Составитель:
– кандидат физико-математических наук
ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИКА»
Тема 1. Элементы теории множеств. Выпуклые множества и их свойства.
Понятие множества. Алгебра множеств: объединение, пересечение, дополнение и разность множеств. Выпуклые множества и их свойства.
Множество вещественных чисел Вещественные числа и их основные свойства. Натуральные числа. Понятие величины. Дискретные и непрерывные величины. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа.
Тема 2. Метод координат. Прямые и плоскости в аффинном пространстве.
Определение пространства R (Римана). Прямоугольная и полярная системы координат. Координаты точки в пространстве. Расстояние между двумя точками. Основные понятия. Уравнение прямой на плоскости. Прямая линия на плоскости. Линии второго порядка. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Общее уравнение линии второго порядка.
Тема 3. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. Векторы. Операции над векторами.
Определение вектора и его задание в системе координат. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов, свойства скалярного произведения. Длина вектора, угол между векторами.
Тема 4. Матрицы. Действия над матрицами. Определители и их свойства. Собственные значения матриц.
Определение матрицы, типы матриц. Транспонирование матриц. Сумма и произведение матриц. Определитель матрицы, ранг матрицы. Обратная матрица.
Тема 5. Системы линейных уравнений
Понятие системы линейных уравнений. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Системы линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса для решения системы линейных уравнений.
Решение системы уравнений по методу Крамера.
Тема 6. Математический анализ. Предел последовательности и его свойства. Предел и непрерывность функции одной переменной
Понятие числовой последовательности. Предел последовательности и его свойства. Понятие функции одной переменной, график функции. Обратная функция. Предел функции в точке. Свойства пределов.
Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин. Непрерывность функций. Односторонняя непрерывность, точки разрыва, их классификация. Свойства непрерывных на отрезке функций.
Тема 7. Дифференциальное исчисление. Дифференцирование функции одной переменной. Экстремумы функций нескольких переменных.
Определение производной функции в заданной точке. Геометрический смысл производной. Производные элементарных функций.
Производные суммы, произведения, частного и сложной функции. Производные высших порядков.
Исследование функций с помощью производных, построение графиков.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
Дифференциал и его использование для приближенных вычислений.
Функций нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных. Экстремумы функций нескольких переменных.
Тема 8. Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл.
Понятие первообразной, неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных неопределенных интегралов. Основные приемы интегрирования: замена переменных и по частям.
Тема 9. Определенный интеграл.
Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла.
Приложения определенного интеграла.
Тема 10. Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные уравнения высших порядков.
Тема 11. Числовые и степенные ряды.
Бесконечные последовательности. Числовые ряды. Признаки сходимости числовых рядов: необходимости, сравнения, интегральный, Даламбера, Коши. Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости числового ряда. Разложение функции в степенные ряды.
Тема 12. Комплексные числа.
Понятие комплексных чисел. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел. Действие над комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел, извлечение корней из комплексных чисел.
Тема 13. Теория вероятностей и математическая статистика. Основные понятия теории вероятностей.
Случайные события; частота и вероятность. Аксиоматическое, статистическое и геометрическое определения вероятностей. Непосредственный подсчет вероятностей. Примеры определения вероятности элементарных событий.
Тема 14. Основные теоремы и формулы для вычисления вероятностей.
Основные теоремы и формулы для вычисления вероятностей. Определение условной вероятности события. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Полная группа событий. Основные соотношения между вероятностями событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры определения вероятностей.
Тема 15. Случайные величины. Определение законов распределения случайных величин.
Понятие закона распределения. Интегральный и дифференциальный законы распределения. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения дискретных случайных величин. Законы распределения непрерывных случайных величин. Плотность вероятности и её связь с функцией распределения.
Тема 16. Законы распределения дискретных случайных величин.
