Российская академия образования
Центр дистанционного образования “Эйдос”
XXI-я Всероссийская
дистанционная эвристическая олимпиада
по математике (задачи)
Eidos_Olymp_Mathem-02
1 октября 2009 года
Комсомольск на Амуре
МОУ лицей №1
8 А класс
Селезнёва Александра.
8-9 классы
1. ГОД МОЕГО РОЖДЕНИЯ НА САНСКРИТЕ.
«Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,
Потом еще шестьдесят две тысячи прибавь.
Когда поделишь результат на два
Длины окружности к двум радиусам отношенья».
Стихи индийского математика VI в. Арьябхата.
В древней Индии математика, как и все остальные научные дисциплины, подчинялась правилам и стилистическим формам санскрита – языка высокой культуры, ученых, философов. Большинство научных текстов, даже математических, было написано в стихах.
Предлагаем вам накинуть плащ «священного» ученого, общаться которому можно только на «языке богов». Переложите в «сакральный стихотворный текст математический пример, в результате решения которого должен получаться год вашего рождения. Не забудь написать сам пример с ответом на математическом языке.
Умножить миллион в десяток
Предстоит тебе.
Затем дели ты на остаток,
Что станет после двух девяток, делённых в двойки две.
Ещё дели ты выраженья результат
На лучшую оценку, теснящей аттестат.
И снова должен ты делить.
Разгадка приближается к концу.
Число то нужно округлить
До стольких лет, что малому десятилетнему юнцу.
Делить, делить, опять делить.
Надеюсь, не устал ты?
На сей раз нужно сократить
На сумму двух десяток.
Вот и настал тобою предвещаемый момент:
Конец загадки будет быстротечен.
Всего лишь на всего останется отнять,
Червонца - пол
Ответ тобою верный обеспечен.
(1000000 * 10) : (18:4) : 5 : 10 : 20 – 5 =1995
2. В КАЖДОЙ ШУТКЕ ЕСТЬ ДОЛЯ ШУТКИ. В одной из своих задач математик И. Акулич спрятал одно из свойств четырехугольника: «Отметим на плоскости несколько точек. Соединим каждые две из них отрезком и назовем середины этих отрезков точками второго поколения. Таким же образом, соединив всевозможными отрезками точки второго поколения, получим точки третьего поколения, потом – четвертого и так далее. Докажите, что если ни во втором, ни в третьем поколениях никакую точку мы не отмечали дважды, то и ни в каком следующем поколении никакую точку не придется отмечать дважды». Какое свойство четырехугольника использует автор? Предложите свою задачу с решением, которое незаметно, на первый взгляд опирается на свойство какой-то фигуры.
Автор использует такое свойство четырёхугольника, что каждый четырёхугольник имеет четыре вершины.
Задача.
Даны две параллельные прямые a и b, на которых отмечены равные отрезки AB и CD. Эти отрезки разделены на три равных части соответственно в точках P и Н (на отрезке АВ) и Q и K (на отрезке СD). Через точки P и С, Н и Q проведены прямые. Угол 1 равен углу 4. Докажите, что PС равно НQ.
Решение.
1. Угол 1 равен углу 2 (как накрест лежащие углы при параллельных прямых а и b и секущей РС). 2. Угол 3 равен углу 4 (как накрест лежащие углы при параллельных прямых а и b и секущей НQ), но угол 1 равен углу 4 (по условию), следовательно, угол 1 равен углу 3, но они являются соответственными углами при прямых РС и НQ и секущей АВ, значит, РС параллельно НQ. 3. РНQC – параллелограмм (т. к. РН параллельно СQ, а CР параллельно QH), следовательно, PС равно НQ.
3. ПРИКИНЬ. Знакомое слово? Сегодня часто можно услышать его в разговоре молодых людей. Но, так ли уж хорошо делать прикидку? Может быть, стоит больше полагаться на точные и логичные рассуждения? Давайте взглянем на это с точки зрения математики. Подумайте над вопросом достоинств и недостатков прикидки при решении математических задач, которые моделируют реальные процессы. Придумайте задачу, в которой от округления ответа есть очевидные плюсы. И, наоборот, задачу, в которой прикидка играет злую шутку с автором. Приведите свои пояснения к каждому случаю
4. ЗАДАЧНОЕ МНОЖЕСТВО. Учебники математики предлагали вам за школьные годы множества задач на разные темы: на движение, на проценты, на совместную работу и т. д. предлагаем вам выразить своё отношение к ним, разделив их на группы: любимые, лёгкие, увлекательные, какие ещё? Свой ответ представьте в виде пересечения на диаграмме Эйлера.
5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОДАРКИ. Накануне дня Учителя, чтобы порадовать своих учителей математики, предлагаем вам создать математические подарки из уравнений и функций, из графиков и задач. Помните, что подарок будет запоминающимся, если кроме красоты и юмора в нём будет математика. Оформите такой подарок и опишите его математические элементы.
