Модели сетевого планирования, анализа и управления (стр. 3 )

5.2. Оценка вероятности выполнения проекта

Анализируемый СГ представляет собой сеть не с детерминированными (фиксированными), а со случайными продолжительностями работ. Они характеризуются своими числовыми характеристиками - средним значением и дисперсией .

Поэтому все временные параметры данного СГ являются также средними значениями соответствующих случайных величин: средним значением данного срока наступления события , средним значением полного резерва времени работы , средней длиной критического пути . И, естественно, что в каждом из вариантов выполнения проекта эти величины могут заметно отклоняться от средних значений. Поэтому, весьма важным моментом становится оценка вероятности того, что наступление наиболее важных событий, а также срок выполнения проекта tкр не превзойдет заданного директивного срока Тд.

Поскольку время выполнения операций и проекта в целом являются случайными величинами, имеющими нормальный закон распределения, для оценки вероятности выполнения заданных директивных сроков наступления событий может быть использована формула:

PR=Ф (z), (17)

где Ф (z) - значение нормальной функции распределения вероятностей,

где (18)

Числитель формулы показывает резерв времени между запланированным (директивным) и ранним сроком наступления события. Эта величина может быть как положительной, так и отрицательной.

Знаменатель получается путем суммирования дисперсий продолжительностей всех тех операций, которые использовались при вычислении раннего срока наступления соответствующего события Тр, и извлечения квадратного корня из полученной суммы.

При использовании формулы применительно к времени выполнения всего проекта, можно сказать, что:

а) вероятность менее 0,25 (25%) свидетельствует о том, что руководитель, реализующий проект, отказавшись от пересмотра календарного плана, берет на себя значительный риск в осуществлении проекта к директивной дате;

б) вероятность 0,5 (50%) соответствует высокому качеству планирования и является показателем того, что вы должны уложиться в директивный срок;

в) вероятность более 0,6 (60%) указывает на расточительное использование ресурсов.

Пример 4

Используя данные примера 2 и 3, оценим и проанализируем:

а) вероятность наступления события 5 на 15 неделе реализации проекта;

б) вероятность выполнения проекта в срок 20 недель.

а) Ранний срок наступления 5 события соответствует 13-й неделе, а директивный срок -15-й. Согласно формуле (18) имеем:

По вычисленному значению z при помощи таблицы значений нормальной функции распределения вероятностей (прил. ) находим, что вероятность наступления события 5 в запланированный срок составляет 0,9713 или 97,13%. Иными словами, в 9713 случаях из 10000 для события 5 запланированный срок в 15 недель с начала проекта будет соблюдаться.

б) Критический срок выполнения проекта tкр равен 23 недели, а запланированный срок - на 3 недели меньше. Вероятность того, что проект можно выполнить за 20 недель, равна:

или 3,59%

Вероятность 0,0359 (3,59%) чрезвычайно мала. Поэтому, для соблюдения директивного срока, целесообразно существенно изменить план реализации проекта. Для этого, в первую очередь, необходимо пересмотреть временные оценки критических операций, имеющих наибольшую степень неопределенности. В нашем примере это работа 1-4. Допустим, в результате привлечения дополнительных средств на выполнение этой работы оптимистическая оценка продолжительности этой работы снизилась до 4,5 недель, наиболее вероятная до 5,5 недель, а пессимистическая - до 9,5 недель. Следовательно, ожидаемая продолжительность этой операции согласно формуле будет равна:

недель,

а ее дисперсия:

недель 2

Поскольку работа 1-4 относилась к критическому пути, необходимо проверить, не появился ли, в связи с уменьшением продолжительности работы 1-4, новый критический путь. Для этого достаточно рассчитать временные параметры всех событий.

Очевидно, что критический путь определяется теми же событиями 0,1,4,6,8, а продолжительность его снизилась до 21 недели. В связи с этим:

Согласно полученному значению аргумента z, вероятность завершения проекта в запланированный срок, при условии проведенного изменения плана (см. прил.2 ), равна 0,2,2%). Чтобы увеличить этот показатель можно произвести подобные действия в отношении работы 4-6 (дисперсия равна 1), либо, без затрат дополнительных средств, перевести специалистов с некритической операции, имеющей резервы времени (например, 2-5), на данную критическую (4-6), что позволит увеличить продолжительность некритической операции и снизить продолжительность критической.

