Часть 1. Элементы теории случайных процессов
Раздел 1. Простейший поток однородных событий.
Тема 1. Свойства экспоненциального распределения.
Определение случайной величины. Закон распределения, функция распределения, плотность распределения. Экспоненциальное распределение. Свойство отсутствия последействия. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение. Распределение минимума и максимума независимых экспоненциально распределенных случайных величин.
Практическое занятие 1. Количество часов – 1.
Цель Отработка умений решения задач по теме.
Повторение формул для математического ожидания и дисперсии дискретных и непрерывных случайных величин. Вычисление математического ожидания и дисперсии случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение. Нахождение функции распределения минимума и максимума независимых экспоненциально распределенных случайных величин.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,6]
Тема 2. Распределение Эрланга.
Формула свертки для плотности распределения суммы независимых случайных величин. Вывод формулы для плотности распределения Эрланга порядка n.
Литература: [1,3]
Тема 3. Простейший поток однородных событий: определение и свойства.
Потоки однородных событий. Определение простейшего потока. Свойства простейшего потока: независимость приращений, свойство отсутствия последействия, ординарность, стационарность. Распределение числа событий простейшего потока на интервале (0;t). Связь экспоненциального распределения, распределения Эрланга и распределения Пуассона.
Практическое занятие 2. Количество часов – 1.
Цель Отработка умений решения задач по теме.
Нахождение закона распределения суммы независимых пуассоновских случайных величин, задача о «прореженном» потоке, связь равномерного и пуассоновского распределения.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,5]
После изучения данного раздела студент должен знать:
ü свойства экспоненциального распределения;
ü свойства простейшего потока;
ü распределение интервалов между событиями простейшего потока;
ü распределение момента n-ого события простейшего потока;
ü вероятностный смысл параметра экспоненциального распределения;
ü связь экспоненциального распределения, распределения Эрланга, равномерного распределения и распределения Пуассона.
Студент должен уметь:
ü находить числовые характеристики случайных величин;
ü применять теоремы теории вероятностей для исследования функций от случайных величин.
Раздел 2. Марковские процессы с непрерывным временем.
Тема 4. Марковские процессы с непрерывным временем: определение и способы задания. Предельное распределение. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
Интенсивности перехода и выхода. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Предельное распределение.
Практическое занятие 3. Количество часов – 1.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Нахождение инфинитезимальных характеристик пуассоновского процесса. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний пуассоновского процесса.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,5]
Тема 5. Процессы гибели и размножения.
Определение процесса гибели и размножения; формулы для предельного распределения.
Практическое занятие 3. Количество часов – 1.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,5]
После изучения данного раздела студент должен знать:
ü способы задания однородного марковского процесса;
ü определение ПГР;
Студент должен уметь:
ü находить инфинитезимальные характеристики (интенсивности перехода и выхода);
ü составлять дифференциальные уравнения Колмогорова;
ü находить предельное распределение однородного марковского процесса, в частности, ПГР.
Раздел 3. Процессы восстановления.
Тема 6. Процессы восстановления: простой, с запаздыванием, альтернирующий. Функция восстановления. Интегральное уравнение восстановления. Элементарная теорема восстановления. Узловая теорема восстановления.
Определение процесса восстановления. Моменты восстановлений, интервалы между восстановлениями. Вероятностный смысл дифференциала функции восстановления. Интегральное уравнение восстановления для простого процесса восстановления и для процесса восстановления с запаздыванием. Элементарная и узловая теоремы восстановления.
Практическое занятие 5. Количество часов – 1.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Нахождение функции и плотности восстановления для пуассоновского процесса. Решение интегрального уравнения восстановления для пуассоновского процесса.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,5]
Тема 7. Прямое (перескок) и обратное (недоскок) время возвращения. Вероятность попадания на четный или нечетный интервал для альтернирующего процесса.
Определение прямого и обратного времени возвращения. Распределение прямого и обратного времени возвращения. Вычисление вероятности того, что произвольный момент времени t будет накрыт четным или нечетным интервалом альтернирующего процесса восстановления.
Практическое занятие 6. Количество часов – 1.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Нахождение предельного распределения прямого и обратного времени возвращения с помощью узловой теоремы восстановления.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,3,4,5]
После изучения данного раздела студент должен знать:
ü определение процесса восстановления и функции восстановления;
ü вероятностный смысл дифференциала функции восстановления;
ü формулировки основных теорем теории восстановления.
Студент должен уметь:
ü применять элементарную и узловую теоремы для решения задач;
ü составлять интегральное уравнение восстановления;
ü находить функцию восстановления.
Раздел 4. Некоторые функциональные преобразования.
Тема 8. Производящая функция и ее свойства.
Определение производящей функции. Свойства производящей функции. Нахождение математического ожидания неотрицательной дискретной случайной величины с помощью производящей функции.
