарах кафедры ПМЭММ.

7.4. Обучающие, контролирующие, расчетные компьютерные программы и другие средства освоения дисциплины.

1.  Интегрированная среда Вог1аnd С++.

2.  Интегрированная среда МаthСАD.

Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности подготовки дипломированного специалиста 010502 «Прикладная информатика (в экономике)»

Программу составили ______________________ ,

профессор. каф. ПМЭММ ВГТА

______________________ ,

доцент. каф. ПМЭММ ВГТА

8. Приложение. Список вопросов по курсу математики.

1 курс, 1 семестр

Вопросы к коллоквиуму

1.  Векторы и векторное пространство.

2.  Основные операции над векторами в координатной форме.

3.  Размерность и базис векторного пространства.

4.  Евклидово пространство.

5.  Преобразования системы координат.

6.  Основные сведения о матрицах.

7.  Операции над матрицами.

8.  Матричная запись систем линейных уравнений.

9.  Определители.

10.  Свойства определителей.

11.  Обратная матрица.

12.  Системы линейных уравнений, основные понятия и определения

13.  Анализ систем линейных уравнений.

14.  Методы решения систем линейных уравнений.

15.  Примеры использования систем линейных уравнений для решения экономических задач.

16.  Скалярное произведение и его свойства.

17.  Векторное произведение.

18.  Уравнение прямой линии на плоскости. Задачи на прямую линию на плоскости.

19.  Кривые второго порядка. Приведение к каноническому виду.

20.  Уравнение прямой линии в пространстве. Задачи на прямую линию в пространстве.

21.  Прямая и плоскость.

22.  Поверхности вращения. Поверхности, задаваемые уравнениями второго порядка. пп

1.1.1.  Вопросы к экзамену

1. Геометрический анализ систем линейных уравнений. Основное понятие числовых множеств. Свойства функций.

2. Классификация функций. Графики основных элементарных функций.

3.  Интерполирование функций. Определитель Вандермонда.

4.  Интерполяционный полином Лагранжа.

5.  Понятие предела функции.

6.  Бесконечно малые, бесконечно большие величины. Свойства бесконечно малых величин.

7.  Свойства пределов.

8.  Признаки существования пределов.

9.  Первый и второй замечательные пределы.

10.  Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.

11.  Свойства непрерывных функций.

12.  Вычисление пределов, приемы раскрытия неопределенностей.

13.  Производная функции, дифференцируемость функции, геометрический смысл.

14.  Таблица производных. Правила вычисления производной.

15.  Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференцала.

16.  Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

17.  Теорема Ролля.

18.  Теорема Ферма.

19.  Теорема Лагранжа.

20.  Правило Лопиталя раскрытия неопределенности.

21.  Формула Тейлора.

22.  Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значение.

23.  Интервалы выпуклости и вогнутости функции. Точка перегиба.

24.  Асимптоты графика функции.

1 курс, 2 семестр

Вопросы к коллоквиуму

1.   Предел и непрерывность функции многих переменных.

2.   Частные производные и производные по направлению.

3.   Градиент. Касательная плоскость. .

4.   Производная функции, заданной неявно.

5.   Дифференциал функции двух переменных.

6.   Дифференциал высшего порядка.

7.   Формула Тейлора функции двух переменных.

8.   Локальный экстремум функции двух переменных.

9.   Условный экстремум функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа.

10.   Евклидово n-мерное пространство.

11.   Касательная и нормальная плоскость к кривой.

12.   Кривизна, радиус кривизны кривой.

13.   Плоская кривая. Эволюта и эвольвента.

14.   Гладкая поверхность. Ориентируемая и неориентируемая поверхность. Криволинейные координаты.

15.   Замена переменных в частных производных.

1.2.1. Вопросы к зачету.

1.   Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Табличные интегралы.

2.   Замена переменной и интегрирование по частям.

3.   Методы интегрирования. Дробно-рациональная функция.

4.   Иррациональные интегралы.

5.   Тригонометрические интегралы..

6.   Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.

7.   Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла.

8.   Методы интегрирования определенного интеграла..

9.   Теоремы об оценках.

10.   Теорема о среднем значении.

11.   Определения и свойства несобственных интегралов.

12.   Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов.

13.   Критерий сходимости несобственных интегралов. Абсолютная сходимость несобственных интегралов.