Равномерный закон распределения и его числовые характеристики. Роль и значение числовых характеристик. Характеристики положения: мода, медиана, математическое ожидание. Характеристики рассеивания: начальные и центральные моменты, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Схема испытание Бернулли, биномиальный закон распределения. Предельное поведение вероятностей при “n” стремящемся к бесконечности. Закон распределения Пуассона.
Тема 17. Законы распределения непрерывных случайных величин.
Равномерный закон распределения и его числовые характеристики. Экспоненциальный закон распределения, его связь с законом Пуассона. Нормальный закон распределения. Определение вероятности попадания случайной величины на заданный интервал. Функция Лапласа. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Понятие системы случайных величин. Определение случайного вектора. Функции распределения и числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляция случайных величин, коэффициент корреляции.
Тема 18. Оценка законов распределения случайных величин.
Основные задачи математической статистики. Понятия генеральной совокупности, выборки и вариационного ряда. Первичная обработка статистических данных. Построение полигона распределений для дискретных случайных величин и гистограммы для непрерывных случайных величин.
Тема 19. Оценка числовых характеристик законов распределения.
Понятие статистической оценки. Классификация оценок. Оценки математического ожидания и дисперсии, свойства оценок. Понятия доверительной вероятности и доверительного интервала. Интервальные оценки. Генеральная совокупность и выборка; оценки параметров. Корреляция и регрессия.
Тема 20. Проверка статистических гипотез.
Постановка задачи проверки статистических гипотез. Критерий равенства математических ожиданий при большом количестве экспериментов. Распределение Стьюдента. Проверка статистических гипотез относительно оценки математического ожидания при малых объёмах выборки. Распределение квадратов случайных величин, критерий согласия Пирсона. Проверка равенства дисперсий, критерий Фишера.
Проверка принадлежности выборок к одной генеральной совокупности, критерий Колмогорова.
Тема 21. Экономико-математические методы.
Основные понятия. Методы экономико-математического анализа. Линейное и целочисленное программирование. Графический и симплекс-метод решения задач линейного программирования. Динамическое программирование.
Тема 22. Математическая теория оптимального управления.
Основные понятия оптимального управления. Определение игры. Матричные игры и их особенности. Кооперативные игры и их особенности. Игры с природой и их особенности.
Тема 23. Графы.
Понятие графов. Их основные характеристики. Плоские графы и их особенности. Эйлеровы графы и их особенности. Гамильтоновы графы и их особенности. Орграфы и их особенности. Сетевые графики и их особенности. Сети Петри и их особенности.
Тема 24. Марковские процессы.
Определение марковских процессов. Основные понятия теории массового обслуживания. Задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания. Определение замкнутых и разомкнутых систем.
Тема 25. Экономико-математические модели функции полезности, кривые безразличия, функции спроса. Уравнение Слуцкого.
Понятие экономико-математических моделей. Экономико-математические модели функции полезности. Кривые безразличия, основные характеристики. Принцип построения кривых безразличии. Функции спроса, ее свойства. Уравнение Слуцкого.
Тема 26. Кривые "доход-потребление". Кривые "цены-потребление". Коэффициенты эластичности.
Кривые "доход-потребление", связь между потреблением и доходом. Кривые "цены-потребление", влияние цен на количество потребления и наоборот. Коэффициенты эластичности, его вычисление.
Тема 27. Материальные балансы.
Материальные балансы, основные понятия и определения. Функции выпуска продукции, производственны функции затрат ресурсов. Связь между затратами и выпуском продукции.
Тема 28. Модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции.
Виды конкуренции. Основные характеристики совершенной конкуренции. Особенности несовершенной конкуренции. Понятие модели поведения. Основные этапы ее построения.
Тема 29. Модели общего экономического равновесия.
Понятие экономического равновесии, основные особенности. Определение модели экономического равновесии. Модель Эрроу – Гурвица, основные характеристики. Статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса. Основные этапы ее построения.
Тема 30. Общие модели развития экономики.
Общие модели развития экономики, основные характеристики. Модель Солоу ее особенности и задачи.
