Программа вступительного испытания по общеобразовательному предмету «Математика» (стр. 3 )

Задание	Ответ
В1	5
В2	5
В3	18
В4	192000
В5	12
В6	64
В7	-0,8
В8	3
В9	5
В10	0,92
В11	9
В12	2,4
В13	5
В14	1
С1	а) , б) .
С2	30о
С3
С4	1 или 7
С5
С6	а) 44; б) отрицательных; в) 17

Задание С1. а) Решите уравнение ; б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение.

а) Так как , , то , , .

Корни уравнения: ,

б) Корни уравнения изображаются точками А и В, а корни уравнения - точками С и D, промежуток изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: .

Ответ: а) , б) .

Другие решения пункта б).

б) Корни, принадлежащие промежутку , отберем по графику . Прямая у = 0 (ось Ох) пересекает график в единственной точке , абсцисса которой принадлежит промежутку .

Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку : .

Пусть , .

Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку : .

Промежутку принадлежат корни .

Задание С2. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы.

Решение.

Обозначим Н середину ребра ВС (см. рисунок). Так как треугольник АВС равносторонний, треугольник А1ВС – равнобедренный, отрезки АН и А1Н перпендикулярны ВС. Следовательно, ∠ А1НА – линейный угол двугранного угла с гранями ВСА и ВСА1.

Из треугольника А1АВ найдём: АА1 = 1.

Из треугольника АНВ найдём: АН = .

Из треугольника НАА1 найдём: tg ∠ А1HА = .

Искомый угол равен 30о.

Ответ: 30о.

Возможны другие формы записи ответа. Например:

а) ; б) рад; в) и т. п.

Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат.

Задание С3. Решите систему неравенств

Решение.

1. Неравенство запишем в виде .

Относительно неравенство имеет вид: , откуда получаем: , .

Значит, , .

2. Второе неравенство системы определено при т. е. при и .

При допустимых значениях переменной получаем:

,

С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: .

3. Сравним и . Так как , то , следовательно, .

Решение системы неравенств .

Ответ: .

Комментарий. Если обоснованно получены оба ответа: и , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что , то такое решение оценивается в 6 баллов.

Задание С4. На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой ВС.

Решение.

Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности.

Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A.

Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и ∠ В = 30о находим, что .

Так как ОА = R и АР = 1, получаем: , следовательно, .

Из прямоугольного треугольника OQE, в котором ∠ Е = 60о, находим:

.

В результате получаем уравнение:

.

Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение , решая которое находим два корня: , . Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см. рисунок б).

Ответ: 1 или 7.

Другое решение. Пусть точка Q касания окружности с прямой BC лежит на луче BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей

,

откуда .

Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC, проведённого через точку Q. Из прямоугольного треугольника BQO находим:

, тогда и .

Таким образом, точка O удалена от точек A, D и Q на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, О – центр искомой окружности, а её радиус равен 1.

Пусть теперь точка Q касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку Q перпендикулярно BC, пересекает прямую AB в точке H, а окружность вторично – в точке T. Тогда

, ∠ HBQ = ∠ ABC = 30о,

.

Если R – радиус окружности, то QT = 2R. По теореме о двух секущих HQ×HT=HA×HD, то есть 1×(1 + 2R) = (2 + 3)×3, откуда находим, что R = 7.

Ответ: 1 или 7.

Возможны другие формы записи ответа. Например: А) 1, 7; Б) радиус окружности равен 7 или 1.

Задание С5. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

Решение.

Функция f(x) имеет вид:

а) при : , а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии ;

б) при : , а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках:

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

2) Наименьшее значение функция f(x) может принять только в точках или , а если 4 – а Î [1; 7], то в точке х = 4 – а.

3) Наименьшее значение функции f(x) больше 1 тогда и только тогда, когда

Û Û Û Û Û Û Û .

Ответ: .

Задание С6. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Решение.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому

а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4. Поэтому - количество целых чисел - делится на 4. По условию , поэтому . Таким образом, написано 44 числа.

б) Приведём равенство к виду . Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.

воценка) Подставим в правую часть равенства , откуда . Так как , получаем: , , , ; то есть положительных чисел не более 17.

впример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число –8 и два раза написан 0. Тогда , указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Дополнительная рекомендация. Для проверки личной подготовленности к решению заданий базовой части экзамена рекомендуем воспользоваться открытым банком экзаменационных заданий (http://*****), заданий повышенного и высокого уровня сложности – порталом «РЕШУ ЕГЭ» или официальными сборниками для подготовки к экзамену.

5. Литература

Нормативная литература

1. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2013 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ: Утв. директором ФГБНУ «ФИПИ» 31.10.2012. – Режим доступа: http://*****/view/sections/226/docs/627.html.

Учебная и научная литература*

2. Александров : учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / , , . – М.: Просвещение, 1999. – 238 с.

3. Александров . 10-11 кл. (базовый и профильный уровни): учеб. / , , . – М.: Просвещение, 2006. – 240 с.

4. Алимов и начала математического анализа. 10-11 кл. (базовый уровень): учеб. / , , ёва и др. – М.: Просвещение, 2012. – 464 с.

5. Алимов и начала математического анализа. 10-11 кл. (базовый уровень): учеб. / , , и др. – М.: Просвещение, 2007. – 385 с.

6. Атанасян (базовый и профильный уровни): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / , , и др. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

7. Башмаков и начала анализа: учебник для 10-11 классов. – М.: Просвещение, 1992. – 351 с.

