Зональная олимпиада по математике, учебный год

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Тюменский областной государственный институт

развития регионального образования

Зональная олимпиада по математике

учебный год.

11 класс. 2

1. У Пети имеется набор «Юный паркетчик», который состоит из дощечек, уложенных в один слой в прямоугольную коробку так, что они покрывают всю ее площадь. Каждая дощечка имеет площадь 3 см2 и имеет форму либо прямоугольника, либо уголка (рис. 1). Петя сказал, что он потерял дощечку в форме уголка, сделал вместо нее прямоугольную дощечку и уложил после этого все дощечки вместе с новой в один слой в коробку. Можно ли утверждать, что он лжет?

Рис. 1

( баллов)

2. Дан трехгранный угол с вершиной О. Можно ли найти такое плоское сечение АВС, чтобы углы ОАВ, ОВА, ОСВ, ОАС, ОСА, ОВС были острыми?

( балла)

3. Решите систему уравнений .

( балла)

4. Решите неравенство .

( балла)

5. Клетки квадрата 50 × 50 раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (т. е. сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета.

(6 баллов)

Решение зональной олимпиады, 1-й лист

(2005 –2006 учебный год).

11 класс.

1. У Пети имеется набор «Юный паркетчик», который состоит из дощечек, уложенных в один слой в прямоугольную коробку так, что они покрывают всю ее площадь. Каждая дощечка имеет площадь 3 см2 и имеет форму либо прямоугольника, либо уголка (рис. 1). Петя сказал, что он потерял дощечку в форме уголка, сделал вместо нее прямоугольную дощечку и уложил после этого все дощечки вместе с новой в один слой в коробку. Можно ли утверждать, что он лжет?

Ответ: утверждать, что Петя лжет нельзя.

Решение:

Простейший пример приведен на рисунке (рис. 2). Основная идея построения подобных примеров состоит в том, чтобы оказалось нечетное число уголков. Тогда при утере одного уголка оставшиеся уголки можно разбить на пары и каждую пару поместить в прямоугольник 2´3.

Рис 2

2. Дан трехгранный угол с вершиной О. Можно ли найти такое плоское сечение АВС, чтобы углы ОАВ, ОВА, ОСВ, ОАС, ОСА, ОВС были острыми?

Ответ: можно.

Решение:

Для этого достаточно провести плоскость через точки А, В, С, равноудаленные от точки О. Тогда треугольники ОАВ, ОАС и ОВС равнобедренные, поэтому все углы при основаниях АВ, ВС, АС острые.

3. Решите систему уравнений .

Ответ: (±3; ±2), .

Решение:

Умножив первое уравнение на (-3), второе – на 17, вычтем из первого уравнения второе. В итоге останется однородное относительно переменных x и y уравнение.

Решение зональной олимпиады, 2-й лист, 11 класс

(2005 –2006 учебный год).

4. Решите неравенство .

Ответ: х = 0; 1.

Решение:

Из условий разрешимости данной задачи - Из второго неравенства, следует, что , но на этом промежутке неположителен только при х = 0 или

х = 1. Оба этих значения удовлетворяют исходному неравенству.

5. Решите систему уравнений

Ответ: (1, 1, 1), (-1, -1, -1).

Решение: Складывая первые два уравнения системы и вычитая третье, получаем

(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 0; откуда x = y = z.

Теперь из третьего уравнения находим x2 = 1. Проверка показывает, что обе указанные тройки чисел удовлетворяют данной системе.

5. Клетки квадрата 50 × 50 раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует клетка, с четырех сторон от которой (т. е. сверху, снизу, слева и справа) имеются клетки одного с ней цвета.

Доказательство: Предположим, что клетки квадрата n × n удалось раскрасить таким образом, что для любой клетки с какой-то стороны от нее нет клетки одного с ней цвета. Рассмотрим тогда все клетки одного цвета и в каждой из них нарисуем стрелочку в том из четырех направлений, в котором клетки того же цвета нет. Тогда на каждую клетку «каемки» нашего квадрата будет указывать не более одной стрелки. Поскольку клеток «каемки» всего 4n – 4, то и клеток каждого цвета не более 4n – 4. С другой стороны, каждая из n2 клеток нашего квадрата раскрашена в один из четырех цветов, т. е.

n2 ≤ 4(4n – 4).

Для решения задачи теперь достаточно заметить, что последнее неравенство неверно при n = 50. Несложно убедиться, что оно неверно при всех n ≥ 15, и, следовательно, утверждение задачи верно уже в квадрате 15 × 15, а заодно и в любом большем квадрате.