Модели сетевого планирования, анализа и управления (стр. 2 )

Тр ( i ) =max t (L n i) (3)

Ln i

где

Ln i – любой путь, предшествующий i-му событию, т. е. путь от исходного до i-го события сети.

Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а, следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок наступления события j удобно находить по формуле:

Тр ( j ) = max [Тр (i) + t ( i - j )] (4)

i,j

Ранний срок наступления исходного события равен 0.

2 Поздний срок наступления i-го события

Тп ( i )= t кр - max t (Lc i), (5)

Lc i

где

Lc i – любой путь, следующий за i-м событием, т. е. путь от i-го события до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующих путей, а, следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок наступления события i удобно находить по формуле:

Тп ( i ) = min [Тп ( j )+t ( i - j )] (6)

i,j

1.  Резерв времени R( i ) i-го события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая увеличения срока выполнения всего проекта, и определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

R( i ) = Тп (i) - tр ( i ) (7)

4. Ранний срок t рн ( i – j ) начала работы (i,j) совпадает с ранним сроком наступления начального (предшествующего) события i, т. е.:

Tрн ( i – j ) = Тр ( i ) (8)

5. Ранний срок t ро ( i , j ) окончания работы (i-j) определяется по формуле:

t ро ( i, j ) = t рн ( i – j ) + t ( i – j ) = Tр ( i ) + t ( i – j ) (9)

6. Поздний срок t по ( i – j ) окончания работы (i-j) определяется поздним сроком наступления конечного (последующего) события j, т. е.:

t по ( i – j ) = Tп ( j ) (10)

7. Поздний срок t пн (i-j) начала работы (i-j) определяется по формуле:

t пн ( i - j ) = t по ( i - j ) – t ( i - j ) = Tп ( j ) – t ( i - j ) (11)

8. Полный резерв времени Rп ( i - j ) работы (i-j) показывает, на сколько можно увеличить время выполнения данной работы при условии, что срок выполнения проекта не изменится. Полный резерв Rп( i - j ) определяется по формуле:

Rп ( i - j ) = Tп ( j ) – Tр ( i ) – t ( i - j ) (12)

9. Частный резерв времени первого вида R1 ( i - j ) работы (i-j) есть часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. R1(i-j) находится по формуле:

R1 ( i - j ) = Tп ( j ) – Tп ( i ) - t ( i - j ) (13)

Этот резерв может быть использован на увеличение продолжительности данной и последующих работ без затрат резерва времени предшествующих работ.

10. Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени Rc ( i - j ) работы (i-j)представляет часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события.

Rc ( i - j ) находится по формуле:

Rc ( i - j ) = Tр ( j ) – Tр ( i ) – t ( i - j ) (14)

Этот резерв может быть использован на увеличение продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ.

11. Независимый резерв времени Rн ( i - j ) работы (i-j)- часть полного резерва времени, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие работы начинаются в ранние сроки. Rн ( i - j ) находится по формуле:

Rн ( i - j ) = Tр ( j ) – Tп ( i ) – t ( i - j ) (15)

Этот резерв может быть использован для увеличения продолжительности только данной работы.

12. Продолжительность полного (от исходного до завершающего события) пути t(L) определяется суммой продолжительностей работ, принадлежащих пути.

13. Продолжительность критического пути tкр определяется наибольшим значением продолжительности полного пути. Критический путь определяет возможность выполнения в желаемые сроки. Задержка в реализации любой из работ, лежащих на критическом пути, ведет к нарушению сроков выполнения данного проекта. Т. е. основным признаком определения критического пути является:

а) отсутствие резерва времени у событий одного из полных путей;

б) отсутствие резерва времени у работ, принадлежащих данному пути.

Признак б) целесообразно использовать, когда сеть содержит несколько критических путей.

14. Резерв времени пути R (L) определяется как разница между длиной критического и рассматриваемого пути

R (L) = t кр - t (L) (16)

Он показывает, насколько в сумме могут быть увеличены продолжительности всех работ, принадлежащих этому пути.

Пример 3.

Используя значения ожидаемого времени выполнения операций, рассчитанные в примере 2, определим временные параметры сетевого графика, представленного на рис.4.

В первую очередь, необходимо определить временные параметры событий. При определении ранних сроков наступления событий Тр ( i ) двигаемся по СГ слева направо и используем формулы (3) и (4). Для нулевого события i = 0 Тр(0) =0.

Для i =1 Тр(1) = Тр(0) + t=0+4¹4, т. к. для первого события существует только один предшествующий путь Ln1: 0-1.

Аналогично, для i =2 и i =3: Тр(2) = Тр(1) + t (1-2) = 4+3 =7, Тр(3) = Тр(2) + t (2-3) = 7+2=9.

Для i =4 Тр(4) = max{Тр(1) + t (1-4) ; Тр(3) + t (3-4)}=max{4+8;9+0}= max{12;9}=12, т. к. для события 4 существует два предшествующих пути Ln 4: и 0-1-4 и предшествующих события 1 и 3.

