Министерство образования Оренбургской области
государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Орский индустриальный колледж»
Программа
вступительных испытаний по математике
для поступающих
в ГБОУ СПО «Орский индустриальный колледж»
на базе основного общего образования,
Орск 2013 г.
Программа вступительных испытаний по математике
на базе основного общего образования
Пояснительная записка
Программа вступительных испытаний по математике предназначена для поступающих в ГБОУ СПО «Орский индустриальный колледж» на базе основного общего образования. Данная программа основывается на базовой программе по математике, утвержденной Министерством образования Российской Федерации. Программа на базе основного общего образования включает в себя разделы школьной программы по математике. Программа ориентирована на владение абитуриентами теоретическими знаниями, практическим применением теории, навыками устного счета и основами логического мышления.
Вступительные испытания для поступающих на базе основного общего образования проводятся в форме тестирования. Для проведения тестирования по математике составляется комплект билетов, в каждом билете по 20 тестовых заданий. Программа вступительных испытаний содержит критерии оценок вступительных испытаний, которая предусматривает систему стобалльного оценивания по математике.
Задания выполняются согласно инструкции. Каждое задание имеет по четыре варианта ответа, из которых только один верный. На выполнение тестовой работы отводится 90 минут.
В качестве образца разработан «0» вариант тестовой работы, который представлен ниже.
Содержание программы
на базе основного общего образования
1. АРИФМЕТИКА
Натуральные числа
Десятичная система счисления. Арифметические действия над натуральными числами. Свойства арифметических действий. Степень с натуральным показателем, вычисление значений выражений, содержащих степени. Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
- выполнять устно арифметические действия: сложение и вычитание двузначных чисел и десятичных дробей с двумя знаками; выполнять умножение однозначных чисел; выполнять арифметические операции с обыкновенными дробями с однозначным знаменателем и числителем.
Дроби
Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Сравнение дробей. Нахождение части (дроби) числа и числа по его части (дроби). Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной и обыкновенной дроби в виде десятичной.
Учащиеся должны уметь:
- переходить от одной формы записи чисел к другой; представлять десятичную дробь в виде обыкновенной и в простейших случаях обыкновенную в виде десятичной представлять проценты — в виде дроби и дробь — в виде процентов; записывать большие и малые числа с использованием целых степеней числа десять.
Рациональные числа
Положительные и отрицательные числа, нуль. Модуль числа, геометрический смысл модуля. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами. Свойства арифметических действий. Степень с целым показателем. Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок.
Учащиеся должны уметь:
- выполнять арифметические действия с рациональными числами; сравнивать рациональные и действительные числа; находить в несложных случаях значения степеней с целыми показателями и корней; находить значения числовых выражений.
Действительные числа.
Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел.
Учащиеся должны уметь:
- округлять целые числа и десятичные дроби; находить приближения чисел с недостатком и с избытком; выполнять оценку числовых выражений.
Текстовые задачи.
Решение текстовых задач арифметическими приемами.
Учащиеся должны уметь:
- решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением и с пропорциональностью величин, с дробями и процентами.
Измерения, приближения, проценты.
Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости. Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире. Представление зависимости между величинами в виде формул. Проценты. Нахождение процента от величины и величины по ее проценту. Отношение, выражение отношения в процентах. Пропорция. Основное свойство пропорции. Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости. Округление натуральных чисел и десятичных дробей. Прикидка и оценка результатов вычислений. Запись приближенных значений в виде х = а ± h, переход к записи в виде двойного неравенства. Запись чисел в стандартном виде.
- уметь выполнять алгебраические преобразования.
2. АЛГЕБРА
Алгебраические выражения.
Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Подстановка выражений вместо переменных Равенство буквенных выражений. Тождество, доказательство тождеств. Преобразования алгебраических выражений. Свойства степеней с целым показателем, преобразование выражений, содержащих степени с целым показателем. Многочлены. Многочлены с одной переменной. Степень многочлена. Корень многочлена. Сложение, вычитание и умножение многочленов, формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, формула разности квадратов. Разложение многочлена на множители. Квадратный трехчлен. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Алгебраические дроби. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями. Рациональные выражения и их преобразования. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.
Учащиеся должны уметь:
- составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач, находить значение выражений.
Уравнения и неравенства.
Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители. Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными. Система уравнений; решение системы. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и алгебраическим сложением. Уравнение с несколькими переменными. Примеры решения нелинейных систем. Неравенство с одной переменной. Решение неравенств. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства с одной переменной. Числовые неравенства и их свойства. Переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической. Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Учащиеся должны уметь:
- выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; уметь решать уравнения и неравенства; применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни; решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы. решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы. решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи.
Числовые последовательности.
Понятие последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.
Учащиеся должны уметь:
- распознавать арифметические и геометрические прогрессии; применять формулы общих членов, суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.
Числовые функции.
Функция. Способы задания функций. Область определения и область значений функции. График функции, возрастание, убывание функции, нули функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значения. Чтение графиков функций. Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее свойства и график, геометрический смысл коэффициентов. Гипербола. Квадратичная функция, ее свойства; парабола, ось симметрии параболы, координаты вершины параболы. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем. Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы.
Учащиеся должны уметь:
- уметь выполнять действия с функциями; изображать числа точками на координатной прямой; определять координаты точки плоскости; строить точки с заданными координатами.
Координаты.
Изображение чисел точками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч. Декартовы координаты на плоскости; координаты точки. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых. Уравнение окружности с центром в начале координат. Графическая интерпретация решения системы уравнений с двумя переменными.
Учащиеся должны уметь:
- находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком, по ее аргументу; определять свойства функции по ее графику; описывать свойства изученных функций, строить их графики.
3. ГЕОМЕТРИЯ
Начальные понятия и теоремы геометрии.