6 Оптимизация сетевого графика

6.1 Оптимизация сетевого графика по трудовым ресурсам

СГ отражает логическую последовательность выполнения операций, входящих в проект. При этом, выполнение любой операции может производиться в интервале времени между ее ранними и поздними сроками. Соблюдение ранних сроков имеет свое преимущество - резерв времени на непредвиденные обстоятельства, возникающие при реализации любого проекта.

В то же время, этот вариант может оказаться нецелесообразным, поскольку не будет отвечать принципу эффективности использования ресурсов (в частности, трудовых), т. е. в определенные дни реализации проекта имеющиеся "рабочая сила" будет перегружена, в другие же дни - недоиспользована. Для ликвидации подобной аритмии необходимо в пределах существующих резервов времени отсрочить выполнение каких-либо операций.

Пример 5.

Используя данные о потребности в работниках для выполнения каждой операции табл.6, произведем оптимизацию СГ, представленного на рис.9 при условии наличия 8 чел.

Таблица 6 Исходные данные для расчета

Операция	А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К
Потребность в работниках	3	2	5	6	3	4	5	4	3	2

Для решения подобной задачи, можно использовать один из простейших алгоритмов, в котором используются и графики ресурсов, и метод "проб и ошибок". В целях упрощения построения графика ресурсов строим масштабный СГ по ранним срокам (рис.9). Количество работников, требуемых для осуществления каждой операции, складывается по всем операциям, выполняемым одновременно. Суммарная потребность в каждый момент времени фиксируется в виде столбика (рис.10). Как следует из построенного графика, иногда потребности в рабочей силе не превышают ее наличие, но в тоже время общее число требуемых человеко-часов не превосходит их наличного количества. В период с 7 по 12 и с 13 по 15 недели идет превышение наличия рабочей силы. Чтобы это ликвидировать, необходимо пересмотреть сроки выполнения операций в эти промежутки времени. Прежде всего, следует начать с того интервала времени, на котором наибольшее превышение лимита. Это интервал с 7 по 9 неделю. В этот период одновременно выполняются работы (2-5), (2-3) и (1-4), но пересматривать сроки можно только у работ, имеющих резервы времени: у работ (2-5) он равен 5 недель, а у (2-3)-3. Т. е. можно сказать, что начало выполнения работы (2-5) можно задержать от 1 до5 недель, а работы (2-3) - до 3 недель. Необходимо проверить и ту, и другую возможность. Начнем с работы (2-3). Чтобы ликвидировать пиковый расход рабочей силы, начало работы (2-3) следует отложить как минимум на 2 дня, что позволяет ее резерв. Последующие работы (3-5) и (4-7) также меняют срок своего начала (рис.11).

В результате численность в период с 7 по 9 неделю, и с 13 по 15 неделю снизилась до 8 чел., с 15 по 17 - увеличилась до 9 чел., с 9 по 11 неделю - до14 чел., с 11 по 12 неделю не изменилась (12 чел.).

Полученный план лучше предыдущего, но не является оптимальным, т. к. пиковый расход рабочей силы не ликвидирован. Дальнейшее изменение плана путем отсрочки работы (2-3) на 1 неделю (остаток резерва) к положительным результатам не приведет, поскольку пиковый расход длится 2 недели. Обратим внимание на работу (2-5).

 

Рис.10

 

Рис.11

Согласно плану на рис.11 данную работу необходимо прекратить через 9 недель и перенести срок ее продолжения на 3-5 недель.

Меньший срок позволит снизить перерасход ресурсов с 9 по 11 , и с 11 по 12 неделю, соответственно до 11 и 9 человек, но увеличит расход ресурсов на период 12 по 15 недели до 11 человек.

Если использовать резерв полностью, то будет получен более приемлемый вариант:

- перерасход ресурсов будет наблюдаться с 9 по 12 и с 14 по 15 недели, но ликвидировать его без изменения критического срока невозможно. Т. е. при наличии 8 человек вариант выполнения проекта за 23 недели, представленный на рис.12 является оптимальным.

Для предотвращения срыва сроков выполнения операций с 9 по 11 и с 14 по 15 недели необходимо привлечь к работе дополнительно 3-х человек, а с 11 по 12 неделю - одного.

Альтернативой данной рекомендации может быть введение доплаты за совмещение имеющимся работникам.

Если же соблюдение срока в 23 недели не является строго обязательным, а дополнительные затраты исключены, то при наличии 8 человек ожидаемая скорректированная продолжительность выполнения проекта будет составлять 25 недель (рис. 13) .

