Задания III тура Открытой международной студенческой Интернет-олимпиады по математике (2013 год)

Задания III тура

Открытой международной студенческой
Интернет-олимпиады по математике (2013 год)

Задание 1.

При исследовании эффективности новой модификации некоторого лекарства выделялись две одинаковые по количеству людей группы исследуемых: экспериментальная, в которой больные принимали новый вариант лекарства, и контрольная, в которой больные принимали старый вариант лекарства. В каждой группе отдельно для женщин и отдельно для мужчин оценивался процент выздоровевших в течение недели после начала приема лекарства. Известно, что и для женщин, и для мужчин процент выздоровевших в течение недели после начала приема лекарства в экспериментальной группе был выше, чем в контрольной.

Можно ли утверждать, что число людей из экспериментальной группы, выздоровевших в течение недели после начала приема лекарства, больше, чем в контрольной?

Ответ: нет, нельзя.

Задание 2.

Найти неопределенный интеграл

.

Ответ. .

Задание 3.

а) Найти площадь области, заданной неравенством: .

Ответ. 16

b) Найти объем области, заданной неравенством: .

Ответ. .

Задание 4.

Пусть A и B – две квадратные матрицы 3 – го порядка, все элементы которых – целые числа, и . Найти все возможные значения определителя (E – единичная матрица 3 – го порядка).

Ответ. .

Задание 5.

Пусть S – множество всех чисел вида: (x, y, z – попарно различные целые неотрицательные числа), записанные в порядке возрастания. Найти 100 – й элемент этого множества.

Ответ. 577.

Задание 6.

Известно, что транспонирование определителя можно рассматривать как симметричное отображение относительно главной диагонали. Как изменится значение определителя n – го порядка, если его симметрично отобразить относительно побочной диагонали?

Ответ. Значение определителя не изменится.

Задание 7.

На прямой расположено n непересекающихся отрезков, длина каждого из которых равна 3. Найти все значения n, при которых существует такое число a (независимо от расположения отрезков), что каждый из отрезков содержит корень уравнения .

Ответ. .

Задание 8.

Пусть – многочлен степени n, такой, что для всех действительных x.

Докажите, что для всех x.

Задание 9.

Функция разложена в ряд Тейлора по степеням : . Найти сумму коэффициентов этого ряда с номерами, кратными трем: .

Ответ. 2.

Задание 10.

В начале игры на каждой клетке доски 10×10 находится количество карт, указанное на рисунке. Каждым ходом можно выбрать три подряд идущие клетки, в одной строке или в одном столбце, и снять с каждой из этих трёх клеток ровно по одной карте. Какое минимальное количество карт может остаться в конце игры?

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Ответ. 100.

Задание 11.

a) Существует ли бесконечная влево последовательность цифр

……625 такая, что каждые последние n цифр образуют n-значное число (возможно, начинающееся с нулей) такое, что оканчивается на ?

b) Докажите, что эта последовательность непериодична.

Задание 12.

Для неотрицательных и докажите, что:

.