ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
НИТУ МИСиС
ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
для направления " МЕТАЛЛУРГИЯ "
Москва 2008 г.
1. ЦЕЛЬ обучения
Математический анализ.
Научить: оперировать основными понятиями математического анализа и использовать методы дифференциального и интегрального исчислений, теории рядов для построения и анализа математических моделей физических явлений и технологических процессов, а также правильно пользоваться понятиями и методами теории дифференциальных уравнений с учетом описываемых математических моделей.
2. Приобретаемые умения и навыки на основе полученных знаний
для формирования частных компетентностей и свойств личности:
Умения:
–применять теорию и технику вычисления пределов для исследования локальных и глобальных свойств функций, описывающих данный процесс (Л № 1.4–1.7, 21–23; ПЗ.№ 1.1–1.8, 1.12; ДЗ.№1,2); ИД6; ЛС6; ИК2; ИК6;ОПК4; ОПК7;
– использовать методы дифференциального исчисления для решения экстремальных задач, исследования поведения функций и решения нелинейных уравнений (Л. № 3.1–3.6, 4.4–4.6; ПЗ. № 1.13–1.15; 2.5–2.7; ДЗ.№1,2,3 ) ; ИД6; ЛС6; ИК2; ИК6;ОПК4; ОПК7;
– применять интегральное исчисление для вычисления геометрических параметров и физических характеристик объектов (Л. № 5.8–5.10,6.4,6.5,6.9; ПЗ. №2.15–2.17,2.24–2.25; ДЗ.№4); ИД6; ЛС6; ИК2; ИК6;ОПК4; ОПК7;
– описывать и анализировать процессы с помощью методов дифференциального исчисления и аппарата дифференциальных уравнений (Л. № 3.2, 3.6, 4.4, 4.6, 8.1, 8.8, 9.2 ;
ПЗ. № 1.15, 2.5–2.7, 3.10-3.12, 3.11-3.13, 3.19–3.23ДЗ.№2,3,6 ); ИК1;ИК2; ИК6;ОПК4; ОПК7;
– строить математические модели физических явлений и технологических процессов, решать поставленные задачи средствами математического анализа, давать полученным математическим результатам соответствующую интерпретацию (Л. . № 3.2, 3.6, 4.4, 4.6, 8.1, 8.8, 9.2; №; ПЗ. № 1.15, 2.5–2.7, 3.11-3.13, 3.19–3.23 ДЗ.№2,3,6); ЛС6; ИК1;ИК2; ИК6;ОПК1; ОПК7;
–применять числовые ряды для вычисления с заданной точностью числовых характеристик, в том числе интегральных, данного процесса (Л. № 7.4 ; ПЗ. № 3.7 );
ИД6;ЛС;ИК2;ИК6;ОПК9;
–использовать степенные ряды и ряды Фурье для аппроксимации функций, описывающих данный процесс (Л. № 7.4,7.6,7.7; ПЗ. № 3.7–3.10; ДЗ№ 5); ИД6;ЛС6;ИК2; ИК6; ОПК7; ОПК9;
–использовать ряды Фурье для решения уравнений математической физики, моделирующих стационарные и нестационарные процессы тепломассопереноса (Л. № 9.2; ПЗ. № 3.21–3.23; ДЗ№ 6); ИД6;ИК2;ИК9;ОПК9;
–анализировать математические модели процессов распространения тепла и диффузии средствами уравнений математической физики (Л. № 9.1, 9.2 ; ПЗ.№ 3.21–3.23 ; ДЗ№ 6); ИЛ1; ИК2;ОПК1;ОПК2.
Навыки:
– самостоятельной работы с литературой для поиска информации об отдельных определениях, понятиях и терминах, объяснения их применения в практических ситуациях; решения теоретических и практических типовых и системных задач, связанных с профессиональной деятельностью ( все лекции ).
– логического, творческого и системного мышления ( все лекции);
– применения методов математического анализа ( ПЗ№1.1–3.23; ДЗ№1–6);
–решения естественнонаучных и технических задач с использованием аппарата математического анализа (ПЗ№1.7,1.13–1.15, 2.3,2,5–2.7, 2.15, 2.17, 2.24,2.25; 3.7, 3.8–3.10,3.19–3.23,ДЗ№2–6).
