Контрольная работа выполняется каждым студентом самостоятельно по одному из 20 вариантов и оформляется в отдельной тетради или на отдельных листах. В работе должны быть представлены промежуточные расчеты, конечный ответ и выводы. Задание на контрольную работу состоит из 2 частей. Тема первой части – система М|М|n|¥, тема второй части - система М|G|1|¥.
Текст задания. Система M|M|1|¥. Интенсивность входящего потока l, интенсивность обслуживания m.
Рассмотреть марковскую модель данной системы.Найти:
- интенсивности перехода соответствующего процесса гибели и размножения;
- предельное распределение этого процесса;
- функцию распределения времени ожидания начала обслуживания;
- среднюю длительность ожидания;
- математическое ожидание длины очереди.
Исследовать вложенную цепь Маркова.Найти:
- переходные вероятности вложенной цепи;
- производящую функцию для стационарного распределения;
- стационарное распределение вложенной цепи;
- преобразование Лапласа-Стилтьеса для функции распределения интервала занятости;
- математическое ожидание интервала занятости;
- математическое ожидание длины очереди.
Сравнить результаты, полученные при исследовании марковской модели и вложенной марковской цепи.
Варианты.
№ | l | m |
1 | 0,5 | 1 |
2 | 0,2 | 2 |
3 | 0,3 | 3 |
4 | 0,4 | 4 |
5 | 0,5 | 5 |
6 | 0,6 | 3 |
7 | 0,6 | 2 |
8 | 1 | 2 |
9 | 1 | 3 |
10 | 1 | 1,5 |
11 | 0,8 | 1 |
12 | 0,8 | 2 |
13 | 0,8 | 4 |
14 | 2 | 4 |
15 | 1,5 | 3 |
16 | 1,5 | 5 |
17 | 3 | 6 |
18 | 2,5 | 5 |
19 | 2 | 6 |
20 | 2 | 8 |
5. Тест на остаточные знания по курсу
ТЕСТЫ-ВОПРОСЫ ПО КУРСУ «Дополнительные главы случайных процессов».
Выберите верные ответы и перепишите их в контрольный лист, предназначенный для оценки преподавателем.
1. Пусть Х1,…,Хn – независимые случайные величины, имеющие экспоненциальное распределение. Какое распределение имеет минимум из этих случайных величин?
А. Распределение Эрланга порядка n.
Б. Экспоненциальное распределение с суммарным параметром.
В. Распределение Пуассона с суммарным параметром.
Г. Равномерное распределение.
2. Какие значения может принимать случайная величина, имеющая экспоненциальное распределение?
А. Любые вещественные.
Б. Любые целые.
В. Только натуральные.
Г. Только положительные вещественные.
3. Пусть Х1,…,Хn – независимые случайные величины, имеющие экспоненциальное распределение с одинаковым параметром. Какое распределение имеет сумма этих случайных величин?
А. Нормальное.
Б. Равномерное.
В. Экспоненциальное с суммарным параметром.
Г. Распределение Эрланга порядка n.
4. Какое распределение имеют интервалы между событиями простейшего потока?
А. Нормальное.
Б. Равномерное.
В. Экспоненциальное.
Г. Распределение Эрланга порядка n.
5. Какое распределение имеет момент n-ого события простейшего потока?
А. Нормальное.
Б. Равномерное.
В. Экспоненциальное.
Г. Распределение Эрланга порядка n.
6. Какое распределение имеет число событий простейшего потока в интервале (0;t)?
А. Биномиальное распределение.
Б. Распределение Пуассона с параметром λt.
В. Нормальное.
Г. Распределение Эрланга порядка n.
7. Пусть F*(s) – преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения неотрицательной непрерывной случайной величины Х. Чему равно F*(0)?
А. 0.
Б. 1.
В. ЕХ.
Г. -ЕХ.
8. Пусть F*(s) – преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения неотрицательной непрерывной случайной величины Х. Чему равно F*’(0)?
А. 0.
Б. 1.
В. ЕХ.
Г. -ЕХ.
9. Пусть φ(z) – производящая функция ряда распределения неотрицательной дискретной случайной величины Х. Чему равно φ(1)?
А. 0.
Б. 1.
В. Р(Х=0).
Г. ЕХ.
10. Пусть φ(z) – производящая функция ряда распределения неотрицательной дискретной случайной величины Х. Чему равно φ(0)?
А. 0.
Б. 1.
В. Р(Х=0).
Г. ЕХ.
11. Пусть φ(z) – производящая функция ряда распределения неотрицательной дискретной случайной величины Х. Чему равно φ’’(0)?
А. 0.
Б. 1.
В. Р(Х=0).
Г. 2Р(Х=2).
12. Пусть φ(z) – производящая функция ряда распределения неотрицательной дискретной случайной величины Х. Чему равно φ’(1)?
А. 0.
Б. 1.
В. Р(Х=0).
Г. ЕХ.
13. Что означает число N в 4-ом разряде символики Кендалла?
А. Максимальное число заявок в системе.
Б. Число мест в очереди.
В. Число обслуживающих приборов.
Г. Число типов заявок во входящем потоке.
14. Какой вероятностный смысл имеет интенсивность входящего потока λ?
А. Среднее число заявок в системе в стационарном режиме.
Б. Среднее число заявок, поступивших в единицу времени.
В. Математическое ожидание интервалов между поступлениями заявок в систему.
Г. Максимальное возможное число заявок в системе.
15. Система массового обслуживания М|М|n|N. При каких условиях существует предельное распределение случайного процесса, описывающего функционирование указанной системы?
А. Всегда существует.
Б. Только при λ<μ.
В. Только при λ<nμ.
Г. Только при λ≥nμ.