Аналогично:

Тр (5) = max{Тр(2) + t; Тр(3) + t} max{7+5;9+4}=13

Тр (6) =Tp(4) + t=12+5=17

Tp (7) = max{Tp(5) + t; tp (6) + t}= max{13+2;17+0}=17

Tp (8) = max{Tp(6) + t; Tp(7) + t}= max{17+6;17+4}=23

При определении поздних сроков наступления событий Тп ( i ) двигаемся по сети в обратном направлении, т. е. справа налево, и используем формулы (5) и (6). Для i = 8 (завершающего события) поздний срок наступления равен его раннему сроку, т. е. Тп(8) =23. Для i = 7 Тп(7) = Тп (8) - t =23-4=19, т. к. для события 7 существует только один последующий путь Lc7 : 7-8.

Для i = 6 Тп (6) =min{ Tп(7) - t ; Тп(8) - t }= min{17-0 ; 23-6}=17, т. к. для события 6 существует два последующих пути Lc 6 : 6-7-8 и 6-8.

Аналогично:

Тп (5) = Тп (7) - t =19-2=17

Тп (4) = Тп (6) - t =17-5=12

Тп (3) = min{Тп (5) - t ; Тп (4) - t }= min{17-4;12-0}=12

Тп (2) = min{Тп (5) - t ; Тп (3) - t }= min{17-5;12-2}=10

Тп (1) = min{Тп (4) - t ; Тп (2) - t }= min{12-8;10-3}=4

Тп (0) = Тп t = 4 – 4 = 0

По формуле (7) определяем резервы времени событий: R(0) = 0, R(1) = 0, R(2) =10 - 7=3, R(3) =12-9=3, R(4) = 0, R(5) =17-13= 4, R(6) =0, R(7) =19 -17=2, R(8) = 0.

Рассчитанные временные параметры событий целесообразно представить на графике в следующем виде:

i

Tp ( i ) tп ( i )

R i

Рисунок 6 Образец сетевого графика

Вычисление временных параметров работ покажем на примере работы (2-5):

1. Ранний срок начала работы по формуле (8): tрн (2-5) = Тр(2) = 7

2. Ранний срок окончания работы по формуле (9): tро (2-5) = t рн (2-5) + t (2-5) =7+5=12

3. Поздний срок окончания работы по формуле (10): tпо (2-5) = Тп (5) =17

4. Поздний срок начала работы по формуле(11): tпн (2-5) = tпо (2-5) - t (2-5) =17-5=12

5. Полный резерв работы по формуле (12):Rп(2-5) = Тп (5) - Тр(2) - t (2-5) =17-7-5=5, т. е. срок выполнения данной работы можно увеличить на 5 недель, при этом срок выполнения проекта не изменится.

6. Частный резерв времени работы первого вида по формуле (13): R1= Tп (5) - Тп (2) - t=17-10 -5= 2 нед., т. е. при сохранении общего срока выполнения проекта выполнение работы (2-5) и любых последующих работ может быть задержано на 2 недели без нарушения резерва времени предшествующей ей работы (1-2).

7. Частный резерв времени второго вида (свободный резерв) по формуле (14):

Rc= Tр(5) - Тр(2) - t =13-7-5=1 нед., т. е. при сохранении общего срока выполнения проекта выполнение работы (2-5) и предшествующих ей работ может быть задержано на 1 неделю без нарушения резервов времени последующих работ.

8. Независимый резерв времени работы по формуле (15):

Rн(2-5) = Тр (5) - Тн (2) - t=13= - 2 нед.

Отрицательная величина резерва свидетельствует о том, что увеличение продолжительности работы (2-5) при условии окончания предыдущей работы (1-2) в поздний срок и начала последующей работы (5-7) в ранний срок невозможно.

Результаты расчетов временных параметров всех работ приведены в табл.4.

Таблица 4 Расчет временных показателей

Код работ ( i-j )	Продолжительность t ( i - j )	Сроки начала и окончания работ	Резервы времени работ
t рн (i - j)	t ро (i - j)	t пн (i - j)	t по (i - j )	Rп (i - j)	R1 (i - j)	Rс (i - j)	Rн (i - j)
0-1	4	0	4	0	4	0	0	0	0
1-2	3	4	7	7	10	3	3	0	0
1-4	8	4	12	4	12	0	0	0	0
2-3	2	7	9	10	12	3	0	0	-
2-5	5	7	12	12	17	5	2	1	-
3-5	4	9	13	13	17	4	1	0	-
4-6	5	12	17	12	17	0	0	0	0
5-7	2	13	15	17	19	4	0	2	-
6-8	6	17	23	17	23	0	0	0	0
7-8	4	17	21	19	23	2	0	2	0

Для определения продолжительности всех полных путей целесообразно построить граф полных путей (рис.7) .

 

Рисунок 7 Образец графа полных путей

Таблица 5 Показатели сетевого графика

Полные пути	Продолжительность полного пути t ( L ) , нед.	Резерв времени пути R (L) , нед.
L 1:	18	5
L 2: -8	19	4
L 3: -7-8	18	5
L 4: -8	20	3
L 5: -8	21	2
L 6:	23	-

Очевидно, что путь L6 имеет максимальную продолжительность. Он является критическим. Это подтверждается тем, что работы, лежащие на этом пути (0,1;1,4;4,6;6,8), а также критические события (0,1,4,6,8) резервов времени не имеют (табл.5 , рис.7 ). Имея продолжительность критического пути tкр=23 нед., используя формулу (16), найдем резервы времени путей: R (L1) ==5 нед., R (L 2) =23 -19 = 4 нед. и т. д.