3. Объем учебного курса и виды учебной работы (час)
Таблица 1.
Вид учебной работы | Зачетных единиц | Всего часов | Семестры | ||
1 | 2 | 3 | |||
Общая трудоемкость | 416 | 120 | 136 | 170 | |
Аудиторные занятия | 243 | 68 | 90 | 85 | |
Лекции | 122 | 34 | 54 | 34 | |
Практические занятия (ПЗ) | 121 | 34 | 36 | 51 | |
Лабораторные работы (ЛР) | |||||
Самостоятельная работа | 173 | 52 | 46 | 75 | |
Курсовой проект (работа) | |||||
Вид итогового контроля | Экзамен | Экзамен | Экзамен |
4.1. Разделы учебного курса и виды занятий
Табл. 2
№ | Разделы дисциплины | Лекции | Практические занятия |
1 | Предел и непрерывность функций одной переменной. | 16 | 8 |
2 | Дифференцируемые функции одной переменной. | 6 | 12 |
3 | Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций и решению прикладных задач. | 12 | 26 |
4 | Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и его приложения. | 12 | 16 |
5 | Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения. | 24 | 18 |
6 | Кратные интегралы и их приложения. | 18 | 12 |
7 | Ряды и их приложения | 14 | 6 |
8 | Обыкновенные дифференциальные уравнения и их приложения. | 16 | 4 |
9 | Математическая модель процесса тепломассопереноса | 4 | 8 |
4.2. Содержание лекционного курса.
(122 часа)
СЕМЕСТР 1
(34 часа )
Раздел 1. Предел и непрерывность функций одной переменной [1a,2a,4a]
(16 часов)
1.1. Предмет математического анализа, его роль в изучении и создании математических моделей. Математическая символика. Числовые множества.
1.2. Функции одной переменной и способы их задания. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности и их свойства.
1.3. Свойства числовых последовательностей, имеющих предел.
1.4. Понятия предела и непрерывности функции в точке. Свойства функций, имеющих предел.
1.5. Замечательные пределы 
, 
, 
, 
и их следствия.
1.6. Бесконечно малые функции и их свойства. Классификация бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции и их свойства. Асимптотические представления основных элементарных функций и их приложения к исследованию поведения функции в окрестности точки и вычислению пределов. Бесконечно большие функции
1.7. Свойства функций, непрерывных в точке. Односторонние пределы. Поведение функции в окрестности точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
1.8. Асимптоты графика функции и методы их отыскания. Гиперболические функции.
Раздел 2. Дифференцируемые функции одной переменной и их свойства. [ 1.а.,2.а., 4.а.]
(6 часов)
2.1. Понятия дифференцируемости функции в точке, производной и дифференциала. Производная и дифференциал, их геометрический и физический смысл. Связь дифференцируемости и непрерывности. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
2.2. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производные и дифференциалы высших порядков.
2.3. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций ( теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
Раздел 3. Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций и решению прикладных задач. [ 1.а.,2.а., 4.а.] (12 часов)
3.1. Локальный экстремум функции одной переменной, условия его существования и способы отыскания. Условие монотонности функции на отрезке.
3.2. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Приложения к решению прикладных задач физики и техники.
3.3. Теорема Лопиталя и ее приложения к раскрытию неопределенностей.
3.4. Формула Тейлора. Разложение элементарных Функций по формулам Тейлора и Маклорена.
3.5. Приложения формулы Тейлора к вычислению пределов, выделению главной части функции и исследованию поведения функции в окрестности точки, а также к приближенным вычислениям.
3.6. Условия выпуклости и условие существования точек перегиба графика функции. Общая схема исследования и построения графиков функций одной переменной. Понятие о методах приближенного решения нелинейных уравнений.
СЕМЕСТР 2
(54 часа)
Раздел 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и его приложения. [1a,2a,5a]
(12 часов )
4.1. Понятие функции нескольких переменных. Поверхности уровня и линии уровня. Предел, непрерывность, дифференцируемость. Частные производные и дифференциал.