16. Система массового обслуживания М|М|n|∞. При каких условиях существует предельное распределение случайного процесса, описывающего функционирование указанной системы?
А. Всегда существует.
Б. Только при λ<μ.
В. Только при λ<nμ.
Г. Только при λ≥nμ.
17. Система массового обслуживания М|М|n|∞ с нетерпеливыми клиентами. При каких условиях существует предельное распределение случайного процесса, описывающего функционирование указанной системы?
А. Всегда существует.
Б. Только при λ<μ+ν.
В. Только при λ<nμ.
Г. Только при λ≥n(μ+ν).
18. Система М|М|1|0 с приоритетами. Заявки первого типа имеют абсолютный приоритет. Как влияет поступление и обслуживание заявок второго типа на вероятность потери заявки первого типа?
А. Чем выше интенсивность поступления заявок второго типа, тем больше вероятность потери заявки первого типа.
Б. Чем больше среднее время обслуживания заявки второго типа, тем больше вероятность потери заявки первого типа.
В. Чем выше интенсивность обслуживания заявок второго типа, тем меньше вероятность потери заявки первого типа.
Г. Никак не влияет.
19. Система М|G|1|∞. Укажите марковские моменты для построения вложенной марковской цепи.
А. Произвольные моменты времени.
Б. Моменты окончания обслуживания заявок.
В. Моменты поступления заявок в систему.
Г. Моменты начала периода занятости.
20. Система G|М|1|∞. Укажите марковские моменты для построения вложенной марковской цепи.
А. Произвольные моменты времени.
Б. Моменты окончания обслуживания заявок.
В. Моменты поступления заявок в систему.
Г. Моменты начала обслуживания заявок.
№ п/п | Ответ |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
10 | |
11 | |
12 | |
13 | |
14 | |
15 | |
16 | |
17 | |
18 | |
19 | |
20 |
За каждый правильный ответ студент получает 2 балла. Для получения зачета необходимо набрать не менее 22 баллов, оценка «хорошо» - от 30 до 35 баллов, оценка «отлично» - при получении от 36 до 40 баллов.
Студенты, получившие менее 22 баллов, проходят повторное тестирование.
6. Итоговый контроль
Примерные вопросы к зачету и экзамену по курсу «Дополнительные главы случайных процессов»
1. Экспоненциальное распределение. Свойства экспоненциального распределения: отсутствие последействия, математическое ожидание, дисперсия, распределение минимума и максимума независимых экспоненциально распределенных случайных величин.
2. Распределение Эрланга.
3. Простейший поток. Определение, свойства.
4. Марковские процессы с непрерывным временем. Интенсивности перехода и выхода. Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Предельное распределение. Процессы гибели и размножения; формулы для предельного распределения.
5. Производящая функция. Решение системы дифференциальных уравнений Колмогорова для простейшего потока с помощью производящей функции.
6. Процессы восстановления: простой, с запаздыванием, альтернирующий. Функция восстановления. Интегральное уравнение восстановления. Элементарная теорема восстановления. Узловая теорема восстановления. Прямое (перескок) и обратное (недоскок) время возвращения. Вероятность попадания на четный или нечетный интервал для альтернирующего процесса.
7. Преобразование Лапласа и Лапласа-Стилтьеса. Свойства преобразования Лапласа. Решение системы дифференциальных уравнений Колмогорова для простейшего потока с помощью преобразования Лапласа.
Системы массового обслуживания.
8. Системы массового обслуживания. Определение. Символика Кендалла. Показатели качества обслуживания. Схема исследования СМО.
9. Система М|М|n|0. Формулы Эрланга. Вероятность потери заявки.
10. Система М|М|n|N с нетерпеливыми клиентами. Математическое ожидание длины очереди. Плотность распределения времени ожидания начала обслуживания. Вероятность потери заявки. Функция распределения времени пребывания заявки в очереди.
11. Система М|М|n|N. Математическое ожидание длины очереди. Функция распределения времени ожидания начала обслуживания при условии, что заявка принята в очередь. Вероятность потери заявки.
12. Система М|М|n|¥ с нетерпеливыми клиентами. Существование предельного распределения ПГР, описывающего функционирование системы. Математическое ожидание длины очереди. Плотность распределения времени ожидания начала обслуживания. Вероятность потери заявки. Функция распределения времени пребывания заявки в очереди.
13. Система М|М|n|¥. Условие существования предельного распределения ПГР, описывающего функционирование системы. Функция распределения времени ожидания начала обслуживания. Математическое ожидание длины очереди.
14. Система М|М|1|0 с приоритетами. Предельное распределение Марковского процесса, описывающего функционирование системы. Вероятность потери заявки первого и второго типа.
15. Система М|G|1|¥. Метод вложенных цепей Маркова. Переходные вероятности вложенной Марковской цепи. Производящая функция для стационарного распределения вложенной цепи. Период занятости. Основной закон стационарной очереди. Математическое ожидание длины очереди.
16. Система G|M|1|¥. Метод вложенных цепей Маркова. Переходные вероятности вложенной Марковской цепи. Формула для стационарного распределения вложенной цепи. Предельное распределение случайного процесса, описывающего функционирование системы.
7. Список рекомендуемой литературы
Основная:
, , Коваленко массового обслуживания. Москва: «Высшая школа», 19822. , Печинкин массового обслуживания. М.: Изд. РУДН, 1995.
3. Каштанов теории случайных процессов. М.: МИЭМ, 2010
Дополнительная:
, Медведев надежности сложных систем. М.: Физматлит, 2010 : «Введение в теорию вероятностей и ее приложения». М.:«Мир», 1984 Ширяев . М.: «Наука», 1980 Математический энциклопедический словарь /под ред. М.:«Советская энциклопедия», 1988
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