Практическое занятие 7. Количество часов – 2.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Решение дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний пуассоновского процесса с помощью производящей функции.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2,3,4,7]
Тема 9. Преобразование Лапласа и Лапласа-Стилтьеса. Их свойства.
Преобразование Лапласа и Лапласа-Стилтьеса, их взаимосвязь. Свойства преобразования Лапласа. Нахождение математического ожидания неотрицательной случайной величины с помощью преобразования Лапласа.
Практическое занятие 8. Количество часов – 2.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Решение дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний пуассоновского процесса с помощью преобразования Лапласа.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2,3,4,7]
После изучения данного раздела студент должен знать:
ü определение производящей функции;
ü определение преобразования Лапласа и Лапласа-Стилтьеса;
ü свойства производящей функции;
ü свойства преобразования Лапласа.
Студент должен уметь:
ü находить преобразования Лапласа различных функций;
ü находить производящие функции для дискретных распределений;
ü применять производящие функции для решения счетных систем линейных уравнений;
ü применять преобразование Лапласа для решения интегральных и дифференциальных уравнений.
Часть 2. Системы массового обслуживания.
Раздел 1. Структура, описание и схема исследования системы массового обслуживания.
Тема 10. Понятие системы массового обслуживания. Символика Кендалла.
Понятие системы массового обслуживания. Примеры систем массового обслуживания. Структура системы массового обслуживания: входящий поток требований, процесс обслуживания, обслуживающие приборы, очередь, дисциплина обслуживания. Символика Кендалла.
Литература: [1,2,3,5]
Тема 11. Схема исследования СМО. Показатели качества обслуживания.
Схема исследования СМО. Показатели качества обслуживания: среднее время обслуживания, вероятность потери заявки, средняя длина очереди, функция распределения и математическое ожидание времени ожидания начала обслуживания, функция распределения и математическое ожидание времени пребывания заявки в очереди, производительность системы, функционал среднего удельного дохода и др.
Литература: [1,2,3,5]
После изучения данного раздела студент должен знать:
ü определение системы массового обслуживания;
ü структуру системы массового обслуживания;
ü основные этапы исследования системы массового обслуживания;
ü показатели качества функционирования системы массового обслуживания.
Студент должен уметь:
ü классифицировать системы массового обслуживания;
ü описать все элементы системы массового обслуживания с помощью символики Кендалла.
ü оценивать качество обслуживания с помощью различных показателей.
Раздел 2. Марковские модели систем массового обслуживания.
Тема 12. Система М|М|n|0. Формулы Эрланга.
Система М|М|n|0. Формулы Эрланга. Вероятность потери заявки.
Литература: [1,2]
Тема 13. Система М|М|n|N с нетерпеливыми клиентами.
Система М|М|n|N с нетерпеливыми клиентами. Инфинитезимальные характеристики ПГР, описывающего данную систему. Математическое ожидание длины очереди.
Практическое занятие 9. Количество часов – 5.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Плотность распределения времени ожидания начала обслуживания. Вероятность потери заявки. Функция распределения времени пребывания заявки в очереди.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2]
Тема 14. Система М|М|n|N.
Система М|М|n|N. Инфинитезимальные характеристики ПГР, описывающего данную систему. Математическое ожидание длины очереди.
Практическое занятие 10. Количество часов – 3.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Функция распределения времени ожидания начала обслуживания при условии, что заявка принята в очередь. Вероятность потери заявки.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену. Выполнение домашнего задания по данной теме.
Литература: [1,2]
Тема 15. Система М|М|n|¥ с нетерпеливыми клиентами.
Система М|М|n|¥ с нетерпеливыми клиентами. Существование предельного распределения ПГР, описывающего функционирование системы. Математическое ожидание длины очереди.
Практическое занятие 11. Количество часов – 3.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Плотность распределения времени ожидания начала обслуживания. Вероятность потери заявки. Функция распределения времени пребывания заявки в очереди.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2]
Тема 16. Система М|М|n|¥.
Система М|М|n|¥. Условие существования предельного распределения ПГР, описывающего функционирование системы.
Практическое занятие 11. Количество часов – 3.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Функция распределения времени ожидания начала обслуживания. Математическое ожидание длины очереди.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету, экзамену и контрольной работе.
Литература: [1,2]
После изучения данного раздела студент должен знать:
ü методику вычисления показателей эффективности функционирования систем массового обслуживания;
ü условия существования предельного распределения ПГР, описывающего систему массового обслуживания.
Студент должен уметь:
ü вычислять инфинитезимальные характеристики и предельное распределение ПГР, описывающего систему массового обслуживания;
ü вычислять показатели качества обслуживания.
Раздел 3. Системы массового обслуживания с приоритетами.