4.2. Условие дифференцируемости функции нескольких переменных. Правила дифференцирования сложных и неявных функций.
4.3 Скалярное поле. Производная по направлению и градиент скалярного поля. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.
4.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ее приложения к исследованию поведения функции в окрестности точки. Локальный экстремум, условия его существования и методы поиска.
4.5. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
4.6. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой ограниченной области. Решение прикладных задач физики и техники.
Раздел 5. Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения [1a,2a,5a]
(24 часа)
5.1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные приемы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям.
5.2. Комплексные числа и корни многочленов.
5.3. Интегрирование рациональных функций.
5.4. Интегрирование тригонометрических и некоторых иррациональных функций.
5.5. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, условия существования.
5.6. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Среднее значение функции на отрезке.
5.7. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Основная формула интегрального исчисления - формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям.
5.8. Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла.
5.9. Вычисление длины кривой. Дифференциал длины кривой. Вектор-функция скалярного аргумента и ее производная, их геометрический и физический смысл. Касательная к пространственной кривой.
5.10. Интеграл по длине кривой Приложения определенного интеграла и интеграла по длине кривой к задачам физики и техники.
5.11. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость.
5.12. Несобственные интегралы от неограниченных функций на конечном промежутке. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость.
Раздел 6. Кратные интегралы и их приложения [1a,2a,5a]
(18 часов)
6.1. Двойной интеграл, его геометрический и физический смысл.
6.2. Условия существования двойного интеграла, его свойства и вычисление в декартовых координатах.
6.3. Замена переменных в двойном интеграле, Полярные координаты, переход в двойном интеграле к полярным координатам.
6.4. Приложения двойного интеграла к задачам геометрии..
6.5. Приложения двойного интеграла к задачам физики и техники.
6.6. Тройной интеграл, его физический смысл и вычисление в декартовых координатах.
6.7. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
6.8. Сферические координаты. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
6.9. Приложения тройных интегралов к задачам геометрии, физики и техники.
Семестр 3
(34 часа)
Раздел 7. Ряды и их приложения [1a,2a,6a] (14 часов)
7.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Свойства сходящихся рядов. Числовые ряды с неотрицательными элементами. Признаки сравнения, теорема Даламбера и интегральный признак сходимости.
7.2. Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница. Ряды с произвольными элементами. Абсолютная и условная сходимость.
7.3. Функциональные ряды, область сходимости, поточечная сходимость и равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.
7.4. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости и область сходимости. Функциональные свойства суммы степенного ряда. Единственность разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряды Тейлора основных элементарных функций. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям..
7.5. Линейные пространства со скалярным произведением. Ортогональные системы функций. Ряд Фурье и коэффициенты Фурье.
7.6. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Полнота и замкнутость. Равенство Парсеваля. Понятие сходимости в среднем. Процесс ортогонализации.
7.7. Ряд Фурье по тригонометрической системе, коэффициенты Фурье. Ряды четных и нечетных функций. Достаточное условие сходимости ряда Фурье по тригонометрической системе.
Раздел 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения и их приложения [1a,2a,6a]
(16 часов)
8.1. Обыкновенные дифференциального уравнения (ДУ). Общее и частное решения ДУ. Задача Коши и краевые задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Описание реальных процессов с помощью ДУ.
8.2. Простейшие ДУ первого и второго порядка и методы их решения.
8.3. Геометрический смысл ДУ первого порядка, поле направлений. Метод изоклин для построения семейства интегральных кривых. . Численное решение задачи Коши для ДУ и систем ДУ методом Эйлера. Понятие о других методах численного решения ДУ.
8.4. Линейные дифференциальные уравнения ( ЛДУ ) высших порядков. Линейный дифференциальный оператор. Фундаментальная система решений однородного ЛДУ. Две теоремы об определителе Вронского.
8.5. Теоремы о структуре общего решения однородного и неоднородного ЛДУ. Метод вариации произвольных постоянных.
8.6. Комплексные числа и операции над ними, геометрическая интерпретация. Формула Эйлера. Формулировка основной теоремы алгебры. Понятие функции комплексного переменного.