14.   Применение определенных интегралов к геометрическим задачам. Вычисление площадей.

15.   Применение определенных интегралов к геометрическим задачам. Вычисление объемов.

16.   Применение определенных интегралов к геометрическим задачам. Длина дуги (декартовы, параметрические и полярные координаты).

2 курс, 1 семестр

Вопросы к коллоквиуму

1.  Определение многомерного интеграла и свойства.

2.  Геометрический и физический смысл двойного и тройного интеграла (площадь, объём, масса).

3.  Оценки для многомерного интеграла. Теорема о среднем.

4.  Замена переменной в многомерном интеграле. Якобиан преобразования.

5.  Цилиндрические координаты.

6.  Сферические координаты.

7.  Криволинейные интегралы первого и второго рода на плоскости.

8.  Поверхностные интегралы первого и второго рода.

9.  Криволинейные интегралы второго рода. Формула Грина.

10.  Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

11.  Поток векторного поля через поверхность. Формула Остроградского

12.  Формулы Грина интегрирования по частям.

13.  Теорема Остроградского.

14.  Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса.

15.  Дифференциальные операторы. Дивергенция, ротор, градиент.

16.  Полевые дифференциальные операции второго порядка.

2.1. Вопросы к зачету

1. Определение ряда, сходимость, остаток.

2.  Свойства сходящихся радов. Критерий Коши сходимости ряда. Гармонический ряд.

3.  Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

4.  Интегральный признак сходимости знакопостоянного ряда.

5.  Признаки Абеля и Дирихле сходимости числового ряда.

6.  Знакопеременный ряд. Признак Лейбница.

7.  Функциональные ряды. Равномерная схо­димость.

8.  Дифференцируемость и интегрируемость функционального ряда.

9.  Степенные ряды. Теорема Абеля. Действительные аналитические функции.

10.  Формула Тейлора и ряды Тейлора.

11.  Комплексные числа. Формула Эйлера.

12.  Определение ряда Фурье. Комплексная запись рядов Фурье.

13.  Коэффициенты ряда Фурье.

14.  Сходимость рядов Фурье. Теорема Дирихле.

15.  Ряды Фурье в случае произвольного интервала.

16.  Общие понятия теории дифференциальных уравнений.

17.  Теорема Коши существования и единственности решения дифференциальных уравнений 1 порядка.

18.  Методы решений дифференциальных уравнений (разделение переменных, однородные дифференциальные уравнения, линейные, уравнение Бернулли)

19.  Уравнения в полных дифференциалах.

20.  Дифференциальные уравнения второго порядка сводимые к первому.

21.  Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

22.  Фундаментальные решения. Определитель Вронского.

23.  Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

24.  Метод вариации произвольных констант.

25.  Системы дифференциальных уравнений.

2 курс, 2 семестр

Вопросы к коллоквиуму

1.  Конечные множества и операции над ними.

2.  Правила суммы, произведения.

3.  Количество подмножеств данного множества. Сочетания.

4.  Упорядоченные множества. Размещения, перестановки,.

5.  Прямое произведение множеств.

6.  Разбиения, полиномиальная формула.

7.  Формула включений и исключений.

8.  Обыкновенный граф. Подграф.

9.  Маршруты. Связность.

10.  Степень.

11.  Операции над графами.

12.  Экстремальные графы.

13.  Сетевой график. Сетевое планирование.

2.2. Вопросы к экзамену

1.  Высказывания. Их истинность, ложность.

2.  Связь высказываний и логические функции.

3.  Булева алгебра. Эквивалентность.

4.  Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы.

5.  Высказывания, предикаты, логические связки.

6.  Основные правила вывода. Метод резолюций.

7.  Операции навешивания кванторов.

8.  Нечеткие множества. Основные характеристики нечетких множеств.

9.  Методы построения функции принадлежности нечетких множеств.

10.  Операции над нечеткими множествами.

11.  Нечеткие отношения.

12.  Носитель нечеткого отношения.

13.  Операции над нечеткими отношениями.

14.  Композиция двух нечетких отношений.

15.  Нечеткая и лингвистическая переменные.

16.  Нечеткие переменные и нечеткая логика.

17.  Композиционное правило вывода в нечеткой логике.

Вопросы составил ,

доцент кафедры ПМиЭММ