Тема 17. Системы с приоритетами. Относительный и абсолютный приоритет.
Тема 17. Системы с приоритетами. Виды приоритетов.
Тема 18. Система М|М|1|0 с приоритетами.
Система М|М|1|0 с приоритетами. Предельное распределение марковского процесса, описывающего функционирование системы.
Практическое занятие 12. Количество часов – 1.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Вероятность потери заявки первого и второго типа.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2]
После изучения данного раздела студент должен знать:
ü виды приоритетов в системах массового обслуживания
Студент должен уметь:
ü строить математические модели приоритетных систем;
ü вычислять показатели качества функционирования приоритетных систем.
Раздел 4. Простейшие немарковские модели систем массового обслуживания.
Тема 19. Система М|G|1|¥.
Система М|G|1|¥. Метод вложенных цепей Маркова. Переходные вероятности вложенной Марковской цепи. Производящая функция для стационарного распределения вложенной цепи. Период занятости. Основной закон стационарной очереди. Математическое ожидание длины очереди.
Практическое занятие 13. Количество часов – 4.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Доказательство основного закона стационарной очереди. Вывод формулы для математического ожидания длины очереди.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету, экзамену и контрольной работе. Выполнение контрольной работы по теме.
Литература: [1,2,6]
Тема 20. Система G|M|1|¥.
Система G|M|1|¥. Метод вложенных цепей Маркова. Переходные вероятности вложенной марковской цепи. Производящая функция для стационарного распределения вложенной цепи. Формула для стационарного распределения вложенной цепи. Предельное распределение случайного процесса, описывающего функционирование системы.
Практическое занятие №14. Количество часов – 5.
Цель: Отработка умений решения задач по теме.
Предельное распределение случайного процесса, описывающего функционирование системы.
Самостоятельная работа
Изучение материала по теме для подготовки к зачету и экзамену.
Литература: [1,2,6]
После изучения данного раздела студент должен знать:
ü суть метода вложенных цепей Маркова;
ü способы нахождения предельного распределения случайных процессов, описывающих немарковские модели.
Студент должен уметь:
ü определять марковские моменты;
ü составлять и решать систему линейных уравнений для нахождения стационарного распределения вложенной Марковской цепи;
ü вычислять показатели качества функционирования немарковских систем массового обслуживания.
Задание для студентов (самостоятельная работа).
Курс «Дополнительные главы случайных процессов» рассчитан на изучение в течение одного семестра. В течение семестра выполняется одно домашнее задание и одна контрольная работа.
3. Методические указания к выполнению домашнего задания.
Домашнее задание выполняется каждым студентом самостоятельно по одному из 24 вариантов и оформляется в отдельной тетради или на отдельных листах. Тема домашнего задания - система М|М|n|N.
Текст задания. Пусть задана система M|M|n|N. Интенсивность входящего потока l, интенсивность обслуживания m.
1. Составить математическую модель данной системы. Для этого ввести в рассмотрение случайный процесс x (t) – число заявок в системе в момент времени t. Выписать для этого процесса переходные вероятности Pij(t, h). Показать, что это процесс гибели и размножения.
2. Выписать систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний процесса x(t). Вычислить предельное распределение.
3. Вычислить вероятность потери заявки q и среднюю стационарную длину очереди.
4. Найти условную функцию распределения времени ожидания начала обслуживания при условии, что заявка принята в систему.
Варианты.
№ | n | N | l | m |
1 | 2 | 3 | 1 | 1 |
2 | 2 | 3 | 2 | 2 |
3 | 2 | 3 | 0,5 | 0,5 |
4 | 2 | 3 | 0,8 | 0,8 |
5 | 2 | 3 | 1 | 2 |
6 | 2 | 3 | 0,5 | 1 |
7 | 2 | 3 | 2 | 4 |
8 | 2 | 3 | 0,3 | 0,6 |
9 | 2 | 3 | 2 | 1 |
10 | 2 | 3 | 1 | 0,5 |
11 | 2 | 3 | 4 | 2 |
12 | 2 | 3 | 0,6 | 0,3 |
13 | 3 | 2 | 1 | 1 |
14 | 3 | 2 | 2 | 2 |
15 | 3 | 2 | 0,5 | 0,5 |
16 | 3 | 2 | 0,8 | 0,8 |
17 | 3 | 2 | 1 | 2 |
18 | 3 | 2 | 0,5 | 1 |
19 | 3 | 2 | 2 | 4 |
20 | 3 | 2 | 0,3 | 0,6 |
21 | 3 | 2 | 2 | 1 |
22 | 3 | 2 | 1 | 0,5 |
23 | 3 | 2 | 4 | 2 |
24 | 3 | 2 | 0,6 | 0,3 |
4. Методические указания к выполнению контрольной работы.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