Геометрические фигуры и тела. Точка, прямая и плоскость. Равенство в геометрии. Понятие о геометрическом месте точек. Расстояние. Отрезок, луч. Ломаная. Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и ее свойства. Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярность прямых. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой. Наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде. Примеры разверток.
Учащиеся должны уметь:
- уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами, векторами; распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение; изображать геометрические фигуры;
Треугольник.
Прямоугольные, остроугольные и тупоугольные треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника. Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника Зависимость между величинами сторон и углов треугольника. Теорема Фалеса. Подобие треугольников; коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников. Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Теорема косинусов и теорема синусов; примеры их применения для вычисления элементов треугольника. Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан.
Учащиеся должны уметь:
- вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), в том числе: для углов от 0 до 180° определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов.
Четырехугольник.
Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция.
Учащиеся должны уметь:
- Решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними; применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, идеи симметрии.
Окружность и круг.
Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая к окружности; равенство касательных, проведенных из одной точки. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.
Измерение геометрических величин.
Длина отрезка. Длина ломаной, периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Длина окружности, число π; длина дуги. Величина угла. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Понятие о площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы). Формулы, выражающие площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Площадь круга и площадь сектора. Связь между площадями подобных фигур. Объем тела. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса.
Учащиеся должны уметь:
- проводить доказательные рассуждения при решении задач; выстраивать аргументацию при доказательстве; распознавать логически некорректные рассуждения; записывать математические утверждения, доказательства.
Векторы.
Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов. Операции над векторами: умножение на число, сложение, разложение, скалярное произведение. Угол между векторами.
Учащиеся должны уметь:
- проводить операции над векторами;
вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами.
Распределение заданий экзаменационной работы по содержанию
Требования вступительных экзаменов определяют необходимость включения в работу алгебраических заданий, составленных на материале некоторых разделов курса алгебры основной школы, а также геометрических заданий по материалу курсов геометрии основной школы. То есть проверке подлежит материал всех блоков, по которым распределено содержание школьного курса математики: «Выражения и преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Числа и вычисления», «Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин». При этом в соответствии со спецификой математики основное внимание уделяется проверке овладения практической составляющей школьного курса, когда владение теоретическими фактами проверяется опосредованно, но наряду с этим осуществляется и непосредственная проверка овладения его теоретической составляющей (например, овладение смыслом изучаемых основных математических понятий).
Оценка результатов выполнения работы:
Тестовый балл – оценка общей математической подготовки, которая фиксируется в экзаменационном листе абитуриента, подсчитывается по 100-балльной шкале на основе первичных баллов, выставленных за выполнение всех заданий работы.
Процентное оценивание заданий по уровню сложности
№ задания | на базе среднего общего образовании | ||||
1 – 5 | 6-10 | 11-13 | 14-16 | 17-20 | |
Тестовый балл | 3 | 4 | 5 | 6 | 4 |
Итого по заданиям | 15 | 20 | 15 | 18 | 32 |
Общий балл | 100 |
Тренировочный вариант
1. (3 балла) Поле имеет площадь, равную 
га. Выразите эту площадь в м2.
1) 4340 м2
2) 43400 м2
3) 434 м2
4) 434000 м2
2. (3 балла) На какое из заданных чисел делится произведение 
?
1) на 2
2) на 6
3) на 9
4) на 115
3. (3 балла) Найдите значение выражения 
при 
.
Ответ: ___________________
4. (3 балла) На распродаже цены в магазине были снижены в 2 раза. Некоторый товар до снижения цены стоил х рублей. Ученик выписал четыре различных выражения для вычисления новой цены товара. Одно из них неверно. Какое?
1) 
2) 
3) 
4) 
5. (3 балла) Упростите выражение 
и найдите его значение при 
.
1) -9
2) 9
3) 
4) 
6. (4 балла) Какое выражение необходимо поставить вместо многоточия, чтобы было верным равенство 
?
Ответ: ___________________
7. (4балла) Решите уравнение 
.
Ответ: ___________________
8. (4 балла) Андрей купил в магазине х карандашей стоимостью 2 рубля и у ручек стоимостью 5 рублей. Всего он потратил 23 рубля. Сколько карандашей мог купить Андрей?
1) 2
2) 3
3) 4
4) 6
9. (4 балла) Используя графические представления, подберите из данных уравнений второе уравнение системы 
так, чтобы она имела одно решение.
1) 
2) 
3) 
4) 
балла) Найдите наибольшее целое решение системы неравенств 
.
1) -2
2) -1
3) 2
4) 3
баллов) О числах х, у и z известно, что 
. Какое из следующих неравенств верно?
1) 
2) 
3) 
4) 
баллов) Даны 4 арифметические прогрессии. Выберите среди них ту, среди членов которой есть число -6.
1) 
2) 
3) 
4) 
баллов) Выполните действия 
.
Ответ: ___________________
баллов) При каких значениях переменной х выражение 
имеет смысл?
Ответ: ___________________
баллов) В арифметической прогрессии 
известно, что 
. Найдите с1 и сумму первых трех членов.
Ответ: ___________________
баллов) Найдите 
.
Ответ: ___________________
баллов) Решите уравнение 
.
Ответ: ___________________
баллов) Из города А в город В выехал мотоциклист. Спустя 36 мин вслед за ним выехал автобус, скорость которого на 10 км/ч больше скорости мотоциклиста. Через 24 мин после своего выхода автобус отставал от мотоциклиста на 26 км. Найдите скорость автобуса.
Ответ: ___________________
баллов) Даны три стороны треугольника. Найдите его углы, если 
, 
, 
.
Ответ: ___________________
баллов) От точки А отложен вектор 
. Найти координаты точки В, если 
и 
.
Ответ: ___________________