8.7. Однородные ЛДУ с постоянными коэффициентами, характеристическое уравнение, построение фундаментальной системы решений. Метод подбора частного решения неоднородного ЛДУ с правой частью специального вида.
8.8. Системы ЛДУ. Приложения ЛДУ к решению задач по специальности.
Раздел 9. Математическая модель процесса тепломассопереноса [1a,6a]
(4часа)
9.1. О классификации дифференциальных уравнений с частными производными Постановка основных задач для уравнения тепломассопереноса (УТМП) и их физическая интерпретация.
9.2. Метод Фурье решения смешанной задачи на отрезке для уравнения (ТМП) .
4.3. Перечень тем практических занятий.
(120 часов)
СЕМЕСТР 1
Табл. 3.1.
№ | Наименование. | Количество часов. |
1.1, 1.2 | Элементарные функции и их графики. | 4 |
1.3 | Предел последовательности. | 2 |
1.4–1.6 | Предел функции. Вычисление пределов функций с помощью эквивалентных бесконечно малых. | 6 |
1.7 | Построение графиков функций без производных, но с асимптотами. | 2 |
1.8 | Непрерывность. Точки разрыва. | 2 |
1.9, 1.10 | Дифференцируемость в точке, производная и дифференциал. Касательная и нормаль. Табличное дифференцирование. | 4 |
1.11 | Производные высших порядков | 2 |
1.12 | Вычисление пределов с помощью теоремы Лопиталя и формулы Тейлора | 4 |
1.13, 1.14 | Исследование функций и построение графиков. | 4 |
1.15 | Решение задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. Решение прикладных задач.. | 2 |
СЕМЕСТР 2
№ | Наименование. | Количество часов. |
2.1 | Отыскание области определения, частных производных и дифференциала функций нескольких переменных. Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных. | 2 |
2.2 | Линии и поверхности уровня. Производная по направлению и градиент. | 2 |
2.3 | Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Исследование на экстремум функции двух переменных. | 2 |
2.4 | Условный экстремум. Максимум и минимум функций нескольких переменных в замкнутой ограниченной области. Решение прикладных задач. | 2 |
2.5 | Первообразная и неопределенный интеграл. Табличное интегрирование. | 2 |
2.6 | Интегрирование по частям и интегрирование подстановками. | 2 |
2.7–2.8 | Интегрирование рациональных, тригонометрических и некоторых иррациональных функций. | 4 |
2.9 | Определенный интеграл. Его вычисление | 2 |
2.10 | Приложения определенного интеграла. | 2 |
2.11 | Вектор–функция скалярного аргумента. Касательная к пространственной кривой. Интеграл по длине кривой и его приложения к решению задач физики и техники. | 2 |
2.12 | Несобственные интегралы на бесконечном и конечном промежутке. Признаки сравнения. | 2 |
2.13 | Расстановка пределов в повторном интеграле. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. | 2 |
2.14 | Двойной интеграл в криволинейных координатах. Полярные координаты. | 2 |
2.15 | Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. | 2 |
2.16 | Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. | 2 |
2.17 | Приложения двойных и тройных интегралов. | 2 |
СЕМЕСТР 3
№ | Наименование. | Количество часов. |
3.1– 3.3 | Вычисление суммы ряда, исследование сходимости числовых рядов | 6 |
3.4 | Абсолютная и условная сходимость. | 2 |
3.5–3.6 | Отыскание области сходимости функционального ряда. Разложение функции в степенной ряд. | 4 |
3.7 | Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям. | 2 |
3.8–3.10 | Процесс ортогонализации. Разложение функции в ряд Фурье по ортогональной системе. Ряды Фурье по тригонометрической системе. | 6 |
3.11–3.13 | Простейшие классы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах. Решение прикладных задач, приводящих к ним. | 6 |
3.14 | Метод изоклин построения интегральных линий. | 2 |
3.15 | Комплексные числа и операции над ними. | 2 |
3.16–3.18 | Решение линейных дифференциальных уравнений, систем линейных дифференциальных уравнений. | 6 |
3.19,3.20 | Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений. | 2 |
3.21, 3.22 | Решение смешанной задачи для уравнения тепломассопереноса. | 6 |
3.23 | Решение задач, приводящих к уравнению тепломассопереноса. | 4 |
4.4. Перечень тем семинарских занятий
Табл. 4.1.