8. Башмаков . 10 класс (базовый уровень): учеб. / . – М.: Академия, 2012. – 304 с.

9. Башмаков . 11 класс (базовый уровень): книга для учителя : методическое пособие / . – М.: Издательский центр «Академия», 2010. – 128 с.

10. Башмаков . 11 класс (базовый уровень): учеб. / . – М.: Академия, 2012. – 320 с.

11. Башмаков (базовый уровень): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / . – М.: Просвещение,

12. Башмаков и начала математического анализа. 10 класс (базовый уровень): учеб. / . – М.: Дрофа, 2008. – 288 с.

13. Математические пятиминутки / Э. Берендс. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2013. – 368 с.

14. Виленкин и начала математического анализа. 10 кл. (профильный уровень): учеб. / , -Мусатов, . – М.: Мнемозина, 2011. – 352 с.

15. Виленкин и начала математического анализа. 10 кл. (профильный уровень): учеб. / , -Мусатов, . – М.: Мнемозина, 2011. – 304 с.

16. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра. Рабочая тетрадь / , , и др. – М.: МЦНМО, 2013. – 80 с.

17. Глейзер (базовый уровень): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / . – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 224 с.

18. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия. Рабочая тетрадь / , , . – М.: МЦНМО, 2013. – 176 с.

19. Гусев (профильный уровень): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / , , и др. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 311 с.

20. ЕГЭ 2012. Математика. Сдаем без проблем! / , , . – Ростов н/Д: Легион-М, 2011. – 288 с.

21. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С5. Задачи с параметрами / , , . – М.: МЦНМО, 2013. – 180 с.

22. Козлов , Алгебра и геометрия (базовый и профильный уровни): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / В. В., A. A. Никитин, B. C. Белоносов и др.; под ред. и A. A. Никитина. - М.: Русское слово, 2011.

23. Калинин (профильный уровень): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / , ёшин. - М.: МЦНМО, 2011. – 640 с.

24. Колмогоров и начала математического анализа (базовый уровень): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / , A. M. Абрамов, и др. - М.: Просвещение, 2008. – 384 с.

25. Колягин и начала математического анализа (базовый и профильный уровни): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / , , ёва, , . - М.: Мнемозина, 2009. – 368 с.

26. Колягин и начала математического анализа (базовый и профильный уровни): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / , ёва, и др.; под ред. . - М.: Просвещение, 2010. – 336 с.

27. Мордкович и начала математического анализа (профильный уровень): 10 кл. Часть 1: учебник / , ёнов. - М.: Мнемозина, 2009. – 160 с.

28. Мордкович и начала математического анализа (профильный уровень): 10 кл. Часть 2: задачник / , ёнов. - М.: Мнемозина, 2009. – 348 с.

29. Мордкович и начала математического анализа (профильный уровень): 11 кл. Часть 1: учебник / , ёнов. - М.: Мнемозина, 2009. – 160 с.

30. Мордкович и начала математического анализа (базовый уровень). Часть 1: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / . - М.: Мнемозина, 2009. – 399 с.

31. Муравин и начала математического анализа. 10 кл. (базовый уровень): учеб. / . - М.: Дрофа, 2008. – 288 с.

32. Муравин и начала математического анализа. 11 кл. (базовый уровень): учеб. / , . - М.: Дрофа, 2010. – 256 с.

33. Никольский и начала математического анализа (базовый и профильный уровни): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / , , H. H. Решетников и др. - М.: Просвещение, 20 с.

34. Никольский и начала математического анализа (базовый и профильный уровни): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / , , H. H. Решетников и др. - М.: Просвещение, 2009. – 464 с.

35. Нелин и начала математического анализа. 10 кл.: учеб. / , . - М.: Илекса, 2011. – 480 с.

36. Погорелов A. B. Геометрия (базовый и профильный уровни): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / . - М.: Просвещение, 2009. – 175 с.

37. Потоскуев . 10 кл. (углубленное и профильное обучение): учеб. / , . - М.: Дрофа, 2008. – 224 с.

38. Потоскуев . 11 кл. (углубленное и профильное обучение): учеб. / , . - М.: Дрофа, 2004. – 368 с.

39. Пратусевич и начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / , K. M. Столбов, . - М.: Просвещение, 2009. – 422 с.

40. Пратусевич и начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / , K. M. Столбов, . - М.: Просвещение, 2010. – 160 с.

41. ЕГЭ 2013. Математика. Типовые тестовые задания / , . – М.: Экзамен, 2013. – 55 с.

42. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства. Рабочая тетрадь / , ёров, , . – М.: МЦНМО, 2013. – 72 с.

43. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. Рабочая тетрадь / , , . – М.: МЦНМО, 2013. – 128 с.

44. Смирнова (базовый и профильный уровни). 10-11 кл.: учеб. / , . - М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.

45. Шарыгин . 10-11 кл. (базовый уровень): учеб. / . - М.: Дрофа, 2012. – 208 с.

46. Шабунин . Алгебра. Начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / , A. A. Прокофьев. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 424 с.

47. Шабунин . Алгебра. Начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / , A. A. Прокофьев. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 384 с.

48. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С1. Уравнения и системы уравнений. Рабочая тетрадь / , , . – М.: МЦНМО, 2013. – 176 с.

* При подготовке к экзамену можно пользоваться и другими учебниками и учебными пособиями, входящими в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.