 

Рис.12

Рис. 13

6.2. Оптимизация стоимости и времени выполнения проекта

Общая стоимость проекта зависит от стоимости выполнения каждой операции:

(19)

В то же время стоимость выполнения каждой операции тесно связана с ее продолжительностью - уменьшение стоимости операции пропорционально увеличению ее продолжительности, и наоборот. В связи с этим существуют два направления оптимизации:

а) минимизация времени выполнения проекта;

б) минимизация стоимости проекта при заданном времени выполнения.

Поскольку время выполнения проекта определяется критическим путем, минимизация времени выполнения сводится к переводу на ускоренные режимы выполнения операций критического пути. Косвенным последствием такой меры является увеличение стоимости операций и, как следствие, увеличение стоимости выполнения проекта на величину:

, (20)

где Dt y (i-j)-разница во времени между нормальным и ускоренным режимами выполнения (i-j);

hy(i-j) - удельные дополнительные затраты, д. е. в единицу времени.

При минимизации стоимости выполнения проекта производится перевод на замедленный режим операций, не влияющих на увеличение срока выполнения проекта, т. е. некритических. При этом экономия стоимости проекта составит:

, (21)

где Dt0(i-j) - разница во времени между нормальным и замедленным режимами выполнения операции (i-j),

h0(i-j)- удельная величина высвобождения средств, д. е. в единицу времени.

Стоимость выполнения любой операции состоит из условно постоянной и условно переменной компонент. Если в качестве последней рассматривать заработную плату работников, то удельные величины затрат и высвобождения средств при оптимизации СГ можно определить по формулам:

, (22)

, (23)

где r(i-j)- количество работников, выполняющих операцию (i-j);

Q- заработная плата одного работника, д. е. в единицу времени;

t(i-j)-нормальная продолжительность операции;

ty(i-j) - ускоренная продолжительность операции;

t0(i-j) - замедленная продолжительность операции.

В зависимости от конкретных целей указанные направления оптимизации могут осуществляться как по отдельности без взаимосвязи результатов, так и в последовательности "время - стоимость". Последнее будет означать комплексную оптимизацию, ее результатом будет организация выполнения проекта в минимальные сроки и с минимальными затратами.

Пример 6

Определим минимальное время выполнения проекта, заданного в примере №3 , и соответствующее ему минимальное значение стоимости.

Как уже отмечалось, общая продолжительность выполнения проекта определяется продолжительностью критического пути. И чтобы определить минимальное время выполнения проекта необходимо сократить продолжительность критических, а в отдельных случаях и не критических, работ. Данные об ускоренной продолжительности работ, а также расчет удельных величин дополнительных затрат приведены в табл.7.

Таблица 7 Исходные данные для расчетов

Операция	Нормальная продолжительность выполнения операции t , нед.	Абсолютное изменение продолжительности при ускорении Dt y, нед.	Ускоренная продолжительность выполнения операции t y, нед.	Необходимое количество работников	Удельная величина дополнительных затрат, д. е./нед.
0-1	4	1	3	3	12,50
1-2	3	1	2	2	16,67
1-4	8	3	5	5	18,75
2-3	2	1	1	6	150,00
2-5	5	2	3	3	20,00
3-5	4	2	2	4	50,00
4-6	5	2	3	4	26,67
5-7	2	1	1	5	125,00
6-8	6	2	4	2	8,33
7-8	4	2	2	3	33,50

Процесс оптимизации удобно осуществлять поэтапно в табличной форме (табл.8).

Таблица 8 Ускорение работ (форсирование)

Полные пути	Ускорение работ (форсирование)
6 - 8 Dt y= 2	0 - 1 Dt y= 1	1 - 4 Dt y= 2	1 - 4 1 - 2 Dt y= 1	4 - 6 3 - 5 Dt y= 1	4 - 6 3 - 5 2 - 5 Dt y= 1	Итого
L1: 0-1-2	18	18-1	17	17-1	16	16-1	15
L2: -8	19	19-1	18	18-1	17-1	16-1	15
L3: -7-8	18	18-1	17	17-1	16-1	15-1	14
L4: -8	20-2	18-1	17	17-1	16-1	15-1	14
L5:	21	21-1	20-2	18-1	17-1	16-1	15
L6:	23-2	21-1	20-2	18-1	17-1	16-1	15
Дополнительные затраты, д. е. D t y ( i - j ) × h y ( i - j )	16,66	12,50	37,50	35,42	76,67	96,67	275,4