( Семинарские занятия не предусмотрены)
4.5. Перечень тем лабораторных занятий.
Табл. 5.1.
( Лабораторные занятия не предусмотрены)
5. Учебно–методическое обеспечение дисциплины
5.1. Рекомендуемая литература (основная и дополнительная)
а) основная литература
1а. Пискунов и интегральное исчисления. Т.1,2. - М.:Наука,1985,-456 и 559с.
2.а.. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического анализа.(Под редакцией , ), М.,Наука, 1986, 464с., с илл.
3.а. Сборник задач по математике для ВТУЗов, Специальные разделы математического анализа (под ред. , ) - М., Наука, 1986, 366с., с илл.
4.а. , Разумейко исчисление функций одной переменной. Учебно–методическое пособие 537 –М.: МИСиС, 2001,133с.
5.а. , Разумейко исчисление функций многих переменных. Интегральное исчисление. Учебно–методическое пособие 537 –М.: МИСиС, 2001,151с.
6.а. , Разумейко и дифференциальные уравнения. Учебно–методическое пособие 1713 –М.: МИСиС, 2001, 180с.
б) дополнительная литература
1.б. Высшая математика. Раздел: Основные общематематические понятия и некоторые сведения из элементарной математики Учебное пособие 1499 - М.: МИСиС, 1998, 74 с.
2.б. Высшая математика. Раздел: Математический анализ. Учебное пособие 688. - М.,
МИСиС, 1990, 154 с.
3.б. Высшая математика. Раздел: Приложения кратных интегралов. Учебное пособие 306. - М., МИСиС, 1993, - 82с.
4.б. Высшая математика. Раздел: Пределы. Ортогональные базисы. Ряды. Учебное пособие 840. - М., МИСиС, 1994, - 79с.
5.б. Высшая математика. Раздел: Решение смешанной задачи для уравнения тепломассопереноса методами Фурье и сеток. Учебное пособие 263.- М.:МИСИС,1994,-68с.
5.2.Средства обеспечения усвоения дисциплины( перечень обучающих, контролирующих и расчетных программ, диафильмов, кино– и телефильмов).
( Не предусмотрено)
6. Материально–техническое обеспечение дисциплины (указываются специализированные лаборатории и классы, основные установки и стенды).
( Не предусмотрено )
7. Методические рекомендации по организации обучения ( включаются в программу по усмотрению разработчиков).
(Не предусмотрено)
8. Перечень заданий для самостоятельного выполнения.
Табл.6.1.
Вид учебной работы | Срок выдачи (№ недели) | Срок сдачи (№ недели) | Контролируемый объем (№,№ разделов) |
Домашнее задание №1 | 1 | 6 | 1 |
Домашнее задание №2 | 8 | 15 | 2,3 |
Домашнее задание №3 | 1 | 6 | 4 |
Домашнее задание №4 | 8 | 15 | 5,6 |
Домашнее задание №5 | 1 | 6 | 7 |
Домашнее задание №6 | 8 | 15 | 8,9 |
9. Перечень контрольных мероприятий.
Табл. 7.
Вид контрольного мероприятия | Срок проведения | Контролируемый объем учебного курса (№,№ разделов) |
Контрольная работа №1 | 7 | 1 |
Контрольная работа №2 | 14 | 2,3 |
Контрольная работа №3 | 7 | 4 |
Контрольная работа №4 | 14 | 5,6 |
Контрольная работа №5 | 7 | 7 |
Контрольная работа №6 | 14 | 8 |
Контрольные работы проводятся в часы практических занятий в указанные сроки.
Самоконтроль знаний проводится в дни и часы, установленные преподавателем в
среде e–learning.
Программа составлена в соответствии с требованиями государственных образовательных
стандартов подготовки бакалавров и магистров по направлениям в области техники и технологии.
Авторы программы
1. проф. каф. математики МИСиС_____________________/_______________/
2. доц. Каф. математики МИСиС_____________________/_______________/
Программа одобрена на заседании кафедры___________________протокол №______от_____
200______
Зав. Каф. математики, проф.
