| Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента Ельцина» Институт «Высшая школа экономики и менеджмента УрФУ» |
ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ НА ПРИЗЫ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ ЭКОНОМИКИ И МЕНЕДЖМЕНТА УРАЛЬСКОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА
Февраль 2012 года
Ответы и критерии оценки
5-6 класс.
1. Первый вторник месяца Митя провел в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника – в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провел во Пскове, а первый вторник после первого понедельника – во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?
Решение: из условия следует, что каждый из двух месяцев начинался со вторника, что может произойти, если в первом месяце 28 дней, то есть это февраль невисокосного года. Тогда нетрудно вычислить, что в Смоленске Митя был первого февраля, в Вологде – восьмого февраля, во Пскове – первого марта и во Владимире – восьмого марта.
Критерии:
Ответ без пояснений – 4 балла.
Полное решение – 5 баллов.
2. Среди 40 кувшинов, с которыми атаман разбойников приехал в гости к Али-Бабе, нашлись два кувшина разной формы и два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно и разной формы и разного цвета.
Решение: выберем два кувшина разной формы. Если они разного цвета, то задача решена. Если они одинакового цвета, то рассмотрим третий кувшин другого цвета. Он обязан отличаться по форме хотя бы с одним из двух первых кувшинов.
Критерии:
Нарисован или описан конкретный пример – 1 балл.
Полное решение - 5 баллов.
3. Решите ребус: БАО*БА*Б=2002.
Решение: Если Б>1, то БА>20 и БАО>200, из чего следует, что БАО*БА*Б>4000, что невозможно. Значит Б=1, а значит 10<БА<20. Далее, 2002=2*7*11*13, из чего следует, что БА может быть только 11, 13 или 14. Проверка показывает, что всего один вариант дает ответ: 143*14*1.
Критерии:
Доказано, что Б=1 – 2 балла.
Указано, что 2002=2*7*11*13 – 2 балла.
Приведен ответ без полного доказательства: 4 балла.
Полное решение: 5 баллов.
4. В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?
Решение: после каждого боя один из боксеров выбывает, поэтому для того, чтобы остался один, нужно минимум 49 боев. С другой стороны, нетрудно придумать схему с 49 боями, например, первый сражается со вторым, победитель боя сражается с третьим, победитель этого боя сражается с четвертым и т. д.
Критерии:
Указан ответ, но не показано, что 49 – наименьшее число боев - 2 балла
Полное решение – 5 баллов.
5. Используя пять двоек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 1 до 15. Например, 18=2*2*2*2+2. Старайтесь использовать наименьшее количество двоек.
Решение: Это можно сделать, например, так:
Критерии:
За неверное представление числа, или за его отсутствие, или за использование более пяти двоек снимается один балл.
Все числа правильно и корректно представлены – 5 баллов.
6. Какое число нужно вычесть из числителя дроби 
и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить 
?
Решение: заметим, что сумма числителя и знаменателя всегда одинакова и равна 1000. Поэтому нужно лишь разделить число 1000 на два слагаемых, которые относятся к друг другу как . Нетрудно видеть, что это 
, а искомое число – 437.
Критерии:
Есть ответ 437 – 5 баллов.
